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| Aufgabe | Seien $f,g: [mm] X\to [/mm] Y$ stetige Abbildungen topologischer Räume und $Y$ Hausdorffsch. Zeigen Sie auf zwei verschiedene Arten, dass die Menge
[mm] $\{x\in X:f(x)=g(x)\}\subseteq [/mm] X$ abgeschlossen ist.
Zum Beispiel mit Umgebungen, Netzen, oder der Abgeschlossenheit der Diagonale in [mm] $Y\times [/mm] Y$. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich soll auf zwei verschiedene Arten zeigen, dass die Menge [mm] $D:=\{x\in X: f(x)=g(x)\}$
[/mm]
abgeschlossen ist.
Wir haben folgende Sätze, welche man hier wahrscheinlich anwenden kann:
Satz 1:
Sei $X$ ein topologischer Raum und [mm] $A\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $x\in [/mm] X$. Dann sind äquivalent:
1) [mm] $x\in\overline{A}$
[/mm]
2) für jede Umgebung $U$ von $x$ gilt [mm] $U\cap A\neq\emptyset$
[/mm]
3) es gibt ein Netz [mm] $(x_\lambda)_\lambda$ [/mm] in $A$ mit [mm] $x_\lambda\to [/mm] x$ in $X$.
Satz 2:
Für jeden topologischen Raum sind äquivalent:
1) Je zwei Punkte [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $x\neq [/mm] y$ haben disjunkte Ungebungen
2) [mm] $\Delta:=\{(x,x):x\in\mathbb{R}\}\subseteq X\times [/mm] X$ ist abgeschlossen.
3) Jedes Netz in X hat höchstens einen Grenzwert.
Ich würde es erstmal gerne mithilfe von Umgebungen und Netzen probieren. Dazu werde ich wohl den erst zitierten Satz anwenden können.
Wenn das stimmt, dann wären diese Aussagen jedoch äquivalent. Und dann hätte ich ja keine zwei verschiedenen Beweise, oder?
Für die Abgeschlossenheit der Diagonalen in [mm] $Y\times [/mm] Y$ könnte der zweite Satz nützlich sein.
Ich möchte es nun zu erst probieren mit Umgebungen zu beweisen.
Wenn ich zeigen kann, dass für alle [mm] $x\in [/mm] D$ gilt, dass für jedes $x$ und jede Umgebung $U$ um $x$ gilt, dass [mm] $U\cap D\neq \emptyset$ [/mm] gilt, dann
folgt, dass [mm] $D=\overline{D}$, [/mm] also $D$ abgeschlossen.
Richtig?
Wie zeige ich dies?
Sei [mm] $x\in [/mm] D$ beliebig und [mm] $x\in [/mm] U$ für jede Umgebung $U$ von $x$, dann gilt [mm] $\emptyset\neq\{x\}\subseteq U\cap [/mm] D$.
Also [mm] $x\in\overline{D}$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] D$. Also [mm] $D=\overline{D}$ [/mm] und somit ist $D$ abgeschlossen.
Das kann doch wohl kaum richtig sein, also werde ich wohl falsch angesetzt haben.
Wie müsste ich richtig ansetzen?
Über einen Hinweis würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Di 10.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Du willst also mit Umgebungen zeigen, dass
$D:= [mm] \{x\in X:f(x)=g(x)\} [/mm] $ abgeschlossen ist.
Ich würde das so machen: zeige $K:=X [mm] \setminus [/mm] D$ ist offen.
Dazu sei [mm] x_0 \in [/mm] K. Dann ist [mm] f(x_0) \ne g(x_0). [/mm] Da Y Hausdorffsch ist, gibt es eine offene Umgebung U von [mm] f(x_0) [/mm] und eine offene Umgebung V von [mm] g(x_0) [/mm] mit
$U [mm] \cap [/mm] V= [mm] \emptyset$.
[/mm]
Da f und g stetig sind, sind [mm] U_1:=f^{-1}(U) [/mm] und [mm] V_1:=g^{-1}(V) [/mm] offene Umgebungen von [mm] x_0.
[/mm]
Somit ist [mm] $W:=U_1 \cap V_1$ [/mm] ebenfalls eine offene Umgebung von [mm] x_0.
[/mm]
Zeige Du nun: $W [mm] \subseteq [/mm] K$.
Das zeigt die Offenheit von K.
FRED
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Danke. Das hilft mir schon einmal sehr weiter.
Ich hätte noch eine Frage zu deinem Beweis des ersten Teils:
> Da Y Hausdorffsch ist, gibt es eine offene Umgebung U von $ [mm] f(x_0) [/mm] $ und > eine offene Umgebung V von $ [mm] g(x_0) [/mm] $ mit
> $ U [mm] \cap [/mm] V= [mm] \emptyset [/mm] $.
Wir hatten Hausdorffsch so definiert, dass es nur disjunkte Umgebungen gibt.
Du verwendest hier direkt eine offene Umgebung.
Da es jedoch disjunkte Umgebungen gibt, enthalten diese jeweils offene Mengen, welche natürlich auch disjunkt sind. (Edit: Und Umgebung von [mm] $f(x_0)$ [/mm] bzw. [mm] $g(x_0)$)
[/mm]
Zeigen möchte ich, dass für [mm] $x\in [/mm] W$ auch [mm] $x\in [/mm] K$ gilt.
Sei also [mm] $x\in W=U_1\cap V_1$. [/mm] Also [mm] $x\in U_1$ [/mm] und [mm] $x\in V_1$.
[/mm]
Daher [mm] $x\in f^{-1}(U)=\{x\in X: f(x)\in U\}$ [/mm] und [mm] $x\in g^{-1}(V)=\{x\in X: g(x)\in V\}$
[/mm]
Also gibt es dann ein $x$ so, dass [mm] $f(x)\in [/mm] U$ und [mm] $g(x)\in [/mm] V$. Da [mm] $U\cap V=\empyset$ [/mm] ist also [mm] $f(x)\neq [/mm] g(x)$ und somit [mm] $x\in [/mm] K$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 10.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke. Das hilft mir schon einmal sehr weiter.
> Ich hätte noch eine Frage zu deinem Beweis des ersten
> Teils:
>
> > Da Y Hausdorffsch ist, gibt es eine offene Umgebung U von
> [mm]f(x_0)[/mm] und > eine offene Umgebung V von [mm]g(x_0)[/mm] mit
>
> > [mm]U \cap V= \emptyset [/mm].
>
> Wir hatten Hausdorffsch so definiert, dass es nur disjunkte
> Umgebungen gibt.
Das läuft aufs gleiche hinaus.
Was bedeutet denn "U ist eine Umgebung von x"?
Das: es ex. eine offene Menge G mit $x [mm] \in [/mm] G [mm] \subset [/mm] U$. Damit ist natürlich auch G eine Umgebung von x, und zwar eine offene !
> Du verwendest hier direkt eine offene Umgebung.
> Da es jedoch disjunkte Umgebungen gibt, enthalten diese
> jeweils offene Mengen, welche natürlich auch disjunkt
> sind. (Edit: Und Umgebung von [mm]f(x_0)[/mm] bzw. [mm]g(x_0)[/mm])
>
> Zeigen möchte ich, dass für [mm]x\in W[/mm] auch [mm]x\in K[/mm] gilt.
>
> Sei also [mm]x\in W=U_1\cap V_1[/mm]. Also [mm]x\in U_1[/mm] und [mm]x\in V_1[/mm].
>
> Daher [mm]x\in f^{-1}(U)=\{x\in X: f(x)\in U\}[/mm] und [mm]x\in g^{-1}(V)=\{x\in X: g(x)\in V\}[/mm]
>
> Also gibt es dann ein [mm]x[/mm] so, dass [mm]f(x)\in U[/mm] und [mm]g(x)\in V[/mm].
> Da [mm]U\cap V=\empyset[/mm] ist also [mm]f(x)\neq g(x)[/mm] und somit [mm]x\in K[/mm].
Richtig !
FRED
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> Das läuft aufs gleiche hinaus.
Genau. Es ging mir eher um die Feinheit in der Formulierung, wobei dann extra für die disjunkten Umgebungen zu folgern, dass es auch eine offene Umgebung gibt unnötig umständlich ist.
> Richtig !
Das ist schön. Danke.
Mir ist aber leider noch nicht ganz klar, wieso aus [mm] $W\subseteq [/mm] K$ nun die Offenheit von $K$ folgt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Di 10.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Das läuft aufs gleiche hinaus.
>
> Genau. Es ging mir eher um die Feinheit in der
> Formulierung, wobei dann extra für die disjunkten
> Umgebungen zu folgern, dass es auch eine offene Umgebung
> gibt unnötig umständlich ist.
>
> > Richtig !
>
> Das ist schön. Danke.
> Mir ist aber leider noch nicht ganz klar, wieso aus
> [mm]W\subseteq K[/mm] nun die Offenheit von [mm]K[/mm] folgt.
Es war x [mm] \in [/mm] K und W eine offene Umgebung von x mit W [mm] \subseteq [/mm] K
Nenn wir W genauer [mm] W_x
[/mm]
Dann ist K= [mm] \bigcup_{x \in K}^{}W_x [/mm] eine Vereinigung offener Mengen, also offen.
FRED
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Danke, so ist es klar.
Als nächstes möchte ich probieren die Abgeschlossenheit von $D$ mithilfe von Netzen zu zeigen.
Dazu müsste ich dann auch eine gerichtete Menge finden, was vielleicht nicht ganz einfach ist.
Vielleicht ist es ja doch einfacher die Abgeschlossenheit der Diagonalen in [mm] $Y\times [/mm] Y$ zu zeigen.
Könnte ich denn dazu einen der angegebenen Sätze benutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Di 10.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke, so ist es klar.
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> Als nächstes möchte ich probieren die Abgeschlossenheit
> von [mm]D[/mm] mithilfe von Netzen zu zeigen.
> Dazu müsste ich dann auch eine gerichtete Menge finden,
> was vielleicht nicht ganz einfach ist.
>
> Vielleicht ist es ja doch einfacher die Abgeschlossenheit
> der Diagonalen in [mm]Y\times Y[/mm] zu zeigen.
>
> Könnte ich denn dazu einen der angegebenen Sätze
> benutzen?
Zunächst folgendes:
Sei T eine Teilmenge eines top. Raumes X. Dann gilt:
T ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jedes konvergente Netz $ [mm] (x_\lambda)_\lambda [/mm] $ aus T gehört auch der Grenzwert von $ [mm] (x_\lambda)_\lambda [/mm] $ zu T.
Ist also $ [mm] (x_\lambda)_\lambda [/mm] $ ein konv. Netz in D mit Grenzwert x, so gilt zunächst
[mm] f(x_\lambda)= g(x_\lambda) [/mm] für jedes [mm] \lambda.
[/mm]
Nun nutze die Stetigkeit von f und g , um x [mm] \in [/mm] D zu sehen.
FRED
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Da $f,g$ stetig sind, gilt für jedes Netz [mm] $(x_\lambda)_\lambda$, [/mm] dass aus
[mm] $x_\lambda\stackrel{\lambda\to\infty}{\to}x$ [/mm] folgt [mm] $f(x_\lambda)\stackrel{\lambda\to\infty}{\to} [/mm] f(x)$
Für ein konvergentes Netz [mm] $(x_\lambda)\stackrel{\lambda\to\infty}{\to}x$ [/mm] in $D$ ist dann wegen [mm] f(x_\lambda)=g(x_\lambda) [/mm] auch $f(x)=g(x)$. Also [mm] $x\in [/mm] D$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Da [mm]f,g[/mm] stetig sind, gilt für jedes Netz
> [mm](x_\lambda)_\lambda[/mm], dass aus
>
> [mm]x_\lambda\stackrel{\lambda\to\infty}{\to}x[/mm] folgt
> [mm]f(x_\lambda)\stackrel{\lambda\to\infty}{\to} f(x)[/mm]
>
> Für ein konvergentes Netz
> [mm](x_\lambda)\stackrel{\lambda\to\infty}{\to}x[/mm] in [mm]D[/mm] ist dann
> wegen [mm]f(x_\lambda)=g(x_\lambda)[/mm] auch [mm]f(x)=g(x)[/mm]. Also [mm]x\in D[/mm]
Genauso geht das !
Fred
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Wow, das war dann ja ziemlich einfach.
Hätte ich jetzt nicht gedacht, dass das korrekt ist...
Vielen Dank.
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