Tetraeder und Ebene < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C (10/-1/1) D(2/7/5) wird von einer Ebene geschnitten, die durch B geht und normal zur Kante AD ist.
Berechne: 1) Die Koordinaten der weiteren Eckpunkte P und Q des Schnittdreiecks
2) Die Länge der Strecke PQ und den Winkel PBQ |
Die Ebene liegt "normal" zur Kante AD, dass heißt also im rechten Winkel.
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = D-A
[mm] =>\vektor{2\\ 7\\5}-\vektor{-6 \\ 3\\-3}=\vektor{8 \\ 4 \\ 8}
[/mm]
Doch wie soll ich jetzt weiter machen? Ich kenne mich wirklich nicht aus und weiß nicht, was ich nun tun soll. Bitte im Hilfe.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C
> (10/-1/1) D(2/7/5) wird von einer Ebene geschnitten, die
> durch B geht und normal zur Kante AD ist.
> Berechne: 1) Die Koordinaten der weiteren Eckpunkte P und
> Q des Schnittdreiecks
> 2) Die Länge der Strecke PQ und den Winkel PBQ
> Die Ebene liegt "normal" zur Kante AD, dass heißt also im
> rechten Winkel.
>
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = D-A
> [mm]=>\vektor{2\\ 7\\5}-\vektor{-6 \\ 3\\-3}=\vektor{8 \\ 4 \\ 8}[/mm]
>
> Doch wie soll ich jetzt weiter machen? Ich kenne mich
> wirklich nicht aus und weiß nicht, was ich nun tun soll.
> Bitte im Hilfe.
> Vielen Dank im Voraus!
Die Ebene besitzt also den Normalenvektor[mm]\vektor{8 \\ 4 \\ 8}[/mm].
Du weißt sicher, dass die drei Koordinaten des Normalenvektors einer Ebene in der Ebenengleichung
ax+by+cz=d wieder auftauchen?
Du musst nun d nur noch so anpassen, dass die Ebenengleichung zu den Koordinaten des darin liegenden Punktes B "passt".
Gruß Abakus
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Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C
(10/-1/1) D(2/7/5)
Normalvektor: $ [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ 8} [/mm] $
8x+4y+8z=d
Das d berechne ich mir, indem ich den Bezugspunkt mit dem Normalvektor multipliziere, also
$ [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ 8} $*\vektor{2 \\ 10 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ 40 \\ -8}
[/mm]
dass heißt die Ebenengleichung müsste nun 8x+4y+8z=48 lauten.
Stimmt meine Berechung? Und wie komme ich nun auf die weiteren Eckpunkt P und Q? Ich würde einfach die Koordinaten von x und z beim Punkt B vertauschen, doch ich bezweifle, dass das so einfach geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Fr 21.02.2014 | | Autor: | chrisno |
B ist ein Eckpunkt des Schnittdreiecks. Nun müssen noch zwei weitere gefunden werden. Das sind die Schnittpunkte der Kanten des Tetraeders mit der Ebene.
Mach folgendes:
Begründe, warum Du die Kanten AB und CB nicht betrachten musst.
Stelle die Funktion der Geraden auf, auf denen AD, AC und CD liegen.
Bestimme von alles drei Geraden jeweils den Schnittpunkt mit der Ebene.
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Hallo,
ein Tipp zum Weitermachen:
> Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C
> (10/-1/1) D(2/7/5)
>
> Normalvektor: [mm]\vektor{8 \\ 4 \\ 8}[/mm]
>
> 8x+4y+8z=d
>
> Das d berechne ich mir, indem ich den Bezugspunkt mit dem
> Normalvektor multipliziere,
Bis hier richtig.
> also
> [mm]\vektor{8 \\ 4 \\ 8}[/mm][mm] *\vektor{2 \\ 10 \\ -1}[/mm] = [mm]\vektor{16 \\ 40 \\ -8}[/mm]
Nein, da kommt kein Vektor raus, sondern eine Zahl.
> dass heißt die Ebenengleichung müsste nun 8x+4y+8z=48
> lauten.
Das stimmt, ist aber oben nicht korrekt aufgeschrieben. Übrigens würde ich Dir empfehlen jetzt noch zu kürzen:
2x+y+2z=6
Man kann auch noch normieren, aber das ist für die Aufgabe nicht nötig. Ob es trotzdem erwartet wird, weiß ich natürlich nicht.
> Stimmt meine Berechung? Und wie komme ich nun auf die
> weiteren Eckpunkt P und Q? Ich würde einfach die
> Koordinaten von x und z beim Punkt B vertauschen, doch ich
> bezweifle, dass das so einfach geht.
Nein, das geht gar nicht. Warum solltest Du das tun?
Stell Dir mal einen ebenen Schnitt durch einen Tetraeder vor. Der Schnitt kann in einem einzelnen Punkt bestehen, einer Linie, einem Dreieck oder einem Viereck.
Hier ist nun gegeben, dass der Schnitt durch eine der Ecken verläuft. Damit entfällt das Viereck als Schnittfigur. Außerdem suggeriert die Aufgabe, dass der Schnitt in einem Dreieck besteht.
Setze also auch die Punkte A,C und D (genauer: deren Ortsvektoren) in Deine Ebenengleichung ein. Je nachdem, was der dann ermittelte Skalar ergibt, zeigt sich, ob der betreffende Punkt auf der Ebene liegt oder nicht. Unterschiedliche Vorzeichen zeigen, wenn zwei Punkte auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen. Damit weißt Du dann, welche Kanten du genauer betrachten musst, um z.B. ihren Schnittpunkt mit der Ebene zu bestimmen.
Grüße
reverend
PS: Sorry, dass ich die Frage so lang unnütz reserviert hatte. Ich musste jobmäßig zu einem Notfall und habe schlicht vergessen, vorher auf "Abbrechen" zu klicken.
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> Hallo,
>
> ein Tipp zum Weitermachen:
>
> > Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C
> > (10/-1/1) D(2/7/5)
> >
> > Normalvektor: [mm]\vektor{8 \\ 4 \\ 8}[/mm]
> >
> > 8x+4y+8z=d
> >
> > Das d berechne ich mir, indem ich den Bezugspunkt mit dem
> > Normalvektor multipliziere,
>
> Bis hier richtig.
>
> > also
> > [mm]\vektor{8 \\ 4 \\ 8}[/mm][mm] *\vektor{2 \\ 10 \\ -1}[/mm] = [mm]\vektor{16 \\ 40 \\ -8}[/mm]
>
> Nein, da kommt kein Vektor raus, sondern eine Zahl.
>
> > dass heißt die Ebenengleichung müsste nun 8x+4y+8z=48
> > lauten.
>
> Das stimmt, ist aber oben nicht korrekt aufgeschrieben.
> Übrigens würde ich Dir empfehlen jetzt noch zu kürzen:
>
> 2x+y+2z=6
>
> Man kann auch noch normieren, aber das ist für die Aufgabe
> nicht nötig. Ob es trotzdem erwartet wird, weiß ich
> natürlich nicht.
>
> > Stimmt meine Berechung? Und wie komme ich nun auf die
> > weiteren Eckpunkt P und Q? Ich würde einfach die
> > Koordinaten von x und z beim Punkt B vertauschen, doch ich
> > bezweifle, dass das so einfach geht.
>
> Nein, das geht gar nicht. Warum solltest Du das tun?
>
> Stell Dir mal einen ebenen Schnitt durch einen Tetraeder
> vor. Der Schnitt kann in einem einzelnen Punkt bestehen,
> einer Linie, einem Dreieck oder einem Viereck.
>
> Hier ist nun gegeben, dass der Schnitt durch eine der Ecken
> verläuft. Damit entfällt das Viereck als Schnittfigur.
> Außerdem suggeriert die Aufgabe, dass der Schnitt in einem
> Dreieck besteht.
>
> Setze also auch die Punkte A,C und D (genauer: deren
> Ortsvektoren) in Deine Ebenengleichung ein. Je nachdem, was
> der dann ermittelte Skalar ergibt, zeigt sich, ob der
> betreffende Punkt auf der Ebene liegt oder nicht.
> Unterschiedliche Vorzeichen zeigen, wenn zwei Punkte auf
> verschiedenen Seiten der Ebene liegen. Damit weißt Du
> dann, welche Kanten du genauer betrachten musst, um z.B.
> ihren Schnittpunkt mit der Ebene zu bestimmen.
Wenn ich nun A (-6/3/-3)
in meine Ebenengleichung einsetze, dann müsste dass heißen, dass
8x+4y+8z=48
(-6*8)+(4*3)+(8*-3)=48
-48+12-24=48
-60=48 Punkt liegt nicht auf Ebene
B (Schnittpunkt) (2/10/-1)
16+40-8=48
48=48 w.A.
C (10/-1/1)
80-4+1=48
77=48 der Punkt liegt nicht auf der Ebene
D (2/7/5)
8*2+7*4+8*5=48
84=48 Der Punkt liegt nicht auf der Ebene.
Ich glaube ich habe irgendetwas falsch gemacht, da kein Punkt die "Bedingung" der Ebenengleichung, nämlich dass 48 das Ergebnis sein soll, zu erfüllen scheint bzw. weiß nicht, wie ich nun auf die anderen Eckpunkte P und Q kommen soll. Ich habe leider wirklich keine Ahnung, wie das gehen soll. Danke im Voraus!
>
> Grüße
> reverend
>
> PS: Sorry, dass ich die Frage so lang unnütz reserviert
> hatte. Ich musste jobmäßig zu einem Notfall und habe
> schlicht vergessen, vorher auf "Abbrechen" zu klicken.
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Hallo,
> > Setze also auch die Punkte A,C und D (genauer: deren
> > Ortsvektoren) in Deine Ebenengleichung ein. Je nachdem, was
> > der dann ermittelte Skalar ergibt, zeigt sich, ob der
> > betreffende Punkt auf der Ebene liegt oder nicht.
> > Unterschiedliche Vorzeichen zeigen, wenn zwei Punkte auf
> > verschiedenen Seiten der Ebene liegen. Damit weißt Du
> > dann, welche Kanten du genauer betrachten musst, um z.B.
> > ihren Schnittpunkt mit der Ebene zu bestimmen.
>
> Wenn ich nun A (-6/3/-3)
> in meine Ebenengleichung einsetze, dann müsste dass
> heißen, dass
> 8x+4y+8z=48
> (-6*8)+(4*3)+(8*-3)=48
Was um alles in der Welt rechnest du da? Es ist
8*(-6)+4*3+8*(-3)=-48+12-24=-60<48
> -48+12-24=48
> -60=48 Punkt liegt nicht auf Ebene
Ja, aber das alleine ist eine wertlose Erkenntnis. Wichtig ist, ob das Resultat kleiner oder größer als 48 ist, weshalb dies wichtig ist, hat reverend bereits erklärt.
Weiter finde ich deine Schreibweise sehr ungünstig, denn du setzt Dinge gleich, die nicht gleich sind und dann sagst du: Widerspruch. Mag sein, dass man dies da und dort in der Schule so macht, aber mathematisch gesehen ist es schlichtweg falsch!
>
> B (Schnittpunkt) (2/10/-1)
> 16+40-8=48
> 48=48 w.A.
Das ist nicht weiter verwunderlich, denn die Ebene ist doch so aufgestellt, dass sie B enthält. Also B hätte man hier weglassen können.
>
> C (10/-1/1)
> 80-4+1=48
> 77=48 der Punkt liegt nicht auf der Ebene
80-4+1=77>48
Und das sagt dir jetzt, dass die Punkte A und C auf unterschiedlichen Seiten der Ebene liegen.
>
> D (2/7/5)
> 8*2+7*4+8*5=48
> 84=48 Der Punkt liegt nicht auf der Ebene.
Auch hier ist die Schreibweise falsch. Nach dem Resultat 84>48 liegt D auf der gleichen Seite wie C, und damit ist jetzt klar, dass der Schnittpunkt der Ebene mit der Kante [mm] \overline{AC} [/mm] der gesuchte Eckpunkt ist.
> Ich glaube ich habe irgendetwas falsch gemacht, da kein
> Punkt die "Bedingung" der Ebenengleichung, nämlich dass 48
> das Ergebnis sein soll, zu erfüllen scheint bzw. weiß
> nicht, wie ich nun auf die anderen Eckpunkte P und Q kommen
> soll. Ich habe leider wirklich keine Ahnung, wie das gehen
> soll. Danke im Voraus!
Du hast den Sinn des oben gegebenen Tipps nicht verstanden. Schreiben wir mal die Koordinatenform einer Ebene für den Moment so:
E: [mm] a*x:1+b*x_2+c*x_3+d=0
[/mm]
Wenn man da Punkte einsetzt, die auf E liegen, muss logischerweise links Null herauskommen, das ist trivial. Nicht ganz so trivial (es hängt mit den Eigenschaften des Skalarprodukts zusammen) ist die folgende Tatsache: wenn ein Punkt nicht auf E liegt, dann kommt links beim Einsetzen logischerweise eine Zahl ungleich Null heraus. Und jetzt kommt es: wenn für zwei Punkte die durch Einsetzen gewonnenen Werte unterschiedliche Vorzeichen aufweisen, dann liegen diese Punkte auf verschiedenen Seiten der Ebene! Merk dir das unbedingt, das kann man gerade in Prüfungsaufgaben desöfteren gebrauchen.
Gruß, Diophant
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Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C (10/-1/1) D(2/7/5) wird von einer Ebene geschnitten, die durch B geht und normal zur Kante AD ist.
Berechne: 1) Die Koordinaten der weiteren Eckpunkte P und Q des Schnittdreiecks
2) Die Länge der Strecke PQ und den Winkel PBQ
> Du hast den Sinn des oben gegebenen Tipps nicht verstanden.
> Schreiben wir mal die Koordinatenform einer Ebene für den
> Moment so:
>
> E: [mm]a*x:1+b*x_2+c*x_3+d=0[/mm]
>
> Wenn man da Punkte einsetzt, die auf E liegen, muss
> logischerweise links Null herauskommen, das ist trivial.
> Nicht ganz so trivial (es hängt mit den Eigenschaften des
> Skalarprodukts zusammen) ist die folgende Tatsache: wenn
> ein Punkt nicht auf E liegt, dann kommt links beim
> Einsetzen logischerweise eine Zahl ungleich Null heraus.
> Und jetzt kommt es: wenn für zwei Punkte die durch
> Einsetzen gewonnenen Werte unterschiedliche Vorzeichen
> aufweisen, dann liegen diese Punkte auf verschiedenen
> Seiten der Ebene! Merk dir das unbedingt, das kann man
> gerade in Prüfungsaufgaben desöfteren gebrauchen.
>
> Gruß, Diophant
A (-6/3/-3) C (10 /-1/1)
[mm] \overrightarrow{AC}= \vektor{10 \\ -1 \\ 1 } [/mm] - [mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ -4 \\ 4}
[/mm]
Nun die Tangente aufstellen:
[mm] gAC=\vektor{-6 \\ 3 \\ -3} [/mm] + t* [mm] \vektor{16 \\ -4 \\ 4} [/mm] =>
[mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ -3}+ t*\vektor{4 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
x= 4t-6
y=3-t
z=t-3
Nun in die Ebenengleichung (8x+4y+8z=48) einsetzen:
=> 8*(4t-6)+4*(3-t)+8*(t-3)=48
32t-48+12-4t+8t-24=48
36t-60=48
36t=108
t=3
Nun t einsetzen:
x=4*3-6=6
y=3-3=0
z=3-3=0
Somit ist P [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Nun muss ich noch den anderen Schnittpunkt Q berechnen A (-6 / 3 / -3) D (2/7/5):
Dazu benötige ich [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ 8}
[/mm]
Als Bezugspunkt wähle ich wieder A
[mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ -3}+ [/mm] t* [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ 8}
[/mm]
=> [mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ -3}+ [/mm] t* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
x= 2t-6
y=t+3
z=2t-3
8*(2t-6)+4*(t+3)+8*(2t-3)=48
16t-48+4t+12+16t-24=48
36t=108
t=3
x=2*3-6=0
y=3+3=6
z=2*3-3=3
Somit wäre Q
[mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
2) Die Länge von [mm] \overrightarrow{PQ}= \vektor{0 \\ 6 \\ 3}-\vektor{6 \\ 0 \\ 0}= \vektor{-6 \\ 6 \\ 3}.
[/mm]
Die Länge von [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] ist dessen Betrag, also
[mm] \sqrt{-6^2+6^2+3^2}=\sqrt{81}=9 [/mm] E
Für den Winkel PBQ benötige ich da die beiden Vektoren [mm] \overrightarrow{PB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{QB}? [/mm] Meine Idee wäre dann deren Schnittwinkel mittels Skalarprodukt zu berechnen.
Stimmen meine Ergebnisse? Ich bedanke mich schon einmal herzlich bei allen, die mir bisher geholfen haben, ich weiß eure Hilfe wirklich zu schätzen :)
Liebe Grüße!
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| Aufgabe | Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C (10/-1/1) D(2/7/5) wird von einer Ebene geschnitten, die durch B geht und normal zur Kante AD ist.
Berechne: 1) Die Koordinaten der weiteren Eckpunkte P und Q des Schnittdreiecks
2) Die Länge der Strecke PQ und den Winkel PBQ |
Somit wäre dann der Winkel PBQ folgend zu berechnen:
B (2/10/-1)
P $ [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
Q $ [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 3} [/mm] $
[mm] \overrightarrow{PB}= \vektor{2 \\ 10 \\ -1}-\vektor{6 \\ 0 \\ 0}= \vektor{-4 \\ 10 \\ -1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{QB}= \vektor{2 \\ 10 \\ -1}- [/mm] $ [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 3} [/mm] $= [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -4}
[/mm]
[mm] cos\alpha =\bruch{\vektor{-4 \\ 10 \\ -1}*\vektor{2 \\ 4 \\-4}}{\wurzel{(-4^2+10^2+(-1^2))}*\wurzel{(2^2+4^2+(-4^2)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\vektor{-8 \\ 40 \\ 4}}{\wurzel{117}*\wurzel{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{36}{6*\wurzel{117}}
[/mm]
[mm] cos\alpha=0,554700196
[/mm]
=56,30993259°
Kann das stimmen?
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Hallo,
> Das Tetraeder mit den Eckpunkten A(-6/3/-3); B (2/10/-1); C
> (10/-1/1) D(2/7/5) wird von einer Ebene geschnitten, die
> durch B geht und normal zur Kante AD ist.
> Berechne: 1) Die Koordinaten der weiteren Eckpunkte P und Q
> des Schnittdreiecks
> 2) Die Länge der Strecke PQ und den Winkel PBQ
> Somit wäre dann der Winkel PBQ folgend zu berechnen:
> B (2/10/-1)
> P [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Q [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{PB}= \vektor{2 \\ 10 \\ -1}-\vektor{6 \\ 0 \\ 0}= \vektor{-4 \\ 10 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{QB}= \vektor{2 \\ 10 \\ -1}-[/mm] [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 3} [/mm]=
> [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -4}[/mm]
>
> [mm]cos\alpha =\bruch{\vektor{-4 \\ 10 \\ -1}*\vektor{2 \\ 4 \\-4}}{\wurzel{(-4^2+10^2+(-1^2))}*\wurzel{(2^2+4^2+(-4^2)}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\vektor{-8 \\ 40 \\ 4}}{\wurzel{117}*\wurzel{36}}[/mm]
>
Au weia. Im Zähler des Kosinussatzes steht ein Skalarprodukt. Dieses hat seinen Namen der Tatsache zu verdanken, dass das Resultat ein Skalar, keinesfalls jedoch ein Vektor ist!
Außerdem ist dir in der ersten Wurzel direkt um die [mm] x_1-Komponente [/mm] die notwendige Klammer verlustig gegangen.
> [mm]=\bruch{36}{6*\wurzel{117}}[/mm]
> [mm]cos\alpha=0,554700196[/mm]
> =56,30993259°
> Kann das stimmen?
Ja, das Resultat ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 So 23.02.2014 | | Autor: | chrisno |
Da ich es beim ersten Mal nicht korrigiert habe, da fand ich Anderes wichtiger, hat es dann Reverend angemerkt. Ich möchte nun Diophants Kommentar noch verstärken. Die Schreibweise ist falsch.
>
> [mm]=\bruch{\vektor{-8 \\ 40 \\ 4}}{\wurzel{117}*\wurzel{36}}[/mm]
Im Zähler darf hier kein Vektor stehen. Du kommst zum richtigen Ergebnis, dennoch werden Dir wegen der falschen Notation Punkte abgezogen.
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Schreib einfach nur das:
> [mm]=\bruch{36}{6*\wurzel{117}}[/mm]
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