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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Markus |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich suche je ein möglichst einfaches Beispiel für einen zerfallenden und einen nicht zerfallenden Tensor.
Wenn ihr mir da helfen könnten, indem ihr ein (möglichst verständliches) Beispiel plus Erklärung gebt, wäre ich sehr dankbar....
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Gruß!
Also, schauen wir uns ein Beispiel an:
[mm] \IR^2 \otimes \IR^2 [/mm]
Ich bezeichne die kanonische Basis von [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] e_1, e_2[/mm].
Dann ist natürlich z.B.
[mm] e_1 \otimes e_2 [/mm]
ein zerfallender Tensor - jedes Element, das sozusagen aus nur einem Ausdruck dieser Form besteht heißt ja zerfallend. Die nicht triviale Aussage jedoch ist, dass es Tensoren gibt, die nicht zerfallen, sondern die (endliche) Summen von zerfallenden sind. Hier ein Beispiel:
[mm] t = e_1 \otimes e_1 + e_2 \otimes e_2[/mm]
Ich behaupte, dass dieser Tensor nicht zerfällt. Das kann man auch beweisen. Nimm mal an, das wäre nicht so, also angenommen es gibt Vektoren [mm] v = a_1 e_1 + a_2 e_2 [/mm] und [mm] w = b_1 e_1 + b_2 e_2[/mm] mit [mm] t = v \otimes w[/mm].
Das kann man jetzt auseinanderpflücken:
[mm] e_1 \otimes e_1 + e_2 \otimes e_2 = t = a_1b_1 (e_1 \otimes e_1) + a_1b_2 (e_1 \otimes e_2) + a_2b_1 (e_2 \otimes e_1) + a_2b_2 (e_2 \otimes e_2) [/mm]
Sollte klar sein. Diese vier Vektoren bilden aber eine Basis von [mm] \IR^2 \otimes \IR^2[/mm], d.h. die Darstellung ist eindeutig. Also folgt:
[mm] a_1b_2 = 0 = a_2b_1[/mm] und [mm] a_1b_1 = 1 = a_2b_2[/mm]
Was aber nicht sein kann, da schon die hinteren Gleichungen zeigen, dass alle vier Koeffizienten von 0 verschieden sein müssen und [mm] \IR [/mm] ist nunmal nullteilerfrei. :)
Ich hoffe, das hilft.
Gnometech
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Markus!
Ich kenne die Begriffe nicht. Also, das Tensorprodukt kenne ich natürlich schon, aber nicht den Begriff "zerfallender Tensor". Im Internet findet man das hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.hu-berlin.de/publ/script/la.ps (Seite 196):
Ein Element der Form $m [mm] \otimes_K [/mm] n$ heißt zerfallender Tensor. Die zerfallenden Tensoren bilden ein Erzeugendensystem von $M [mm] \otimes_K [/mm] N$.
Meinst du das oder hattest du eine andere Definition im Sinn? Wenn ja, welche?
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Markus |
Danke Julius,
das ist schonmal ein Ansatz. Hab an diesem Rechner leider kein postscript/view. Deshalb kann ich es mir noch nicht anschauen, werde ich aber noch.
Gruß Markus
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