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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Danke, Stefan, für den Hinweis! Jetzt habe ich mich immerhin schon ein bisschen informiert. 
Und ich habe fast das Gefühl, dass die Aufgabe nicht allzu schwierig ist - oder liege ich mit meinen Überlegungen wieder mal total daneben?
> Es sei [mm]G\subset\IR^3[/mm] und [mm]F:=(0,0,-\rho[/mm] z), [mm]\rho\in\IR.[/mm]
> Zeige
> [mm]-\integral_{\delta G}{F\;dS}=\rho Vol_3(G).[/mm]
Also ich habe mal "berechnet":
[mm] -\integral_{\delta G}{F\;dS} [/mm] = [mm] -\integral_{G}{div\;F\;dG} [/mm] = [mm] -\integral_{G}{div(0,0,-\rho\;z)\;dG} [/mm]
und nun weiß ich nicht so ganz weiter. Ach ja: ich bin jetzt einfach mal davon ausgegangen, dass der Integralsatz gilt - das müsste man wohl auch noch überprüfen und zeigen, oder?
So, aber wie berechne ich denn jetzt: [mm] div(0,0,-\rho\;z)? [/mm] Ist das [mm] 0+0-\rho [/mm] vielleicht??
Und wie geht's dann weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Naja, die Voraussetzungen sind erfüllt, wenn [mm] $\overline{G}$ [/mm] kompakt ist (was leider nicht vorausgesetzt war).
Nun gilt ja:
[mm] $div\; [/mm] F = [mm] \frac{\partial}{\partial x}F [/mm] + [mm] \frac{\partial}{\partial y}F [/mm] + [mm] \frac{\partial}{\partial z}F [/mm] = 0+0- [mm] \rho$.
[/mm]
Das hattest du ja schon berechnet.
Man erhält also:
[mm]-\integral_{G}{div\;F\;dG} = -\integral_G -\rho\, dG = \rho \integral 1\, dG = \rho Vol_3(G)[/mm].
Liebe Grüße
Stefan
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Gaußschen Integralsatz