Testfrage < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:17 Do 29.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n^2} [/mm] ? |
Hallo, hier ist mal eine Frage aus einer Klausur. Diese muss nur mit Ja oder Nein beantwortet werden.
Ich würde auch ja sagen wegen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^a} [/mm] mit a>1 ist eine Konvergenz gegeben.
Liege ich hier richtig mit meiner Annahme?
LG Lzaman
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 02:26 Do 29.07.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ja.
Es ist $ [mm] \frac{n+1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] + [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] $
Satz: Sind $ [mm] \sum a_k [/mm] $ und $ [mm] \sum b_k [/mm] $ beide Konvergent, so ist $ [mm] \sum(a_k [/mm] + [mm] b_k) [/mm] = [mm] \sum a_k [/mm] + [mm] \sum b_k [/mm] $
Grüße
ChopSuey
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 02:28 Do 29.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ja.
>
> Es ist [mm]\frac{n+1}{n^2} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}[/mm]
>
> Satz: Sind [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm] beide Konvergent, so ist
> [mm]\sum(a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k[/mm]
der Satz greift nicht, da [mm] $\sum [/mm] 1/n$ bekanntlich nicht konvergiert!
Beste Grüße,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 02:32 Do 29.07.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Marcel,
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > ja.
> >
> > Es ist [mm]\frac{n+1}{n^2} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}[/mm]
> >
> > Satz: Sind [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm] beide Konvergent, so ist
> > [mm]\sum(a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k[/mm]
>
> der Satz greift nicht, da [mm]\sum 1/n[/mm] bekanntlich nicht
> konvergiert!
Autsch! Natürlich nicht. Die harmonische Reihe war noch nie konvergent, haha.
Sorry und danke für's Aufpassen. Sollte nicht wieder vorkommen so ein peinlicher Fehler.
>
> Beste Grüße,
> Marcel
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:48 Do 29.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n^2}[/mm]
> ?
> Hallo, hier ist mal eine Frage aus einer Klausur. Diese
> muss nur mit Ja oder Nein beantwortet werden.
>
> Ich würde auch ja sagen wegen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^a}[/mm] mit a>1 ist eine
> Konvergenz gegeben.
>
> Liege ich hier richtig mit meiner Annahme?
nein. Grob gesagt hat [mm] $\sum (n+1)/n^2$ [/mm] das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum [/mm] 1/n$ (also Divergenz gegen [mm] $\infty$), [/mm] da für große [mm] $n\,$ [/mm] etwa gilt
[mm] $$(n+1)/n^2 \approx 1/n\,.$$
[/mm]
Wenn Du das genauer mathematisch formulieren willst:
Siehe etwa hier oder vor allem auch den Satz von Heuser, den ich hier zitiere.
P.S.:
Chopsueys Satz kann man hier übrigens doch verwenden, allerdings, um die Divergenz Deiner Reihe nachzuweisen - und anders, als von ChopSuey vorgeschlagen:
Nämlich nicht im direkten Beweis, sondern in einem Widerspruchsbeweis!
Angenommen, [mm] $\sum (n+1)/n^2$ [/mm] wäre konvergent. Dann gilt
[mm] $$\sum 1/n=\sum(n+1-1)/n^2=\sum(n+1)/n^2 -\sum 1/n^2\,,$$
[/mm]
da die letzte Reihe bekanntlich konvergiert und die vorletzte Reihe rechterhand nach Annahme konvergiert.
Dann folgt aber die Konvergenz von [mm] $\sum 1/n\,,$ [/mm] was bekanntlich falsch ist. Widerspruch.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:55 Do 29.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n^2}[/mm]
> ?
> Hallo, hier ist mal eine Frage aus einer Klausur. Diese
> muss nur mit Ja oder Nein beantwortet werden.
>
> Ich würde auch ja sagen wegen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^a}[/mm] mit a>1 ist eine
> Konvergenz gegeben.
>
> Liege ich hier richtig mit meiner Annahme?
übrigens das naheliegendste:
Für [mm] $\sum (n+1)/n^2$ [/mm] ist wegen [mm] $(n+1)/n^2 [/mm] > [mm] n/n^2=1/n$ [/mm] die Reihe [mm] $\sum [/mm] 1/n$ eine divergente Minorante.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:01 Do 29.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ok, das habe ich verstanden. Kann ich das auch noch verallgemeinern und sagen:
Jede Divergenz ist stärker als jede Konvergenz. Sprich, wenn eine Divergenz in einer Reihe auftaucht und Konvergenzen dazu addiert werden, ist diese dennoch divergent.
???
Oder gibts Gegenbeispiele?
LG Lzaman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:27 Do 29.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, das habe ich verstanden. Kann ich das auch noch
> verallgemeinern und sagen:
>
> Jede Divergenz ist stärker als jede Konvergenz. Sprich,
> wenn eine Divergenz in einer Reihe auftaucht und
> Konvergenzen dazu addiert werden, ist diese dennoch
> divergent.
das kommt drauf an. Wenn Du von "einer Divergenz" sprichst, dann meinst Du normalerweise "mindestens eine". Dann ist die Aussage falsch. Andernfalls siehe unten!
> ???
>
> Oder gibts Gegenbeispiele?
Ja, da kann man triviales konstruieren, sofern Du "mindestens eine Divergenz" meinst:
[mm] $$\sum 1/n^2=\sum(1-n+n)/n^2$$
[/mm]
Die Reihe linkerhand konvergiert, aber rechterhand "tauchen die divergenten Reihen
[mm] $$\sum (1-n)/n^2,\;\;\;\sum n/n^2=\sum [/mm] 1/n$$
auf."
Du mußt schon mit den Dir bekannten Sätzen argumentieren - manchmal geht das auch mit der Annahme, dass die betrachtete Reihe konvergiert und man dann mit einem dieser Sätze dann einen Widerspruch zu einer bekannten Tatsache folgert - z.B. wie oben in dem P.S. geschrieben.
Wenn Du aber z.B. oben meintest:
"Falls z.B. [mm] $a_n+b_n=c_n$ [/mm] ist und [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert und [mm] $\sum b_n$ [/mm] divergiert, dann kann [mm] $\sum c_n$ [/mm] nicht konvergieren!"
so ist das korrekt. Wäre nämlich [mm] $\sum c_n$ [/mm] hier konvergent, so folgte
[mm] $$\sum b_n=\sum(c_n -a_n)=\sum c_n [/mm] - [mm] \sum a_n\,$$
[/mm]
wegen der Konvergenz der beiden Reihen rechterhand, was die Konvergenz von [mm] $\sum b_n$ [/mm] (gegen [mm] $\sum c_n [/mm] - [mm] \sum a_n$) [/mm] nach sich ziehen würde. Widerspruch zur Voraussetzung, dass [mm] $\sum b_n$ [/mm] divergiert.
Wenn Du das doch anders meintest, dann musst Du die Frage präzisieren. Aber allgemein kann man eigentlich immer mit bekanntem argumentieren (notfalls zur "Widerspruchserzeugung").
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Setze [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n^2}. [/mm] Dann ist
(*) $1/n= [mm] a_n-1/n^2$
[/mm]
Wäre nun [mm] \sum a_n [/mm] konvergent, so würde aus (*) und dem v. Chopsuey zit. Satz die konvergenz von [mm] $\sum [/mm] 1/n$ folgen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Do 29.07.2010 | | Autor: | Marcel |
(In Bezugnahme auf den Artikel Testfrage: Antwort von fred97 im Forum Folgen und Reihen)
Hi Fred,
> Noch eine Möglichkeit:
>
> Setze [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{n^2}.[/mm] Dann ist
>
> (*) [mm]1/n= a_n-1/n^2[/mm]
>
> Wäre nun [mm]\sum a_n[/mm] konvergent, so würde aus (*) und dem v.
> Chopsuey zit. Satz die konvergenz von [mm]\sum 1/n[/mm] folgen
ist zwar nicht schlimm, aber das steht auch schon in meinern ersten Antwort dabei. (Beim P.S. dort.) Ich war hier aber anscheinend auch ein bisschen "übermotiviert" bei meinen Antworten 
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> (In Bezugnahme auf den Artikel Testfrage: Antwort
> von fred97 im Forum Folgen und Reihen)
>
> Hi Fred,
>
> > Noch eine Möglichkeit:
> >
> > Setze [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{n^2}.[/mm] Dann ist
> >
> > (*) [mm]1/n= a_n-1/n^2[/mm]
> >
> > Wäre nun [mm]\sum a_n[/mm] konvergent, so würde aus (*) und dem v.
> > Chopsuey zit. Satz die konvergenz von [mm]\sum 1/n[/mm] folgen
>
> ist zwar nicht schlimm, aber das steht auch schon in
> meinern ersten Antwort dabei. (Beim P.S. dort.) Ich war
> hier aber anscheinend auch ein bisschen "übermotiviert"
> bei meinen Antworten
>
> Beste Grüße,
> Marcel
Hallo Marcel,
tut mir leid, da hab ich wohl was übersehen
Gruß FRED
P.S. ich hab nur gesehen , dass Du mit Abschätzungen gearbeitet hast. Aber wie wir beide inzwischen wissen , ist Abschätzen keine Mathematik (Du erinnerst Dich ?).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Do 29.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Hallo Marcel,
>
> tut mir leid, da hab ich wohl was übersehen
kein Problem. Ich dachte nur, dass ich das nochmal erwähne, damit der Fragesteller nicht verwirrt ist und nun nach Unterschieden sucht.
>
> Gruß FRED
>
>
>
> P.S. ich hab nur gesehen , dass Du mit Abschätzungen
> gearbeitet hast. Aber wie wir beide inzwischen wissen , ist
> Abschätzen keine Mathematik (Du erinnerst Dich ?).
Ja, ein Glück, dass ich dann doch auch eine mathematische Lösung vorgeschlagen habe.
Beste Grüße,
Marcel
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