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| Aufgabe | | Beweisen sie durch vollst. Induktion: [mm] \summe_{k=1}^{n}(3k-1)=\bruch{(3n+1)n}{2} [/mm] |
Aufgabe:
Beweisen sie durch vollst. Induktion: [mm] \summe_{k=1}^{n}(3k-1)=\bruch{(3n+1)n}{2}
[/mm]
Nun, ich versuche hier einen Beweis eines Matheskriptes nachvollziehen zu können. Soweit habe ich das Prinzip verstanden, dennoch scheitere ich am Ende an einer Termumformung des Skripterstellers.
Am Ende steht auf der rechten Seite folgendes:
= [mm] \bruch{(3n+1)n}{2} [/mm] + 3n + 2 (korregiert)
Hier schreibt der Author: Das lässt sich leicht umformen in:
[mm] =\bruch{[3(n+1)+1](n+1)}{2}
[/mm]
Nun meine Frage: Wie komme ich vom ersten Term zum zweiten.
Kann mir das jemand mal Schritt für Schritt erklären?
Vielleicht hat auch jemand Links mit Aufgaben und Lösung, wo ich solche
Termumformungen üben kann.
Vielen Dank im Voraus
Dennis
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> Beweisen sie durch vollst. Induktion:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(3k-1)=\bruch{(3n+1)n}{2}[/mm]
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> Aufgabe:
> Beweisen sie durch vollst. Induktion:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(3k-1)=\bruch{(3n+1)n}{2}[/mm]
>
> Nun, ich versuche hier einen Beweis eines Matheskriptes
> nachvollziehen zu können. Soweit habe ich das Prinzip
> verstanden, dennoch scheitere ich am Ende an einer
> Termumformung des Skripterstellers.
>
> Am Ende steht auf der rechten Seite folgendes:
>
> = [mm]\bruch{(3n+1)+n}{2}[/mm] + 3n + 2
>
> Hier schreibt der Author: Das lässt sich leicht umformen
> in:
>
> [mm]=\bruch{[3(n+1)+1](n+1)}{2}[/mm]
Hallo,
es handelt sich schlicht und ergreifend um einen Druckfehler.
Das soll heißen
...= [mm]\bruch{(3n+1)*n}{2}[/mm] + 3n + 2
[mm] =\bruch{[3(n+1)+1](n+1)}{2}.
[/mm]
Dann stimmt's, wie Du durch Auflösen der unteren Zeile feststellen kannst.
(Und damit bist Du dann ja auch am Ziel Deiner Induktion.)
Gruß v. Angela
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Ach herjeh, jetzt muss ich mich entschuldigen.
Du hast recht, "ich" habe einen Tippfehler eingebaut. Deine Zeilen sind korrekt, dennoch weiss ich ehrlich gesagt nicht, wie ich von der oberen auf die untere durch Termunformung komme.
Könnte man mir das mal Schritt für Schritt aufschreiben, so dass ich das nachvollziehen kann?
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Hallo,
löse hier
$ [mm] \bruch{(3n+1)+n}{2} [/mm] $ + 3n + 2
die Klammer auf und bring alles auf einen Bruchstrich.
Und löse hier
[mm] \bruch{[3(n+1)+1](n+1)}{2}
[/mm]
die Klammern auf.
Dann siehst Du die Gleichheit - darum geht es schließlich. (Wenn's nicht klappt, rechne es hier vor, damit man weiß, wo der Fehler ist - und damit DU schreiben mußt...)
Wie man drauf kommt? Weil man weiß, was man hinten herausbekommen will.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank.
Soweit habe ich es dann verstanden. Ich habe in beiden Termen die Klammern aufgelöst und komme damit in beiden Termen auf:
[mm] \bruch{3n^2 +7n + 4}{2}
[/mm]
Es muss doch aber eine Möglichkeit geben, ein Hinweis für geübte Augen oder sonstiges, womit die Erfahrenen eben schon während des Beweises sehen, dass rechts und links gleich sind, obwohl sie nicht danach aussehen.
Wie in meinem Beispiel!
Sicher hast du recht, dass ich weiss, was auf der rechten Seite stehen soll, doch was ist, wenn der Beweis eben zeigt, dass die Annahme falsch war. Dann kann ich ja nicht blind reinschreiben, das was ich hier sehe ist das was ich vermute und damit richtig.
Oder liege ich falsch?
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> [mm]\bruch{3n^2 +7n + 4}{2}[/mm]
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> Es muss doch aber eine Möglichkeit geben, ein Hinweis für
> geübte Augen oder sonstiges, womit die Erfahrenen eben
> schon während des Beweises sehen, dass rechts und links
> gleich sind, obwohl sie nicht danach aussehen.
> Wie in meinem Beispiel!
Wie gesagt, man weiß ja, was man will... Dann kann man von vorn und von hinten rechnen.
Man kann auch etwas zielgerichtet vorgehen: Man weiß, daß im Ergebnis Faktor*(n+1) dastehen soll.
Daß man bei obigem n+1 ausklammern kann, sieht man sofort daran, daß -1 eine Nullstelle von [mm] 3n^2 [/mm] +7n + 4 ist. Man klammert also aus, und versucht den verbleibenden Faktor zurecht zu biegen.
Ob man so etwas sieht oder nicht, ist zum großen Teil Übungssache.
Nach der 500. ähnlichen Aufgabe kann einen nur noch wenig erschüttern.
Also: immer wieder üben. Von leicht zu schwer.
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> Sicher hast du recht, dass ich weiss, was auf der rechten
> Seite stehen soll, doch was ist, wenn der Beweis eben
> zeigt, dass die Annahme falsch war.
Dann wirst Du festellen, daß "vorne" und "hinten" nicht gleich sind.
Und wenn das nicht gleich ist, darfst Du kein Gleichheitszeichen setzen. Die Gleichheit muß schon geprüft sein, nicht vermutet.
Gruß v. Angela
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