Topologie, stetig, konvergenz < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir nennen eine Teilmenge [mm] $U\subseteq\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ [/mm] offen genau dann wenn [mm] $\infty\notin [/mm] U$ oder [mm] $\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}\subseteq [/mm] U$ für ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass diese offenen Mengen eine Topologie [mm] $\tau$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ [/mm] bilden.
b) Sei [mm] $f:\mathbb{N}\cup\{\infty\}\to\mathbb{R}$ [/mm] definiert durch
[mm] $f(n)=\begin{cases} 0, \text{falls} n=\infty\\ \frac{1}{n}, \text{falls} n\in\mathbb{N}\end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $f^{-1}((a,b)) [/mm] für beliebige $a<b$ offen ist und folgern Sie, dass $f$ stetig ist.
c) Prüfen Sie, welche Folgen in [mm] $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ [/mm] konvergieren. |
Hallo,
ich bearbeite zur Zeit diese Aufgabe und wollte fragen, ob ich bisher richtig vorgegangen bin.
Zu a)
Ich überprüfe die Axiome einer Topologie. Daher
1) [mm] $\emptyset\in\tau$ [/mm] und [mm] $\mathbb{N}\cup\{\infty\}\in\tau$
[/mm]
2) Für $U, [mm] V\in\tau\Rightarrow U\cap V\in\tau$
[/mm]
3) [mm] $\mathcal{U}\subset\tau\Rightarrow \bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau$
[/mm]
zu 1)
[mm] $\emptyset\in\tau$, [/mm] da [mm] $\infty\notin\emptyset$
[/mm]
[mm] $\mathbb{N}\cup\{\infty\}\in\tau$, [/mm] da [mm] $\{n\in\mathbb{N}:n\geq 0\}\subset\mathbb{N}\cup\{\infty\}$
[/mm]
zu 2)
Sei $U, [mm] V\in\tau$
[/mm]
Wenn [mm] $\infty\notin [/mm] U$ und [mm] $\infty\notin [/mm] V$, dann ist [mm] $\infty\notin U\cap [/mm] V$. Und somit [mm] $U\cap V\in\tau$.
[/mm]
Wenn [mm] $\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\}\subset [/mm] U$ und [mm] $\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_1\}\subset [/mm] V$.
Sei [mm] $n_m:=\max\{n_0, n_1\}, [/mm] dann ist [mm] $\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_m\}\subset U\cap [/mm] V$
Wenn [mm] $\infty\notin [/mm] U$ und [mm] $\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\}\subset [/mm] V$, dann [mm] $U\cap V\in\tau$, [/mm] da [mm] $\infty\notin U\cap [/mm] V$.
Ich habe also eine Fallunterscheidung gemacht. Was ich mich frage ist, ob mein dritter Fall notwendig ist.
Wird er bereits durch den ersten Fall abgedeckt?
zu 3)
Wenn [mm] $\infty\notin [/mm] U$ für alle [mm] $U\in\mathcal{U}$, [/mm] dann ist [mm] $\infty\notin\bigcup_{U\in\mathcal{U}} [/mm] U$ und somit ein Element von [mm] $\tau$.
[/mm]
Sei nun [mm] $\infty\in [/mm] U$ für mindestens ein [mm] $U\in\mathcal{U}$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $U_\infty$ [/mm] mit [mm] $\infty\in [/mm] U_ [mm] \infty$. [/mm] Also [mm] $\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\}\subseteq\bigcup_{U\in\mathcal{U}}\in\tau$
[/mm]
zu b)
Ich soll zeigen, dass [mm] $f^{-1}((a,b))$ [/mm] für beliebige $a<b$ offen ist und daraus folgern, dass $f$ stetig ist.
Letzteres ist nicht weiter schwer, da eine Abbildung zwischen metrischen Räumen stetig ist, genau dann wenn das Urbild offener Mengen offen ist.
Ich bestimme nun die Urbilder:
Sei $a<b$ mit [mm] $a\neq [/mm] 0$. Für [mm] $a=\frac{1}{k}$ [/mm] und [mm] $b=\frac{1}{l}$ [/mm] mit [mm] $k,l\in\mathbb{N}$ [/mm] ist $k>l$, also
[mm] $f^{-1}((a,b))=(l,k)$
[/mm]
Für $a=0$, also $0<b$ ist [mm] $f^{-1}((0,b))=(n,\infty)
[/mm]
Wenn ich nun prüfen möchte, ob diese Mengen offen sind, bräuchte ich ja erstmal eine Metrik $d$ auf der Topologie.
Dass man [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] mit dem "normalen" Abstand versieht ist ja klar, dies würde aber für die Topologie auf [mm] $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ [/mm] keinen Sinn machen, wenn ich es richtig sehe, denn [mm] $d(\infty,\infty)=0$ [/mm] macht ja irgendwie keinen Sinn, weil [mm] $\infty-\infty$ [/mm] nicht definiert ist.
zu c)
Ich vermute, dass alle unbeschränkten Folgen, sowie Folgen deren Grenzwert Element der natürlichen Zahlen ist, konvergieren.
Über Anregungen würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mi 13.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wir nennen eine Teilmenge
> [mm]U\subseteq\mathbb{N}\cup\{\infty\}[/mm] offen genau dann wenn
> [mm]\infty\notin U[/mm] oder [mm]\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}\subseteq U[/mm]
> für ein [mm]n_0\in\mathbb{N}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass diese offenen Mengen eine Topologie
> [mm]\tau[/mm] auf [mm]\mathbb{N}\cup\{\infty\}[/mm] bilden.
>
> b) Sei [mm]f:\mathbb{N}\cup\{\infty\}\to\mathbb{R}[/mm] definiert
> durch
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, \text{falls} n=\infty\\ \frac{1}{n}, \text{falls} n\in\mathbb{N}\end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]$f^{-1}((a,b))[/mm] für beliebige $a<b$ offen
> ist und folgern Sie, dass $f$ stetig ist.
>
> c) Prüfen Sie, welche Folgen in [mm]\mathbb{N}\cup\{\infty\}[/mm]
> konvergieren.
>
> Hallo,
>
> ich bearbeite zur Zeit diese Aufgabe und wollte fragen, ob
> ich bisher richtig vorgegangen bin.
>
> Zu a)
>
> Ich überprüfe die Axiome einer Topologie. Daher
>
> 1) [mm]\emptyset\in\tau[/mm] und [mm]\mathbb{N}\cup\{\infty\}\in\tau[/mm]
>
> 2) Für [mm]U, V\in\tau\Rightarrow U\cap V\in\tau[/mm]
>
> 3) [mm]\mathcal{U}\subset\tau\Rightarrow \bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau[/mm]
>
>
> zu 1)
>
> [mm]\emptyset\in\tau[/mm], da [mm]\infty\notin\emptyset[/mm]
>
> [mm]\mathbb{N}\cup\{\infty\}\in\tau[/mm], da [mm]\{n\in\mathbb{N}:n\geq 0\}\subset\mathbb{N}\cup\{\infty\}[/mm]
O.K.
>
> zu 2)
>
> Sei [mm]U, V\in\tau[/mm]
>
> Wenn [mm]\infty\notin U[/mm] und [mm]\infty\notin V[/mm], dann ist
> [mm]\infty\notin U\cap V[/mm]. Und somit [mm]U\cap V\in\tau[/mm].
>
> Wenn [mm]\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\}\subset U[/mm] und
> [mm]\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_1\}\subset V[/mm].
>
> Sei [mm]$n_m:=\max\{n_0, n_1\},[/mm] dann ist
> [mm]$\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_m\}\subset U\cap[/mm] V$
>
> Wenn [mm]\infty\notin U[/mm] und [mm]\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\}\subset V[/mm],
> dann [mm]U\cap V\in\tau[/mm], da [mm]\infty\notin U\cap V[/mm].
>
> Ich habe also eine Fallunterscheidung gemacht. Was ich mich
> frage ist, ob mein dritter Fall notwendig ist.
> Wird er bereits durch den ersten Fall abgedeckt?
So wie Du den ersten Fall formuliert hast , ist das nicht der Fall.
Formuliere den ersten Fall so:
Wenn [mm]\infty\notin U[/mm] oder [mm]\infty\notin V[/mm]......
>
> zu 3)
>
> Wenn [mm]\infty\notin U[/mm] für alle [mm]U\in\mathcal{U}[/mm], dann ist
> [mm]\infty\notin\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U[/mm] und somit ein
> Element von [mm]\tau[/mm].
>
> Sei nun [mm]\infty\in U[/mm] für mindestens ein [mm]U\in\mathcal{U}[/mm].
> Dann existiert ein [mm]U_\infty[/mm]
[mm]U_\infty \in \mathcal{U}[/mm] !
> mit [mm]\infty\in U_ \infty[/mm]. Also
> [mm]\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\}\subseteq\bigcup_{U\in\mathcal{U}}\in\tau[/mm]
Das ist mir nicht klar, wie Du darauf kommst, wo kommt [mm] n_0 [/mm] her ???
>
> zu b)
>
> Ich soll zeigen, dass [mm]f^{-1}((a,b))[/mm] für beliebige [mm]a
> offen ist und daraus folgern, dass [mm]f[/mm] stetig ist.
> Letzteres ist nicht weiter schwer, da eine Abbildung
> zwischen metrischen Räumen
Du meinst sicher "topologische Räume "
> stetig ist, genau dann wenn das
> Urbild offener Mengen offen ist.
Na ja, zu zeigen gibts da schon noch was. Wenn Du gezeigt hast, dass [mm]f^{-1}((a,b)) \in \tau[/mm] für alle offenen Intervalle (a,b), so musst Du noch zeigen:
ist G offen in [mm] \IR, [/mm] so ist [mm]f^{-1}(G) \in \tau[/mm].
>
> Ich bestimme nun die Urbilder:
>
> Sei [mm]a
Hä ? Wieso müssen a und die diese Gestalt habren ?
> mit [mm]k,l\in\mathbb{N}[/mm] ist [mm]k>l[/mm], also
>
> [mm]f^{-1}((a,b))=(l,k)[/mm]
>
> Für $a=0$, also $0<b$ ist [mm]$f^{-1}((0,b))=(n,\infty)[/mm]
Du betrachtest Spezialfälle !
Seien also a,b [mm] \in \IR [/mm] und a<b. Zeige
[mm] f^{-1}((a,b)) \in \tau.
[/mm]
Zur Erinnerung: [mm] f^{-1}((a,b))=\{x \in \IN \cup \{\infty\}: f(x) \in (a,b)\}
[/mm]
>
> Wenn ich nun prüfen möchte, ob diese Mengen offen sind,
> bräuchte ich ja erstmal eine Metrik [mm]d[/mm] auf der Topologie.
Nein. Die Topologie [mm] \tau [/mm] wird nicht von einer Metrik erzeugt.
>
> Dass man [mm]\mathbb{R}[/mm] mit dem "normalen" Abstand versieht ist
> ja klar, dies würde aber für die Topologie auf
> [mm]\mathbb{N}\cup\{\infty\}[/mm] keinen Sinn machen, wenn ich es
> richtig sehe, denn [mm]d(\infty,\infty)=0[/mm] macht ja irgendwie
> keinen Sinn, weil [mm]\infty-\infty[/mm] nicht definiert ist.
Die Abbildung $ [mm] f:\mathbb{N}\cup\{\infty\}\to\mathbb{R} [/mm] $ ist eine Abbildung zwische 2 topologischen Räumen:
auf [mm] \mathbb{N}\cup\{\infty\} [/mm] hast Du die Topologie [mm] \tau [/mm] und auf [mm] \IR [/mm] die Topologie, die vom Betrag erzeugt wird.
>
>
> zu c)
>
> Ich vermute, dass alle unbeschränkten Folgen, sowie Folgen
> deren Grenzwert Element der natürlichen Zahlen ist,
> konvergieren.
Na ja, das sind Vermutungen..
Taste Dich so heran: sei [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge in [mm] \mathbb{N}\cup\{\infty\} [/mm] und es sei a= [mm] \lim a_n.
[/mm]
Zu jedem U [mm] \in \tau [/mm] mit a [mm] \in [/mm] U gibt es dann ein [mm] n_U \in \IN [/mm] mit [mm] a_n \in [/mm] U für alle [mm] n>n_U.
[/mm]
Versuche mal etwas über [mm] (a_n) [/mm] in Erfahrung zu brinen.
FRED
>
>
> Über Anregungen würde ich mich sehr freuen.
> Vielen Dank im voraus.
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> Das ist mir nicht klar, wie Du darauf kommst, wo kommt $ [mm] n_0 [/mm] $ her ???
Es ist [mm] $\infty\in U_\infty\in\mathcal{U}$. [/mm] Da [mm] $\infty\in U_\infty$ [/mm] muss die Eigenschaft gelten, dass
[mm] $\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}\subseteq U_\infty$ [/mm] für ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$
[/mm]
Wenn wir nun [mm] $\bigcup_{U\in\mathcal{U}} [/mm] U$ betrachten, dann enthält diese Vereinigung die Teilmenge [mm] $\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}$, [/mm] da sie ja bereits in [mm] $U_\infty$ [/mm] enthalten war, und über diese Menge vereinigt wird.
Also
[mm] $\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}\subseteq\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau$
[/mm]
> Wieso müssen a und die diese Gestalt habren ?
Oh, ich dachte sie müssen diese Gestalt haben, weil $f$ natürliche Zahlen (außer Null) auf ihren Kehrwert abbildet.
a und b sollten aber beliebig sein, müssen also nicht unbedingt im Bild von $f$ liegen.
Es könnte zum Beispiel auch [mm] $a=\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $b=\sqrt{3}$ [/mm] sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mi 13.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Das ist mir nicht klar, wie Du darauf kommst, wo kommt [mm]n_0[/mm]
> her ???
>
> Es ist [mm]\infty\in U_\infty\in\mathcal{U}[/mm]. Da [mm]\infty\in U_\infty[/mm]
> muss die Eigenschaft gelten, dass
>
> [mm]\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}\subseteq U_\infty[/mm] für ein
> [mm]n_0\in\mathbb{N}[/mm]
Aha, für ein [mm] n_0. [/mm] Du solltest Dich exakter ausdrücken.
>
> Wenn wir nun [mm]\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U[/mm] betrachten, dann
> enthält diese Vereinigung die Teilmenge [mm]\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}[/mm],
> da sie ja bereits in [mm]U_\infty[/mm] enthalten war, und über
> diese Menge vereinigt wird.
O.K.
>
> Also
>
> [mm]\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}\subseteq\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U\in\tau[/mm]
>
>
> > Wieso müssen a und die diese Gestalt habren ?
>
> Oh, ich dachte sie müssen diese Gestalt haben, weil [mm]f[/mm]
> natürliche Zahlen (außer Null) auf ihren Kehrwert
> abbildet.
> a und b sollten aber beliebig sein, müssen also nicht
> unbedingt im Bild von [mm]f[/mm] liegen.
So ist es.
>
> Es könnte zum Beispiel auch [mm]a=\sqrt{2}[/mm] und [mm]b=\sqrt{3}[/mm]
> sein.
Ja
FRED
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| Aufgabe | Wir nennen eine Teilmenge [mm] $U\subseteq\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ [/mm] offen genau dann wenn [mm] $\infty\notin [/mm] U$ oder [mm] $\{n\in\mathbb{N}: n\geq n_0\}\subseteq [/mm] U$ für ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$
[/mm]
b) Sei [mm] $f:\mathbb{N}\cup\{\infty\}\to\mathbb{R}$ [/mm] definiert durch
[mm] $f(n)=\begin{cases} 0, \text{falls} n=\infty\\ \frac{1}{n}, \text{falls} n\in\mathbb{N}\end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $f^{-1}((a,b)) [/mm] für beliebige $a<b$ offen ist und folgern Sie, dass $f$ stetig ist. |
Entschuldigung, dass ich erst jetzt antworte. Ich hatte in den vergangenen Tagen leider keine Zeit mich weiterhin mit der Frage zu beschäftigen.
Nochmal zu Aufgabenteil b):
> Seien also a,b $ [mm] \in \IR [/mm] $ und a<b. Zeige
$ [mm] f^{-1}((a,b)) \in \tau. [/mm] $
> Zur Erinnerung: $ [mm] f^{-1}((a,b))=\{x \in \IN \cup \{\infty\}: f(x) \in (a,b)\} [/mm] $
Ich betrachte wieder die Fälle, dass [mm] $\infty\in f^{-1}((a,b))$ [/mm] und [mm] $\infty\notin f^{-1}((a,b))$.
[/mm]
Wenn [mm] $\infty\in f^{-1}((a,b))=\{x\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}:f(x)\in(a,b)\}$ [/mm] dann ist [mm] 0\in [/mm] (a,b), also $a<0<b$. Denn [mm] $f(\infty)=0$.
[/mm]
Zeigen muss ich nun, dass [mm] $\{n\in\mathbb{N}:n\geq n_0\}\subseteq f^{-1}((a,b))$ [/mm] für irgendein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$ [/mm] gilt. Es gibt also eine natürliche Zahl, für die jede größere natürliche Zahl in der Menge enthalten ist.
Wenn ich mir ein Intervall (a,b) hernehme, dann ist
[mm] $f^{-1}((a,b))=\{x\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}:f(x)\in(a,b)\}$
[/mm]
Wegen [mm] $\infty\in f^{-1}((a,b))$ [/mm] und da $f$ nur auf nichtnegative Zahlen abbildet, genauer gesagt gilt [mm] $f:\mathbb{N}\cup{\infty}\to[0,1]$, [/mm] ist [mm] f(x)\in[0,b). [/mm] Denn [mm] f^{-1}(\infty)=0.
[/mm]
Darüberhinaus enthält das Intervall [0,b) die gegen Null konvergente Folge [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] die ab irgendeinem [mm] $n_0$ [/mm] startet.
Das ist klar für [mm] $b\geq [/mm] 1$, weil dann einfach die ganze Folge enthalten ist. Und für $0<b<1$ verschiebt sich der "Startpunkt" einfach.
Man müsste $b$ sogesehen auf den nächst größeren Kehrwert einer natürlichen Zahl aufrunden, wenn es nicht schon eine solche Form hat um das [mm] $n_0$ [/mm] explizit anzugeben.
Damit wäre die gewünschte Eigenschaft erfüllt.
Korrekt?
Und wenn [mm] $\infty\notin f^{-1}((a,b))$, [/mm] dann ist nichts zu zeigen, weil das Intervall dadurch automatisch offen bezüglich der Topologie ist, richtig?
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Ist etwas kompliziert, aber durchaus vernünftig.
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Danke.
Wie könnte denn der Ansatz für eine weniger komplizierte Lösung sein?
Oder liegt es einfach daran, dass ich nicht auf einen Punkt zu kommen scheine.
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Ja das war auf die Formulierung bezogen.
Du kannst die die Fallunterscheidung nach
[mm]b<1[/mm]
sparen und einfach [mm]n_0> \frac{1}{b}[/mm] wählen.
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