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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Didi |
| Aufgabe | cosh(x):= (exp(x)+exp(-x))/2
sinh(x):= (exp(x)-exp(-x))/2
b) cosh(x+y)=cosh(x)*cosh(y)+sinh(x)*sinh(y)
c) cosh(x)= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] |
Ich versuche einige Theoreme zu beweisen. Das meiste habe ich schon geschafft, aber b) und c) kriege ich einfach nicht hin.
Zur c) habe ich bisher noch nichts wirklich sinnvolles.
Zur b): cosh(x+y)={exp(x+y)+exp(-(x+y))}/2=(exp(x+y)+exp(-x-y))/2={exp(x)exp(y)+exp(-x)exp(-y)}/2
Wie kann ich da aber weitermachen?
Vielen Dank schon mal.
Didi
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mo 19.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Didi
Ne Begrüßung wär doch eigentlich nett und unter ziv. Menschen üblich!
Ich stell mir vor, da du ja Lehrer wirst, dass du in ne Klasse kommst und kommentarlos Gleichungen anschreibst.
> cosh(x):= (exp(x)+exp(-x))/2
>
> sinh(x):= (exp(x)-exp(-x))/2
>
> b) cosh(x+y)=cosh(x)*cosh(y)+sinh(x)*sinh(y)
>
> c) cosh(x)= [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> Ich versuche einige Theoreme zu beweisen. Das meiste habe
> ich schon geschafft, aber b) und c) kriege ich einfach
> nicht hin.
> Zur c) habe ich bisher noch nichts wirklich sinnvolles.
> Zur b):
> cosh(x+y)={exp(x+y)+exp(-(x+y))}/2=(exp(x+y)+exp(-x-y))/2={exp(x)exp(y)+exp(-x)exp(-y)}/2
Bis hierher hast du doch nur die linke Seite umgeschrieben. jetzt rechnest du einfach die rechte Seite aus, 2 einfache Multiplikationen und siehst nach was raus kommt.
c) die 2 Reihen für [mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] einfach aufschreiben und addieren.
Ich hoff, dass du dich in deiner Lehrerzeit noch daran erinnerst, was alles dir am Anfang des Studiums schwer fiel und deine Schüler entsprechend nachsichtig behandeltst!
Gruss leduart
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Hallo,
du kannst auch die unter c) gegebene Potenzreihe benutzen und diese umformen. Das ist aber umständlicher. Deine angefangene Rechnung ist nicht mehr weit vom Ergebnis entfernt, wie leduart schon anmerkte!
Eine weitere interessante Möglichkeit, das zu beweisen, besteht darin die Hyperfunktionen in Winkelfunktionen umzuwandeln und für diese den Summensatz anzuwenden.
Du siehst, es gibt viele Möglichkeiten, das zu zeigen!!
Viele grüße
Daniel
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