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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:43 Di 15.01.2013 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Aufgabe (Tightness of a set of normal distributions) :
Prüfe: Eine Familie von Normalverteilungen { [mm] N_{\mu,\sigma^{2}}: (\mu, \sigma^{2}) \in [/mm] L } ist straff in [mm] \IR [/mm] genau dann wenn die Indexmenge L [mm] \subset \IR [/mm] x [mm] (0,\infty) [/mm] beschränkt ist. |
Hallo!
Ich weiß nicht genau,wie ich obige Äquivalenz beweisen kann.
Unsere Definition von Staffheit :
(Stra heit). Eine beliebige Familie [mm] (Pi)_{i \in I} [/mm] von Wahrscheinlichkeitsmaßen
auf einem metrischen Raum (E; d) heißt straff , falls zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine kompakte Menge K [mm] \subset [/mm] E existiert mit [mm] Pi(K^{c}) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für jedes i [mm] \in [/mm] I.
So ich kann mir zwar vorstellen,wie das gehen soll,aber nicht, wie ich das formal richtig beweisen soll. Was ich verstehe :
=>
Unsere Familie ist straff -> es gibt eine kompakte Menge K [mm] \subset \IR [/mm] , sodass dieses Intervall K fast alles bis auf einen [mm] \varepsilon [/mm] -Bereich dieser Familie von Normalverteilungen abdeckt. D.h. dass unsere [mm] (\mu,\sigma^{2}) [/mm] Mengen einen beschränkten Wertebereich haben,da ansonsten es [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] gibt,sodass die Normalglockenabdeckung einen größeren Bereich als [mm] \varepsilon [/mm] nicht abdeckt. ALso ist die Indexmenge L von [mm] (\mu,\sigma^{2}) [/mm] durch die Intervallgrenzen von K beschränkt.
<=
Unsere Indexmenge ist beschränkt,also erreicht die größte Masse bis auf einen [mm] \varepsilon [/mm] Bereich unserer Familie von Normalverteilung nur einen bestimmten Bereich in [mm] \IR [/mm] . Dieser Bereich ist kompakt,da [mm] K^{c} [/mm] offen ist aufgrund der Existenz von [mm] \varepsilon [/mm] > 0 (halt beliebige [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung in [mm] K^{c},sodass [/mm] dieses eben offen ist).
Nach Definition ist also unsere Familie straff.
Dies soll nur meinen Gedankengang wiedergeben, ob ich auf dem richtigen Weg bin,denn das ist alles mehr als schwammig und formal falsch, vlt. auch schlecht verständlich.
Also bitte ich um ein Feedback und Tipps,wie ich das jetzt,sollte mein GEdankengang richtig sein, formal angehen soll.
Danke schonmal! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 17.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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