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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 So 05.02.2012 | | Autor: | sissile |
Frage: Ich suche eine Menge die nur einen Randpunkt besitzt!
Um diese dann (durch Kopieren der Menge) auf n Randpunkte zu bringen.
Komplette Aufgabe:
Man soll eine Teilmenge von den reellen Zahlen kostruieren mit folgenden Eigenschaften.
>Infimum aber kein Min bei 0
>Innerer Punkt bei 1/2
>Maximum bei 1
>abzählbar viele Randpunkte
LG
Kollege meinte es hätte vlt mit goldenen schnitt zu tun.
Außerdem gepostet bei http://matheplanet.com/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 So 05.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
> Frage: Ich suche eine Menge die nur einen Randpunkt
> besitzt!
> Um diese dann (durch Kopieren der Menge) auf n Randpunkte
> zu bringen.
>
> Komplette Aufgabe:
> Man soll eine Teilmenge von den reellen Zahlen kostruieren
> mit folgenden Eigenschaften.
> >Infimum aber kein Min bei 0
> >Innerer Punkt bei 1/2
> >Maximum bei 1
> >abzählbar viele Randpunkte
mit abzählbar meinst Du hier vielleicht genauer wirklich "abzählbar unendlich viele" Randpunkte, oder? Ansonsten würde $]0,1]$ ja alles erfüllen, was langweilig wäre.
Ob oder was das mit dem goldenen Schnitt zu tun hat, weiß ich nicht. Der Kollege sollte da mal mehr sagen, was er machen will. Denn zwangsläufig muss das meiner Ansicht nach nix mit dem goldenen Schnitt zu tun haben, evtl. kann man aber solch' eine Menge konstruieren mit dem goldenen Schnitt bzw. vll. dann auch den Fibonaccizahlen.
Ich fänd's hier naheliegend, mal sowas wie das Intervall
[mm] $$[1/3,\;2/3]$$
[/mm]
herzunehmen, dieses mit der "Cantorschen Wischmenge" zu vereinigen, und dann noch die [mm] $0\,$ [/mm] aus dieser Vereinigung rauszunehmen. Sollte alles erfüllen, denke ich.
Edit: Wie bereits erwähnt: Die Idee mit der Cantormenge ist zu verwerfen, da wir dann überabzählbar viele Randpunkte hätten!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 So 05.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs mit
$[1/3,1] [mm] \cup \{1/4,1/5,1/6,...\}$.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 05.02.2012 | | Autor: | sissile |
> Wie wärs mit
>
> [mm][1/3,1] \cup \{1/4,1/5,1/6,...\}[/mm].
Maximum bei 1
Die Folge 1/n für n [mm] \ge [/mm] 4 strebt gegen 0 erreicht es aber nicht -> Infimum, aber kein Max
innerer Punkt bei 1/2
abzählbar viele Randpunkte da eine Teilmenge der rationalen zahlen abzählbar ist.
Supa passt ;)
> Ich fänd's hier naheliegend, mal sowas wie das Intervall
$ [mm] [1/3,\;2/3] [/mm] $
> herzunehmen, dieses mit der "Cantorschen Wischmenge" zu vereinigen, und dann noch die $ [mm] 0\, [/mm] $ aus dieser Vereinigung rauszunehmen. Sollte alles erfüllen, denke ich.
Du meinst [0,1] herzunehmen und jeweils das mittlere Drittel "wegzuwischen"
[0,1/3], [2/3,1]
weiter [0,1/9],[2/9,3/9],[2/3,7/9],[8/9,1]
Wie schreibe ich das allgemein auf?
[mm] [1/3,\;2/3] \cup [/mm] ("Cantorschen Wischmenge")/0
aber sind dass dann abzählbar viele Randpunkte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 So 05.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> > Wie wärs mit
> >
> > [mm][1/3,1] \cup \{1/4,1/5,1/6,...\}[/mm].
> Maximum bei 1
> Die Folge 1/n für n [mm]\ge[/mm] 4 strebt gegen 0 erreicht es aber
> nicht -> Infimum, aber kein Max
Hier ist auch zu beachten, dass [mm] $0\,$ [/mm] insbesondere eine untere Schranke für die von Fred aufgestellte Menge ist!
> innerer Punkt bei 1/2
> abzählbar viele Randpunkte da eine Teilmenge der
> rationalen zahlen abzählbar ist.
Außerdem ist zu beachten, dass Fred "isolierte Punkte" aus den rationalen Zahlen genommen hat. (Als isolierte Punkte sind die "$1/n$-Punkte" automatisch auch Randpunkte!)
> Supa passt ;)
>
>
> > Ich fänd's hier naheliegend, mal sowas wie das Intervall
>
> [mm][1/3,\;2/3][/mm]
>
>
> > herzunehmen, dieses mit der "Cantorschen Wischmenge" zu
> vereinigen, und dann noch die [mm]0\,[/mm] aus dieser Vereinigung
> rauszunehmen. Sollte alles erfüllen, denke ich.
> Du meinst [0,1] herzunehmen und jeweils das mittlere
> Drittel "wegzuwischen"
> [0,1/3], [2/3,1]
> weiter [0,1/9],[2/9,3/9],[2/3,7/9],[8/9,1]
> Wie schreibe ich das allgemein auf?
> [mm][1/3,\;2/3] \cup[/mm] ("Cantorschen Wischmenge")/0
> aber sind dass dann abzählbar viele Randpunkte?
Ohje, Du hast Recht: Natürlich hätten wir dann überabzählbar viele Randpunkte.
Aufgeschrieben hätte ich das so:
Sei [mm] $C\,$ [/mm] die Cantormenge, dann setzen wir
$$M:=(C [mm] \cup [1/3,\;2/3]) \setminus \{0\}\,.$$
[/mm]
Aber leider hat diese Menge überabzählbar viele Randpunkte!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mi 08.02.2012 | | Autor: | sissile |
jap, danke für die Hilfe ;))
Schöne Woche
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