Tensorprodukt und ggt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Di 10.06.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | | Seien $m, n [mm] \in \IN$. [/mm] Bestimmen Sie [mm] \IZ/ m\IZ \otimes_{\IZ} \IZ/n\IZ. [/mm] |
Hi!
Leider weiß ich hier nicht wirklich weiter...
Ich bin soweit gekommen, dass ich herausgefunden habe, dass
[mm] \IZ/ m\IZ \otimes_{\IZ} \IZ/n\IZ \cong \IZ/ggt(m,n)\IZ
[/mm]
Somit weiß ich ja zumindest theoretisch mal, was ich zeigen soll, aber wie?
Ciao, fkerber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Mi 11.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seien [mm]m, n \in \IN[/mm]. Bestimmen Sie [mm]\IZ/ m\IZ \otimes_{\IZ} \IZ/n\IZ.[/mm]
>
> Hi!
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> Leider weiß ich hier nicht wirklich weiter...
> Ich bin soweit gekommen, dass ich herausgefunden habe,
> dass
> [mm]\IZ/ m\IZ \otimes_{\IZ} \IZ/n\IZ \cong \IZ/ggt(m,n)\IZ[/mm]
>
> Somit weiß ich ja zumindest theoretisch mal, was ich zeigen
> soll, aber wie?
Konstruier doch erstmal eine bilineare Abbildung [mm] $\IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ \to \IZ/ggT(m,n)\IZ$. [/mm] (Tipp: solche haben meist was mit Multiplikation zu tun, und du hast hier zwei kanonische Abbildungen [mm] $\pi_1 [/mm] : [mm] \IZ/m\IZ \to \IZ/ggT(m,n)\IZ$ [/mm] und [mm] $\pi_2 [/mm] : [mm] \IZ/n\IZ \to \IZ/ggT(m,n)\IZ$.)
[/mm]
Nach der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes hast du somit eine lineare Abbildung [mm] $\IZ/ m\IZ \otimes_{\IZ} \IZ/n\IZ \to \IZ/ggt(m,n)\IZ$. [/mm] Dass diese surjektiv ist bekommst du sehr schnell hin, gib einfach ein konkretes Urbild an.
Um zu zeigen, dass sie injektiv ist, kannst du am besten eine Umkehrabbildung konstruieren, also [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IZ/ggT(n,m)\IZ \to \IZ/n\IZ \times \IZ/m\IZ$. [/mm] Hinschreiben kannst du sowas ganz einfach, schwieriger ist zu zeigen, dass die Verkettung die Identitaet ist (in eine Richtung ist das einfach, das ist die Surjektivitaet, die andere Richtung nicht ganz so).
Das ueberlass ich dir jetzt aber.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 11.06.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Vielen Dank für deine Erläuterungen.
Leider verstehe ich sie glaube nicht so richtig.
Also ich soll eine Abbildung (x,y) -> z konstruieren, die bilinear ist?
Wie habe ich das mit den 2 kanonischen Abbildungen zu verstehen? Wie kann ich eine Abbildung haben, die nur ein m bekommt und hinten ein ggt von m und n gebildet wird?
Warum muss ich Injektivität und Surjektivität zeigen?
Ciao, fkerber
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 15.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Vielen Dank für deine Erläuterungen.
> Leider verstehe ich sie glaube nicht so richtig.
>
> Also ich soll eine Abbildung (x,y) -> z konstruieren, die
> bilinear ist?
Du sollst eine Abbildung [mm] $\IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ \to \IZ/ggT(m,n)\IZ$ [/mm] konstruieren, die bilinear ist.
Der Ausdruck ``(x,y) -> z'' bezeichnet keine Abbildung.
> Wie habe ich das mit den 2 kanonischen Abbildungen zu
> verstehen? Wie kann ich eine Abbildung haben, die nur ein m
> bekommt und hinten ein ggt von m und n gebildet wird?
Du beziehst dich schon auf [mm] $\pi_1 [/mm] : [mm] \IZ/m\IZ \to \IZ/ggT(m,n)\IZ$, [/mm] oder? Das sagt, dass eine Abbildung eine Restklasse aus [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] auf eine Restklasse aus [mm] $\IZ/ggT(m,n)\IZ$ [/mm] abbildet. Da wird kein ggT berechnet.
> Warum muss ich Injektivität und Surjektivität zeigen?
Weil du einen Isomorphismus suchst. Das ist ein Homomorphismus, der sowohl injektiv wie auch surjektiv ist.
Ich hab das Gefuehl, du sollest dich erstmal etwas mehr mit Restklassen und Restklassenabbildungen beschaeftigen, bevor du dich an das Tensorprodukt wagen solltest.
LG Felix
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