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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:39 So 29.08.2010 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega \subseteq \IR^d$ [/mm] offen und nicht leer. Desweiteren sei [mm] $(f_n)_n \subseteq \mathcal{D}(\Omega)$ [/mm] eine Folge im Raum der Testfunktionen.
[mm] ($\mathcal{D}(\Omega) [/mm] = [mm] C^{\infty}_{c}(\Omega)$ [/mm] mit der induktiven Limes Topologie) Es gilt [mm] $\lim_{n \to \infty} f_n [/mm] = 0$ in [mm] $\mathcal{D}(\Omega)$ [/mm] wenn 1. [mm] $\exists [/mm] K [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] kompakt und [mm] supp$(f_n) \subseteq [/mm] K$ für alle $n$ und 2. zu jedem $d-$dimensionalen Multiindex [mm] $\alpha \in \IN^d$ $\partial^\alpha f_n \to [/mm] 0$ $n [mm] \to \infty$ [/mm] gleichmässig in $K$ |
Hallo zusammen
Die obige Behauptung habe ich aus Kosaku Yosida's Functional Analysis Proposition 7. auf Seite 28 unten und Seite 29 oben. Der Beweis steht da, nur ich verstehe ihn nicht. Es ist mir klar, dass falls es solch eine kompakte Menge $K$ gibt, dann folgt aufgrund der Definition der induktiven Limes topologie der zweite Teil.
Es reicht also die Existenz einer solchen kompakten Menge $K$ zu zeigen.
Zu diesem Zweck nimmt er an, dass es keine solche Menge gibt. Dann (ich zitiere das Buch) existiert eine Folge [mm] $(x_k)_k \subseteq \Omega$, [/mm] die keinen Häufungspunkt hat und eine Teilfolge [mm] $(f_{n_k})_k$ [/mm] mit [mm] $f_{n_k}(x_k) \neq [/mm] 0$ für alle $k$. Dann definiert er $p(f):= [mm] \sum_{j} [/mm] 2 [mm] \sup_{x \in K_j - K_{j-1}} \biggr [/mm] | [mm] \frac{f(x)}{f_{n_k}(x_k) } \biggl [/mm] |$, wobei die [mm] $K_j$'s [/mm] eine aufsteigende Folge von kompakten Mengen sind deren Vereinigung gleich [mm] $\Omega$ [/mm] ist und [mm] $x_j \in K_j [/mm] - [mm] K_{j-1}$. [/mm] Er sagt jetzt $p$ ist eine Semi-Norm. Aber wie kommt er denn darauf ? Subadditivität und homogenität sind mir klar, aber warum ist $p(f) < [mm] \infty$ [/mm] für alle $f$ und warum steht da eine $2$ in der Summe?
Ich hoffe jemand kann mir da behilflich sein.
Gruss dazivo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 So 29.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ([mm]\mathcal{D}(\Omega) = C^{\infty}_{c}(\Omega)[/mm] mit der induktiven Limes Topologie)
Dazu hab ich erstmal eine Frage. Ich sehe da keinen induktiven Limes! Oder meinst du den induktiven Limes ueber [mm] $C^\infty(\Omega, [/mm] K) := [mm] \{ f \in C^\infty(\Omega) \mid f|_{\Omega \setminus K} = 0 \}$, [/mm] wobei $K$ ueber alle kompakten Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] geht?
Oder anders gesagt, [mm] $\mathcal{D}(\Omega) [/mm] = [mm] \{ f \in C^\infty(\Omega) \mid \text{ es gibt eine kompakte Teilmenge } K \subseteq \Omega \text{ mit } f|_{\Omega \setminus K} = 0 \}$?
[/mm]
> Zu diesem Zweck nimmt er an, dass es keine solche Menge
> gibt. Dann (ich zitiere das Buch) existiert eine Folge
> [mm](x_k)_k \subseteq \Omega[/mm], die keinen Häufungspunkt hat und
> eine Teilfolge [mm](f_{n_k})_k[/mm] mit [mm]f_{n_k}(x_k) \neq 0[/mm] für
> alle [mm]k[/mm]. Dann definiert er [mm]p(f):= \sum_{j} 2 \sup_{x \in K_j - K_{j-1}} \biggr | \frac{f(x)}{f_{n_k}(x_k) } \biggl |[/mm],
> wobei die [mm]K_j[/mm]'s eine aufsteigende Folge von kompakten
> Mengen sind deren Vereinigung gleich [mm]\Omega[/mm] ist und [mm]x_j \in K_j - K_{j-1}[/mm].
> Er sagt jetzt [mm]p[/mm] ist eine Semi-Norm. Aber wie kommt er denn
> darauf ? Subadditivität und homogenität sind mir klar,
> aber warum ist [mm]p(f) < \infty[/mm] für alle [mm]f[/mm] und warum steht da
> eine [mm]2[/mm] in der Summe?
Wenn das was ich oben geschrieben hab gilt, dann gibt es ein [mm] $n_0$ [/mm] mit $supp(f) [mm] \subseteq K_n$ [/mm] fuer alle $n [mm] \ge n_0$, [/mm] womit $f$ auf [mm] $K_{n+1} \setminus K_n$ [/mm] identisch 0 ist fuer alle $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Damit steht da nur eine endliche Summe. Weiterhin ist $f$ stetig auf [mm] $K_{j+1} \setminus K_j \subseteq K_{j+1}$, [/mm] womit es dort beschraenkt ist.
Damit hast du eine unendliche Summe, bei der nur endlich viele Summanden [mm] $\neq [/mm] 0$ sind und kein Summand [mm] $\infty$ [/mm] ist. Es gilt also $p(f) < [mm] \infty$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 So 29.08.2010 | | Autor: | dazivo |
hallo felix
Das was du geschrieben hast, ist das was ich meinte. Ich war nur zu faul die [mm] $C^{\infty}(\Omega, [/mm] K)$'s hinzuschreiben, sorry! Deine Argumentation ist einwandfrei! Es leuchtet mir auch jetzt ein, dass diese Summe eindlich sein muss.
Danke vielmals Felix!!
Gruss dazivo
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