Textaufg. Typ "S ist älter als < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | | Meine Fragestellg. ist sehr umfangreich. Ich habe die Fragen nummeriert: |
1) Es geht um Txt-Aufg. v. Typ "Sophie ist 2 J. älter als.., in 5 J. wird sie..."
Ich möchte wissen, wie die Überschrift solcher Aufg. heißt. Welchem Bereich der Mathematik sind solche Aufg. zuzuorden? Ich glaube wir befinden uns in der Algebra. Aber wie weiter? Im Übersichtspfad habe ich versucht, meine Fragestellg. einem Thema zuzuordnen. Ist es Zahlentheorie u. dann Relationen?
2.) Nun habe ich herausgefunden, dass solche Txt-Aufg. sehr gut u. leicht zu lösen sind, wenn man als Variable die Anfangsbuchstab. der in der Aufg. genannten Personen nimmt. D.h. man arbeitet mit 2 Unbekannten. Es geht aber auch, mit nur einer Unbekannten die Gleichungen aufzustellen, z.B. x. Allerdings scheint mir dies oft weitaus schwerer. Beispiel:
S ist dopp. so alt wie T.
Vor 4 J. war sie 6x so alt wie T. Wie alt sind beide heute?
Lösg. mit 2 Variablen: S = 2 T und S-4 = 6 (T-4)
Einsetzg.- oder Gleichsetzg., egal, fertig.
Lösg. nur mit x:
T = x und S = 6x
T: x + 4 = y
S: 6x +4 = 2y
x+4 einsetz. in y der der zweiten Gleichg.
Ergebnis x=1
Vergleiche ich nun beide Ansätze fällt mir KEINE Ähnlichkeit auf, wie z.B.
2 T ähnl. 2 x oder 6S+4 ähnlich 6x+4. Es ist grundsätzl. verschied.
Ist die Lösg. vom x-Ansatz vielleicht nur zufällig richtig, aber der Ansatz im Grunde genom. falsch?
3.) Die Aufg.: M ist jetz 24 J., T ist jetzt 1 J.. In wieviel Jahren ist M dopp. so alt wie T.?
Die Aufg. bekomme ich NUR mit den Variablen M=24 u. T=1 gelöst.
Ich kriege es nicht hin, eine Beziehg. der beiden mit nur einem x mit Gleichungen zu beschreiben. Geht es? Wenn ja wie?
4.) Ist meine bisherige Entdeckg. überhpt. richtig, dass man solche Textaufg. immer mit 2 Unbekannten u. auch mit nur einer Unbekannten lösen kann. Gehen immer grundsätzl. beide Lösgs.ansätze?
Ich hätte da noch eine Aufg., an der meine Fragen noch deutlicher werden, aber das wird wohl zu umfangreich. Vielen DANK für die Nachhilfe!!! Ich bin regelrecht gespannt.
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Hallo Giraffe,
das ist in der Tat lang...
> Meine Fragestellg. ist sehr umfangreich. Ich habe die
> Fragen nummeriert:
> 1) Es geht um Txt-Aufg. v. Typ "Sophie ist 2 J. älter
> als.., in 5 J. wird sie..."
> Ich möchte wissen, wie die Überschrift solcher Aufg.
> heißt. Welchem Bereich der Mathematik sind solche Aufg.
> zuzuorden? Ich glaube wir befinden uns in der Algebra. Aber
> wie weiter? Im Übersichtspfad habe ich versucht, meine
> Fragestellg. einem Thema zuzuordnen. Ist es Zahlentheorie
> u. dann Relationen?
Solche Gleichungen heißen diophantische Gleichungen. Der Begriff wird für Gleichungen benutzt, bei denen eine Zusatzbedingung ist, dass die Lösung ganzzahlig sein muss. Oft sind die Gleichungssysteme dann einfach unterbestimmt, haben aber mit der Zusatzbedingung trotzdem nur eine Lösung.
Ansonsten ist mir für die allfälligen Altersaufgaben Deines Typs kein allgemeiner Begriff bekannt. Das Gebiet ist die Algebra der natürlichen Zahlen.
> 2.) Nun habe ich herausgefunden, dass solche Txt-Aufg. sehr
> gut u. leicht zu lösen sind, wenn man als Variable die
> Anfangsbuchstab. der in der Aufg. genannten Personen nimmt.
Ja, genauso werden sie gestellt. Ich habe noch nie gelesen: Timo ist halb so alt, wie Tina sein wird, wenn Trixi doppelt so alt ist wie Timo war, als Tina 11 Jahre alt war. Und jetzt fehlt noch eine Angabe...
> D.h. man arbeitet mit 2 Unbekannten. Es geht aber auch,
> mit nur einer Unbekannten die Gleichungen aufzustellen,
> z.B. x. Allerdings scheint mir dies oft weitaus schwerer.
Klar, man kommt schneller durcheinander.
> Beispiel:
> S ist dopp. so alt wie T.
> Vor 4 J. war sie 6x so alt wie T. Wie alt sind beide
> heute?
> Lösg. mit 2 Variablen: S = 2 T und S-4 = 6 (T-4)
> Einsetzg.- oder Gleichsetzg., egal, fertig.
> Lösg. nur mit x:
> T = x und S = 6x
> T: x + 4 = y
> S: 6x +4 = 2y
> x+4 einsetz. in y der der zweiten Gleichg.
> Ergebnis x=1
> Vergleiche ich nun beide Ansätze fällt mir KEINE
> Ähnlichkeit auf, wie z.B.
> 2 T ähnl. 2 x oder 6S+4 ähnlich 6x+4. Es ist grundsätzl.
> verschied.
> Ist die Lösg. vom x-Ansatz vielleicht nur zufällig
> richtig, aber der Ansatz im Grunde genom. falsch?
Nein, das ist schon ok. Du hättest Dir sogar das y sparen können und einfach 6x+4=2(x+4) ansetzen können. Dass hier keine Ähnlichkeit entsteht, liegt aber nur daran, dass Du beim einen Ansatz das Alter heute errechnest, und beim andern das Alter vor 4 Jahren.
> 3.) Die Aufg.: M ist jetz 24 J., T ist jetzt 1 J.. In
> wieviel Jahren ist M dopp. so alt wie T.?
> Die Aufg. bekomme ich NUR mit den Variablen M=24 u. T=1
> gelöst.
> Ich kriege es nicht hin, eine Beziehg. der beiden mit nur
> einem x mit Gleichungen zu beschreiben. Geht es? Wenn ja
> wie?
x+24=2*(x+1)
> 4.) Ist meine bisherige Entdeckg. überhpt. richtig, dass
> man solche Textaufg. immer mit 2 Unbekannten u. auch mit
> nur einer Unbekannten lösen kann. Gehen immer grundsätzl.
> beide Lösgs.ansätze?
Ja, aber ich empfehle Dir dringend die Fassung mit 2 Unbekannten. Schreib Dir auch dazu, welchen Zeitpunkt die Variablen meinen (z.B. Timo heute) und nimm den gleichen Zeitpukt für alle Variablen. Nur so vermeidet man, sich selbst durcheinanderzubringen, obwohl eigentlich keine der Einschränkungen wirklich nötig ist.
> Ich hätte da noch eine Aufg., an der meine Fragen noch
> deutlicher werden, aber das wird wohl zu umfangreich.
> Vielen DANK für die Nachhilfe!!! Ich bin regelrecht
> gespannt.
Na, dann stell mal die Aufgabe als neue Anfrage ein.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
reverend, ich bin begeistert!
Die Aufg., die ich da noch hatte, ist nun überflüssig. Mit deiner Antw. ist meine grundsätzl. Frage beantwortest. Aber dann muss ich das noch üben, denn mit 2 Unbekannten geht es immer zieml. gut, aber mit nur einer Variablen hakt es oft (bei mir).
Allerdings hätte ich noch eine Nachfrage:
Auf die Frage: "Welchem Bereich der Mathematik sind solche Älter-als-Aufg. zuzuorden?" antw. du:
Es handelt sich um diophantische Gleichungen. Der Begriff wird für Gleichungen benutzt, bei denen eine Zusatzbedingung ist, dass die Lösung ganzzahlig sein muss. Oft sind die Gleichungssysteme dann einfach unterbestimmt, haben aber mit der Zusatzbedingung trotzdem nur eine Lösung.
Ansonsten ist mir für diese Art von Alters-Textaufg. kein allgemeiner Begriff bekannt.
Das Gebiet ist die Algebra der natürlichen Zahlen.
a) Frage:
Mit meinen Worten: Es sind diophantische Gleichungen, d.h. sie erfüllen 2 Bedingungen:
-ihre Lösg. muss immer eine ganze Zahl sein, (weil kein Mensch sagt: Sophie ist 7,5324 Jahre alt.)
-u. es darf NUR ein Ergebnis geben (x1= 4 u. x2=5 geht nicht)
Darf ich dich so verstehen?
b) Frage
Manche Gleichungssysteme sind unterbestimmt, haben aber mit der Zusatzbedingung trotzdem nur eine Lösung.
Das kapiere ich noch nicht. Manche Gleichgs.systeme sind nicht eindeutig definiert? So od. habe ich dich doch falsch verstanden?
c) Frage
Ich will es immer ganz genau wissen, deshalb auch noch diese Frage:
Du schreibst: Das Gebiet ist die Algebra der natürlichen Zahlen (weil keiner minus 7 Jahre alt sein kann). Aber beim Lösen/Umstellen der Gleichungen taucht durchaus -x usw. auf, ist es trotzdem "Algebra der natürlichen Zahlen"?
Für nochmalige Antw. vielen DANK
Super, prima, ich freue mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Sa 10.01.2009 | | Autor: | moody |
Hallo
> c) Frage
> Ich will es immer ganz genau wissen, deshalb auch noch
> diese Frage:
> Du schreibst: Das Gebiet ist die Algebra der natürlichen
> Zahlen (weil keiner minus 7 Jahre alt sein kann). Aber beim
> Lösen/Umstellen der Gleichungen taucht durchaus -x usw.
> auf, ist es trotzdem "Algebra der natürlichen Zahlen"?
Wenn du sagst x ist die Anzahl von Äpfeln, ist klar, dass wir uns im Gebiet der natürlichen Zahlen bewegen. Es gibt keine -2 Äpfel oder 2.3 Äpfel.
Wenn du eine Gleichung aufstellst, $x = 2y$
Dann kannst du rechnen
$x = 2y | *(-1)$
Nun hast du -x, das ändert aber nichts daran, dass wir uns bei den natürlichen Zahlen befinden.
Ob während der Rechnung oder des Umformens [mm] $\bruch{81}{99}x$ [/mm] auftreten ist egal. Was zählt ist, welche Werte für x in Frage kommen.
$ x = 2 $
$ x = 3 $
$ x = 4 $
Wenn die Werte die x annehmen kann [mm] \in \IN [/mm] sind, dann bewegen wir uns im Gebiet der natürlichen Zahlen. Was auf dem Rechenweg mit x passiert ist egal.
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu deiner Schwierigkeit mit nur einer Gleichung; Eigentlich hat man 2 Gleichngen im Kpf, aber die eine ist so leicht nach der anderen aufzulösen, dass man sie direkt einsetzt, Beispiel: die eine Gleichung ist das Gesamt alter, die andere irgendwas. also x+y=36
Die löst man in Gedanken auf y=36-x und setzt direkt statt y in die zweite Gleichung ein.
D.h. es besteht eigentlich kein Unterschied zwischen den 3 Methoden.
Kleinere Kinder bevorzugen die mit einer Unbekannten, weil sie automatisch die andere "Wissen"
Gruss leduart
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Hallo Giraffe,
Bei den meisten (einfacheren) dieser Schulbuchaufgaben
(die gibt es seit Jahrhunderten) ist der Aspekt, dass es
sich um diophantische Gleichungen handelt, gar nicht
wichtig. Es handelt sich um Aufgaben zum Thema
lineare Gleichungen / lineare Gleichungssysteme.
Es müssten auch gar nicht immer zwingend ganzzahlige
Werte sein. Bei Kleinkindern ist es ganz normal zu
sagen, dass sie z.B. 5 Monate alt oder anderthalbjährig
sind.
Für die Lösung solcher Aufgaben ist es wichtig, von
Anfang an klare Bezeichnungen einzuführen, z.B.:
a = Annas Alter heute
a-x = Annas Alter vor x Jahren
b = Berts Alter heute
Bert ist 5 Jahre jünger als Anna, also b = a-5
etc.
Auch eine tabellarische Übersicht der Personen mit ihren
Daten ist oft sehr nützlich. Die eigentliche Auflösung des
entstandenen Gleichungssystems ist dann meist ein
Kinderspiel.
Die kniffligeren Aufgaben dieser Art sind jene, die, wie
schon reverend deutlich gemacht hat, "echt diophantisch"
sind. Da werden nun ganzzahlige Lösungen vorausgesetzt,
und diese Ganzzahligkeit wird im Lösungsweg tatsächlich
irgendwie benützt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Ich benötige zu folg. Aufg. eine Tabelle:
S ist dopp. so alt wie T.
Vor 4 J. war sie 6-mal so alt wie T.
Wie alt sind beide heute?
Lösg. dieser Aufg. ist kein Probl., aber die Tab. schon. |
Hallo Al-Chwarizmi,
mon dieu ein schwieriger Name, aber was für eine super Antwort ....
Whow!
<Es handelt sich um Aufg. zum Thema lineare Gleichungen/lineare <Gleichungssysteme.
Ja, perfekt, das war ein (lebens)wichtiger Hinweis. DANKE.
<Es müssten auch gar nicht immer zwingend ganzzahlige Werte
<sein. Bei Kleinkindern sagt man auch oft, dass sie z.B.
<anderthalbjährig sind.
Ja, auch das stimmt sehr. DANKE f. diese doch wichtige Korrektur.
<Auch eine tabellarische Übersicht der Personen mit ihren Daten
<ist oft sehr nützlich.
WARUM?
Ist es möglich, ein Bsp. für eine solche Tabelle zu bekommen?
Aufg.: S = 2*T und S--4 = 6 ( T--4)
In einer Klass.-Arb. stand bei dieser Aufg. : "Lege eine Tabelle an, bevor du rechnest." Ich habe sofort gerechnet u. weiß bis heute nicht, wie hier eine Tabelle anzulegen sein könnte. Was ist gemeint?
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Hallo Giraffe,
vorab: ![[]](/images/popup.gif) Muhammad ibn Musa, Abu Dscha'far al-Chwarizmi war einer der Großen der Mathematikgeschichte. Die europäische Wissenschaftsgeschichte hat zwar früh zugegeben, dass die sog. "arabische Mathematik" ganz wesentliche Beiträge geliefert hat (hier eine kleine Facharbeit dazu), aber bis heute noch eher wenig dazu erforscht. Wie alleine ich mit dieser Einschätzung stehe, weiß ich nicht.
Die Sache mit den Tabellen ist irgendwie mühsam. Ich finde, dass man sie erst aufstellen kann, wenn man die Aufgabe in Gleichungen umgesetzt hat. Dann kann man sie aber auch lösen...
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 13.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
Was du da von Chwarizmi erzählst:
genial
Den hätte ich glatt geheiratet 
Habe gesehen, dass du ja auch bei Differential- u. auch Integralrechng. unterwegs bist u. sogar bei Themen, von denen ich noch nie gehört habe.
Whow!
Willst du mich heiraten? Ich bin grad etwas übermütig. Spaß beiseite, am Wochenende werde ich wied. rechnen.
Übrigens: die Aufg.
<Timo ist halb so alt, wie Tina sein wird, wenn Trixi doppelt
<so alt ist wie Timo war, als Tina 11 Jahre alt war. Und
<jetzt fehlt noch eine Angabe...
Als erstes habe ich gelacht.
Als zweites doch die Namen mit Namen ersetzt mit unterschiedl. Buchstab.
Und ich stimme zu, dass noch eine Angabe fehlt, um sie zu lösen.
Aber welche - keine Ahnung.
Für mein derzeitiges Niveau sind solche Fragestellungen vermutl. auch noch zu früh.
Kann natürlich auch sein, dass alles nur ein Scherz war.
Dann auch gut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Di 13.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hey Giraffe, Du bist lustig.
Das mag ich.
Leider bin ich schon verheiratet...
Wie es mit dem hiesigen Al-Chwarizmi steht, weiß ich zwar nicht, aber vielleicht stehst Du doch auf jüngere Männer als uns.
Sofern Du nicht selbst einer bist. 
In dem Fall bin ich glücklicherweise schon verheiratet...
Die Timo-Trixi-Aufgabe war zwar der Anfang eines Scherzes, aber natürlich kann man noch eine richtige Aufgabe daraus machen. Allerdings gibt es zahlreiche Möglichkeiten, die fehlende Bedingung anzusetzen. Probier das doch mal selbst. Wer eine Aufgabe stellen kann, kann normalerweise alle Aufgaben ähnlichen Typs lösen. Es gibt keine bessere Übung.
Die echten diophantischen Aufgaben sind übrigens ohne Kenntnis von Restklassen ("modulo-Rechnung") nur durch gezieltes Probieren zu lösen. Eine Tabellenkalkulation (Excel etc.) ist dabei ein hilfreiches Instrument.
lg,
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 13.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
vorhergehende Nachricht eben war für reverend
Diese für Al-Chwarizmi
Ich dachte tatsächl., dass wäre DEIN Name.
Zu der Tabelle: Das ist ja ein Witz.
Aber okey, alles klar, die Tabelle ist nur eine strukturierte Schreibweise. Nichts anderes habe ich doch sonst auch getan, nur dass die Anordnung mit der Tabelle vorgegeben ist.
Yeap, erledigt. Prima. DANKE
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> vorhergehende Nachricht eben war für reverend
> Diese für Al-Chwarizmi
> Ich dachte tatsächl., dass wäre DEIN Name.
> Zu der Tabelle: Das ist ja ein Witz.
> Aber okey, alles klar, die Tabelle ist nur eine
> strukturierte Schreibweise. Nichts anderes habe ich doch
> sonst auch getan, nur dass die Anordnung mit der Tabelle
> vorgegeben ist.
> Yeap, erledigt. Prima. DANKE
Hallo giraffe,
Natürlich bin ich bloss eine Reinkarnation von
Al-Chwarizmi. Die "Tabelle" mag ein Witz sein,
aber immerhin kein schlechter. "Strukturierte
Schreibweise" ist ein wesentliches Werkzeug
der Mathematik - das hätte sogar der "echte"
Al-Chwarizmi unterschrieben.
In Sachen Heiraten habe ich schon so gewisse
Erfahrungen. Nur mit sehr guten Argumenten
liesse ich mich möglicherweise überzeugen, es
ein weiteres Mal zu tun ... darauf angewiesen
bin ich nicht: das ist einer der Vorteile der
späteren Jahre !
Lieben Gruß Al-Chwarizmi
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> Ich benötige zu folg. Aufg. eine Tabelle:
> S ist dopp. so alt wie T.
> Vor 4 J. war sie 6-mal so alt wie T.
> Wie alt sind beide heute?
> Lösg. dieser Aufg. ist kein Probl., aber die Tab. schon.
> In einer Klass.-Arb. stand bei dieser Aufg. : "Lege eine
> Tabelle an, bevor du rechnest." Ich habe sofort gerechnet
> u. weiß bis heute nicht, wie hier eine Tabelle anzulegen
> sein könnte. Was ist gemeint?
zum Beispiel so:
heute vor 4 Jahren
Susanne s =2*t s-4 =6*(t-4)
Tanja t t-4
Das kann einem die Aufstellung der Gleichungen erleichtern.
Ich habe sie hier schon in die Tabelle eingetragen
Gruß
Al
(vereinfachte Schreibweise des Pseudonyms :
"Al" ist zwar im Arabischen nur ein Artikel)
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Da hast Du doch schon drei gute Antworten auf Deine Fragen. Soweit ich sehe, sind auch kaum noch Aspekte nicht berücksichtigt (wenn überhaupt, vielleicht habe ich das beim Überfliegen auch übersehen):
zu a)
Diophantische Gleichungen können mehrere Lösungen haben. Zum Rätsel taugen natürlich nur Aufgaben, bei denen das nicht so ist.
zu b)
Genau. Eigentlich ist die Aufgabe nicht lösbar, es sei denn, man setzt noch voraus, dass die Lösung ganzzahlig positiv ist. Ich finde gerade keine solche Aufgabe. Wer eine hat, kann sie hier ja gern einstellen.
zu c)
Auch schon geschrieben: auch natürliche Zahlen darf man subtrahieren. Wenn zwei Personen am gleichen Kalendertag Geburtstag haben, wie alt war die ältere, als die jüngere geboren wurde? Zwei Rechenwege: Geburtsjahre subtrahieren oder jetziges Alter subtrahieren. Trotzdem sind ja Geburtsjahre und Alter jeweils natürliche Zahlen.
Sorry für die Verzögerung, ich telefonier(t)e gerade überraschend lang.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 12.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Giraffe,
hier habe ich gerade festgestellt, dass eine frei erfundene Aufgabe sich noch durch eine zusätzliche diophantische Aufgabe ergänzen lässt.
31 Leute essen Suppe, 15 Salat, 26 Schnitzel. Alle zusammen bezahlen 515 Euro.
Leider ist nur bekannt, dass alle Preise in ganzen Euro waren, und dass ein Schnitzel genauso viel kostete, wie Suppe und Salat zusammen.
Zwei Gleichungen, drei Unbekannte. Und trotzdem eindeutig lösbar.
Und ganz am Rand noch eine Zusatzaufgabe:
Wir nehmen an, dass die 47 Teilnehmer für das Essen der Reiseleitung und des Fahrers aufkommen müssen. Was der Fahrer aß, wissen wir schon, nämlich alle drei Gerichte. Was haben die beiden anderen gegessen, so dass die Kosten tatsächlich genau aufgeteilt werden konnten?
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo reverend,
ich hoffe du hattest ein gutes Telefonat!
No Problem, ich danke dir für neues Futter. Werde aber erst am Woch.ende wieder zum Rechnen kommen. Denn das Üben solcher Aufg. ist f. mich noch lange nicht beendet. Insofern freue ich mich, dass ich HIER nun begleitet lernen kann. Also vielen DANK für deine Bemühungen. Bis in ein paar Tagen. Schön, ich freue mich echt!!!
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