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Forum "Topologie und Geometrie" - Topologie Blatt 2 Aufgabe 1
Topologie Blatt 2 Aufgabe 1 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Topologie Blatt 2 Aufgabe 1: Aufgabenteil a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Sa 23.10.2021
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe
Wir definieren eine Topologie auf der Menge S={0,1} mit den offenen Mengen [mm] \emptyset, [/mm] {1}, {0,1}. Prüfen Sie, dass dies tatsächlich eine Topologie ist.


Ich weiß was die Bedingungen für einen topologischen Raum/eine Topologie sind: Es handelt sich um ein Mengensystem T und einer Teilmenge X und es muß erfüllt sein, dass die leere Menge und die gesamte Menge X in dem topologischen Raum enthalten sind. Weiterhin muss der Durchschnitt endlich vieler Elemente von T ein Element des topologischen Raumes sein. Als letztes muss ebenfalls die Vereinigung von Elementen von T ein  Element von T sein.

Allerdings bräuchte ich ein wenig Hilfe, wenn es darum geht dies zu zeigen und vor Allem wie man dies aufschreibt. Über (eventuell auch etwas umfangreichere) Lösungsansätze wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Webseiten gestellt.

        
Bezug
Topologie Blatt 2 Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Sa 23.10.2021
Autor: statler

Hallo!

> Wir definieren eine Topologie auf der Menge S={0,1} mit den
> offenen Mengen [mm] \emptyset, [/mm] {1}, {0,1}. Prüfen Sie, dass
> dies tatsächlich eine Topologie ist.

>  Ich weiß was die Bedingungen für einen topologischen
> Raum/eine Topologie sind: Es handelt sich um ein
> Mengensystem T und einer Teilmenge X und es muß erfüllt
> sein, dass die leere Menge und die gesamte Menge X in dem
> topologischen Raum enthalten sind.

Vielleicht weißt du es, aber richtig ausdrücken kannst du es nicht. Es handelt sich um eine Menge X und eine Teilmenge T der Potenzmenge [mm] $\mathcal{P}(X)$ [/mm] von X mit gewissen Eigenschaften. Du mußt jetzt nachprüfen, ob das gegebene Mengensystem diese Eigenschaften hat. Daß es eine Teilmenge der Potenzmenge ist, ist offensichtlich, da würde ich mich weigern, zusätzlich noch etwas hinzuschreiben.

> Weiterhin muss der
> Durchschnitt endlich vieler Elemente von T ein Element des
> topologischen Raumes sein. Als letztes muss ebenfalls die
> Vereinigung von Elementen von T ein  Element von T sein.

Nun bilden freundlicherweise die Elemente deines Mengensystems S eine aufsteigende Kette: [mm] $\emptyset \subset \{1\} \subset \{0, 1\}$. [/mm] Damit bist du fein raus, denn damit ist jede Vereinigung und jeder Durchschnitt wieder ein Element dieser Kette.
  
Vielleicht machst du mal ein paar eigene Versuche, sonst wird das nix. Mathematik ist kein Zuschauersport.

Viele Grüße aus HH
Dieter

Bezug
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