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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
Definition
ein Ereignis [mm]A[/mm] heißt terminal bzgl. einer Folge von ZV [mm](X_n)_{n\in\mathbb N}[/mm], wenn [mm]A\in\mathcal T_{\infty}[/mm],
wobei [mm]\mathcal T_{\infty}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\mathcal T_n[/mm] mit [mm]\mathcal T_n=\sigma\left(\bigcup_{m\ge n}\sigma(X_m)\right)=\sigma(X_n,X_{n+1},...)[/mm].
d.h. das Ereignis [mm]A[/mm] hängt nicht von endlich vielen ZV [mm]X_1,...,X_k[/mm] ab.
Aufgabe
Sei [mm]S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm] und [mm](X_n)_n[/mm] eine Folge von unabhängigen ZV.
Nun möchte ich zeigen, dass
(1) [mm]A=\left\{ S_n \textrm{ konvergiert}\right\}[/mm] ist terminales Ereignis.
(2) [mm]B=\left\{\lim_{n\to\infty}S_n\le a\right\} [/mm] ist kein terminales Ereignis ([mm]a\in\mathbb R[/mm])
Anschaulich ist klar, dass die Konvergenz von [mm]S_n[/mm] nicht von endlich vielen ZV abhängt
(und daher A [mm](X_n)[/mm]-terminal ist), aber der Wert der unendlichen Reihe schon.
(1)
Habe einen anderen Beweis für "[mm]\{\frac{1}{n}S_n \textrm{ konvergiert\}[/mm]" gesehen
und der läuft über die [mm](X_n)[/mm]-Terminalität der Ereignisse
[mm]\{\limsup_{n\to\infty}S_n/n \le a\} und \{\liminf_{n\to\infty}S_n/n \ge a\}[/mm]
Dieses Prinzip lässt sich aber nicht übertragen, da ja die entsprechenden Ereignisse
in diesem Fall nicht terminal sind.
Wie könnte ich denn in diesem Fall das machen?
(2) Ich setze [mm]X_1 \mathcal N(0,1)[/mm]-verteilt und [mm]X_n:=0[/mm] für [mm]n\ge 2[/mm]
[mm]P(B)=\Phi(a)\in(0,1)[/mm], allerdings gilt nach dem 0-1-Gesetz von Kolmogorov, dass
[mm]P(B)\in\{0,1\}[/mm]
LG
Fry
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Hiho,
zur a):
1.) Wann ist ein Element in einem Schnitt enthalten?
2.) In welchem Bezug steht die Konvergenz von [mm] S_n [/mm] zur Konvergenz vom n-ten Restglied?
zur b) Dein "Speziallfall" ist kein Beweis. Du sollst die Aussage generell zeigen, nicht nur für einen Spezialfall. Also brauchst du da wohl einen anderen Ansatz.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
ja, also bei (2) weiß ich nicht, was du mit Restglied meinst...den n-ten Zuwachs der Summe? Also die Konvergenz hängt wie schon gesagt nicht von endlich vielen [mm] $X_1,...,X_k$
[/mm]
ab für [mm] $k\in\mathbb [/mm] N$ beliebig. Dann ist wahrscheinlich dieses Ereignis in [mm] $\mathcal T_k$ [/mm] (aber warum genau?) und da es für alle k gilt auch im Schnitt [mm] $\mathcal T_\infty$.
[/mm]
Gruß
Fry
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Hiho,
> Also die Konvergenz hängt wie schon gesagt nicht von endlich vielen [mm]X_1,...,X_k[/mm] ab für [mm]k\in\mathbb N[/mm] beliebig. Dann ist wahrscheinlich dieses Ereignis in [mm]\mathcal T_k[/mm] (aber warum genau?) und da es für alle k gilt auch im Schnitt [mm]\mathcal T_\infty[/mm].
Ja, das ist wie gesagt, Palaver.
Es gilt: [mm] S_n [/mm] konvergiert [mm] \gdw \summe_{k=1}^\infty X_k [/mm] konvergiert [mm] \gdw \summe_{k=n}^\infty X_k [/mm] konvergiert für beliebiges n.
Ergo: Für beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $\{S_n \text{ konvergiert }\} [/mm] = [mm] \{\summe_{k=n}^\infty X_k \text{ konvergiert }\}$ [/mm]
Und was gilt für [mm] $\{\summe_{k=n}^\infty X_k \text{ konvergiert }\}$? [/mm] Und damit für [mm] $\{S_n \text{ konvergiert }\}$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
danke,
das ist ja genau das, was ich damit meinte.
Aber ich sehe nicht,
warum denn nun
[mm]\left\{\sum_{k=n}^{\infty}X_k \textrm{ konvergiert}\right\}\in\mathcal T_n=\sigma(X_n,X_{n+1},...)[/mm] gelten soll.
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Hiho,
> Aber ich sehe nicht, warum denn nun [mm]\left\{\sum_{k=n}^{\infty}X_k \textrm{ konvergiert}\right\}\in\mathcal T_n=\sigma(X_n,X_{n+1},...)[/mm] gelten soll.
Naja, beschreibe mal in Worten, was das Symbol [mm] $\sigma(X_n,X_{n+1},...)$ [/mm] aussagt.
Und welche [mm] X_k [/mm] kommen nun in [mm] \sum_{k=n}^{\infty}X_k [/mm] vor?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 04.02.2014 | | Autor: | Fry |
Huhu,
naja, das ist die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra, so dass die [mm]X_n,X_{n+1}[/mm],... messbar sind,also sie wird erzeugt von der Vereinigung der Urbild-sigma-Algebren [mm]X^{-1}_i(\mathcal B)[/mm], [mm]i\ge n[/mm]. Sie enthält also die Mengen der Form [mm]\{(X_n,X_{n+1},...)\in B\}[/mm] mit [mm]B\in\mathcal B^{\mathbb N }[/mm]
Also es ist auch irgendwie anschaulich klar, dass dann ja, weil die Summe gerade nur von diesen [mm](X_m)_{m\ge n}[/mm] abhängt, die Menge in [mm]\mathcal T_n[/mm] ist, Nur irgendwie würde ich jetzt erwarten, dass man die Menge noch in weitere Mengen aufspalten müsste, um dies zu zeigen.
LG
Fry
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Hiho,
> Also es ist auch irgendwie anschaulich klar, dass dann ja, weil die Summe gerade nur von diesen [mm](X_m)_{m\ge n}[/mm] abhängt, die Menge in [mm]\mathcal T_n[/mm] ist, Nur irgendwie würde ich jetzt erwarten, dass man die Menge noch in weitere Mengen aufspalten müsste, um dies zu zeigen.
naja, irgendwas sollte man schon als bekannt voraussetzen. Und dass der Grenzwert einer Folge meßbarer Funktionen wieder meßbar ist, sollte Grundwissen und einer der ersten Sätze sein, den man beweist. Und das ist der einzige Satz den man hier braucht.
Aber für dich noch mal eine Beweisskizze:
1.) Für zwei meßbare Funktionen f und g ist auch [mm] $\{f=g\}$ [/mm] meßbar.
2.) Zeige: [mm] f_n [/mm] meßbar [mm] \Rightarrow \liminf f_n [/mm] & [mm] \limsup f_n [/mm] meßbar
3.) [mm] $\{\lim f_n \text{ existiert }\} [/mm] = [mm] \{\liminf f_n = \limsup f_n\}$ [/mm] und damit meßbar nach 1.) und 2.)
Nun ist also:
[mm] $\{S_n \text{ konvergiert }\} [/mm] = [mm] \{\lim_{n\to\infty} \summe_{k=m}^n X_k \text{ existiert } \} =\{\lim_{n\to\infty}f_n \text{ existiert } \}$ [/mm] mit [mm] $f_n [/mm] = [mm] \summe_{k=m}^n X_k$
[/mm]
Und da jedes [mm] $f_n$ \mathcal{T}_m [/mm] meßbar ist eben auch [mm] $\{S_n \text{ konvergiert }\}$ \mathcal{T}_m [/mm] meßbar für beliebiges m.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Di 04.02.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
vielen Dank!
So kann ichs akzeptieren :).
LG
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
ich habe nochmal eine Frage zu (2) und habe noch zwei
Ereignisse
(3) [mm]C=\left\{\lim_{n\to\infty} Y_n>0\right\}[/mm]
(4) [mm]D=\left\{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{Y_n}>a\right\}[/mm] für [mm]a>0[/mm]
mit [mm]Y_n:=\prod_{i=1}^{n}X_i[/mm] und [mm](X_n)_n[/mm] einer Folge von unabhängigen ZV mit Werten in [mm](0,\infty)[/mm],
rausgesucht, die ich gerne auf Terminalität untersuchen möchte
(2) Kann man so argumentieren (ich ahne schon, dass es wohl nicht so geht...)
[mm]\lim_{n\to\infty} S_n\not=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=k}^{n}X_i[/mm] für [mm]k\in\mathbb N[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\lim_{n\to\infty}S_n[/mm] ist nicht [mm]\mathcal T_k[/mm]-messbar für alle [mm]k\in\mathbb N[/mm]
also ist [mm]\{\lim_{n\to\infty}S_n\le a\}\not\in\mathcal T_k[/mm] und daraus folgt die Behauptung.
(3) Mit unendlichen Produkten tue ich mich schwer...
Hatte erst überlegt, dass [mm]\{\lim_{n\to\infty} Y_n>0\}=\{X_i>0 \textrm{ für alle } i\in\mathbb N\}\not\in\mathcal T_k \textrm{ für alle } k\in\mathbb N[/mm] und damit das Ereignis nicht terminal ist, allerdings verwirren mich schon die Voraussetzungen, die für die Konvergenz eines unendlichen Produktes gegeben sein müssen: Auf Wikipedia steht, dass der Grenzwert nicht null seien darf...
(4) [mm]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{Y_n}> a \gdw \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log Y_n >\log a
\gdw \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log X_i>\log a[/mm]
Nun ist [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log X_i=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=k}^{n}\log X_i[/mm] für alle [mm]k\in\mathbb N[/mm], also ist [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log X_i[/mm] [mm]%255Csqrt%255Bn%255D%257BY_n%257D[/mm] [mm]\mathcal T_k[/mm]-messbar und da es für alle k gilt, folgt die Behauptung.
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Hiho,
deine Idee zum Schluss ist zwar etwas wirr aufgeschrieben und beinhaltet ein paar kleinere Fehler, aber von der Grundidee nicht schlecht.
Klar ist, dass sich das Ereignis C auf den Fall B zurückführen lässt über logarithmieren. Das hast du gut erkannt.
Alles steht und fällt also mit der B, fangen wir also mal damit an.
> [mm]\lim_{n\to\infty} S_n\not=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=k}^{n}X_i[/mm] für [mm]k\in\mathbb N[/mm]
Die Ungleichung gilt erstmal nicht notwendigerweise, sondern nur der Menge [mm] $\left\{X_1 \not= 0 \vee \ldots \vee X_k \not= 0\right\}$ [/mm] aber so wirklich was bringen tut dir das ja auch nichts, wie dir folgender falsche(!!!) Beweis zeigen sollte.
1.) Es gilt $1 [mm] \in \sigma(X_1)$
[/mm]
2.) [mm] $X_1 \not= [/mm] 1 [mm] \Rightarrow X_1$ [/mm] ist nicht [mm] \sigma(X_1) [/mm] meßbar
Das ist natürlich totaler Blödsinn.
Halten wir erstmal fest, dass ja $B [mm] \subseteq [/mm] A$ gelten muss, denn die Tatsache, dass ein Grenzwert kleiner als eine Konstante ist, impliziert insbesondere, dass der Grenzwert existiert.
Das ist also ein schönes Beispiel, dass nicht jede Teilmenge einer meßbaren Menge meßbar sein muss.
Den Beweis würde ich per Widerspruch führen und wieder ausnutzen, wann eine Menge in einem Schnitt liegt.
Also: Sei B terminales Ereignis, dann gilt:
$B [mm] \in \mathcal{T_\infty} \Rightarrow [/mm] B [mm] \in \mathcal{T}_2$
[/mm]
Nun versuch du es mal weiter.
> (3) Mit unendlichen Produkten tue ich mich schwer...
> Hatte erst überlegt, dass [mm][mm] \{\lim_{n\to\infty} Y_n>0\}=\{X_i>0 \textrm{ für alle } i\in\mathbb N\}
[/mm]
Die Gleichheit ist ja schon falsch, wie dir [mm] $X_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}$ [/mm] sofort wiederlegt.
> allerdings verwirren mich schon die Voraussetzungen, die für die Konvergenz eines unendlichen Produktes gegeben sein müssen: Auf Wikipedia steht, dass der Grenzwert nicht null seien darf...
na das steht da sicherlich nicht. Da steht wenn dann nur, dass eine notwendige Voraussetzung für die Konvergenz des Produkts gegen einen Wert ungleich Null ist, dass es keine Nullfolge ist.
Es gilt nämlich: Ist ein [mm] $X_k [/mm] = 0$ oder [mm] (X_k) [/mm] eine Nullfolge, so folgt sofort [mm] $Y_n \to [/mm] 0$
Aber das brauchen wir ja zum Glück nicht, wie wir oben schon besprochen hatten, denn der Fall lässt sich ja auf die B zurückführen
Versuch das mal noch mal sauber aufzuschreiben, warum.
Warum geht das bei der D nicht?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Do 06.02.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
mir fällt gerade ein Problem bei deiner Ausgangsfrage auf.
Woher hast du die Definition:
$ [mm] \mathcal T_n=\sigma\left(\bigcup_{m\ge n}\sigma(X_m)\right)=\sigma(X_n,X_{n+1},...) [/mm] $
Steht die so im Buch? Oder hast du das (insbesondere das letzte Gleichheitszeichen) selbst hingeschrieben?
Wie ist denn [mm] $\sigma(X_m)$ [/mm] bei dir exakt definiert?
Normalerweise setzt man nämlich [mm] $\sigma(X_m) [/mm] = [mm] \sigma(X_k, k\le [/mm] m)$ (wobei das auch inkonsistent wäre ^^)
Das Problem kommt mir gerade, weil sonst nämlich die verschiedenen Definitionen von "terminaler Sigma-Algebra" nicht mehr konsistent währen, was insbesondere bei dem Widerspruchbeweis von mir problematisch werden könnte.
Die Aussage "das Ereignis $ A $ hängt nicht von endlich vielen ZV $ [mm] X_1,...,X_k [/mm] $ ab" stimmt nämlich für Filtrationen trivialerweise nicht mehr, da dort insbesondere alle Ereignisse, die nur von endlich vielen ZV abhängig sind, meßbar bezüglich der terminalen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] sind.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Do 06.02.2014 | | Autor: | Fry |
> Hiho,
>
> mir fällt gerade ein Problem bei deiner Ausgangsfrage
> auf.
> Woher hast du die Definition:
>
> [mm]\mathcal T_n=\sigma\left(\bigcup_{m\ge n}\sigma(X_m)\right)=\sigma(X_n,X_{n+1},...)[/mm]
>
> Steht die so im Buch? Oder hast du das (insbesondere das
> letzte Gleichheitszeichen) selbst hingeschrieben?
> Wie ist denn [mm]\sigma(X_m)[/mm] bei dir exakt definiert?
Also ich hab die obige Definition so aus einem WT-Skript übernommen.
Siehe z.B.
![[]](/images/popup.gif) http://wwwmath.uni-muenster.de/statistik/lehre/SS13/WT/Skript/WT-Buch_7.pdf
>
> Normalerweise setzt man nämlich [mm]\sigma(X_m) = \sigma(X_k, k\le m)[/mm]
> (wobei das auch inkonsistent wäre ^^)
Also bei uns ist [mm]\sigma(X_m)=\sigma(X^{-1}_m(\mathcal B))[/mm].
Also es bezieht sich nur auf die eine Abbildung [mm]X_m[/mm].
> Das Problem kommt mir gerade, weil sonst nämlich die
> verschiedenen Definitionen von "terminaler Sigma-Algebra"
> nicht mehr konsistent währen, was insbesondere bei dem
> Widerspruchbeweis von mir problematisch werden könnte.
>
> Die Aussage "das Ereignis [mm]A[/mm] hängt nicht von endlich vielen
> ZV [mm]X_1,...,X_k[/mm] ab" stimmt nämlich für Filtrationen
> trivialerweise nicht mehr, da dort insbesondere alle
> Ereignisse, die nur von endlich vielen ZV abhängig sind,
> meßbar bezüglich der terminalen [mm]\sigma[/mm]-Algebra sind.
>
> Gruß,
> Gono.
Mmmm, also in der Aufgabenstellung steht eigentlich ".... ist IM ALLGEMEINEN kein terminales Ereignis". Dann müsste ja eigentlich auch ein Gegenbeispiel reichen, oder? ;)
Gruß
Fry
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:36 Do 06.02.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
eigentlich hat doch D gar nix mit B zu tun...die [mm]\mathcal T_k[/mm]-Messbarkeit ist ja gerade dadurch gegeben, dass im Unterschied zu B der Faktor [mm]\frac{1}{n}[/mm] noch davor steht. Versteh jetzt auch gerade nicht, was an der Begründung für D genau wirr ist.
[mm]\left\{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{Y_n}> a\right\}=\left\{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log Y_n >\log a \right\}=\left\{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log X_i>\log a \right\}=\left\{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=k}^n\log X_i>\log a \right\}\in\mathcal T_k[/mm], da
[mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=k}^n\log X_i[/mm] [mm]\mathcal T_k[/mm]-messbar ist. Da [mm]\left\{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{Y_n}> a\right\}\in\mathcal T_k[/mm]
für alle [mm]k\in\mathbb N[/mm], ist [mm]\left\{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{Y_n}> a\right\}\in\mathcal T_\infty[/mm]
Aber darf ich denn bei C überhaupt die Logarithmierung a la
[mm]\{\lim_{n\to\infty}Y_n > 0\}=\{\sum_{i=1}^{\infty}\log X_i>-\infty\}[/mm]
vornehmen? Bzw. würde mir das etwas bringen?
Nochmal zu B:
Also wenn [mm]\{\lim_{n\to\infty} S_n\le a\}\in\mathcal T_2[/mm],
dann existiert ein [mm]B\in\mathcal B^{\mathbb N}[/mm]
mit [mm]\{\lim_{n\to\infty} S_n\le a\}=\{(X_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathbb R\times B\}[/mm].
Aber da komm ich trotzdem nicht weiter. Es gilt natürlich noch, dass [mm]\lim_{n\to\infty} S_n
[/mm] [mm]\mathcal T_2[/mm]-messbar ist, da a beliebig.
Viele Grüße
Fry
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Hiho,
> eigentlich hat doch D gar nix mit B zu tun...die [mm]\mathcal T_k[/mm]-Messbarkeit ist ja gerade dadurch gegeben, dass im Unterschied zu B der Faktor [mm]\frac{1}{n}[/mm] noch davor steht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stimmt, dein Beweis dazu ist super. Solltest halt noch kurz begründen, warum du die ersten k Summanden weg lassen kannst.
Den Rest mach ich heute Abend 
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 06.02.2014 | | Autor: | Fry |
[mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log X_i
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k-1}\log X_i+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=k}^{n}\log X_i
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=k}^{n}\log X_i[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Fry |
Huhu
Weiß jemand noch ne Begründung, warum (3) C ein terminales Ereignis ist bzw hat jemand nen Gegenbeispiel?
Ich suche schon die ganze Zeit nach nem Gegenbeispiel, aber es läuft immer wieder darauf hinaus,
dass dann in diesen Fällen [mm] $P(A)\in\{0,1\}$.
[/mm]
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich würde behaupten, dass C ein terminales Ereignis ist.
Du kannst nämlich anhand der ersten [mm] X_n [/mm] im Allgemeinen nicht entscheiden, ob das Produkt gegen Null konvergiert. Nimm beispielsweise:
[mm] $X_n^k [/mm] = [mm] \begin{cases} \left(1 - \bruch{1}{n}\right), & \mbox{für } n > k \\ \left(1 - \bruch{1}{n^n}\right), & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:08 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
vielen Dank! Könntest du vielleicht das Beispiel nochmal erklären?
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 20.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 13.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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