Torsionselemente < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:31 So 12.06.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Bestimme alle Torsionselemente in [mm] \IZ/14\IZ [/mm] als [mm] \IZ/14\IZ-Modul [/mm] und zeige, dass diese keinen Untermodul bilden. |
Hallo!
Ich weiss nicht, wie ich die Torsionselemente jetzt darstellen soll. Ich weiss, dass für ein Torsionselement g gilt, dass es ein Element n [mm] \in \IZ/14\IZ [/mm] gibt mit:
$ g*n=0 $
Hier ergeben sich die Gleichungen:
14k*1=0 (also sind alle Vielfachen von 14 sind Torsionselement zu 1)
7k*2=0 (alle Vielfachen von 7 zu 2)
2k*7=0 (alle Vielfachen von 2 zu 7)
14 liegt ja nicht mehr in [mm] \IZ/14\IZ [/mm] ...
Meine Torsionselemente sind jetzt {2k, 7k, 14k} ?? Kann ich das so stehen lassen oder ist die Notation da eine andere??
Weiter gilt für ein Untermodul ja: u [mm] \in [/mm] U, r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow u*r\in [/mm] U
Wobei ich hier das Gegenbeispiel 2k [mm] \in [/mm] U, 3 [mm] \in [/mm] R benutzt habe mit:
2k*3=6k [mm] \not\in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] U ist kein Untermodul.
Passt das soweit oder habe ich was falsch aufgeschnappt? :)
Vielen Dank schonmal!!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 So 12.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo nochmal.. wäre super wenn hier nochmal jemand reinschaut. ;)
Also nochmal mit Korrekturen:
Das Torsionselement liegt ja nach Definition in [mm] \IZ/14\IZ [/mm] also fallen die Vielfachen schonmal weg, wenn ich mich nicht irre.
Die Torsionselemente in [mm] \IZ/14\IZ [/mm] sind demnach: {1,2,7,}
Wegen $ 1*14=0 $ , $ 2*7=0 $ und $ 7*2=0 $
wobei an erster Stelle immer des Torsionselement steht und an zweiter Stelle die Zahl n [mm] \in \IN [/mm] gem. Definition auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Danke schonmal! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 So 12.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Also nochmal mit Korrekturen:
>
> Das Torsionselement liegt ja nach Definition in [mm]\IZ/14\IZ[/mm]
> also fallen die Vielfachen schonmal weg, wenn ich mich
> nicht irre.
Verstehe ich nicht ganz.
> Die Torsionselemente in [mm]\IZ/14\IZ[/mm] sind demnach: {1,2,7,}
Stimmt nicht, siehe unten.
> Wegen [mm]1*14=0[/mm] , [mm]2*7=0[/mm] und [mm]7*2=0[/mm]
> wobei an erster Stelle immer des Torsionselement steht und
> an zweiter Stelle die Zahl n [mm]\in \IN[/mm] gem. Definition auf
> Wikipedia.
Dir ist klar, dass du die Definition der Torsionselemente in der kommutativen Algebra verwenden musst? Ich vermute ihr habt eine ein wenig andere Definition für Torsion in der Vorlsung eingeführt, denn verwendet man die Definition von Wiki bilden die Torsionselemente immer einen Untermodul. Vielleicht habt ihr eingeführt, dass für einen R-Modul M ein $m [mm] \in [/mm] M$ Torsionselement heißt, falls es ein $r [mm] \in [/mm] R [mm] \backslash \{0\}$ [/mm] gibt, sodass $rm = 0$. Das heißt im Gegensatz zu Wikipedia lasst ihr für $s$ auch Nullteiler zu. Schau das nochmal nach.
Du suchst also Elemente $r [mm] \in \IZ/14\IZ: [/mm] sr = 0$ für ein $s [mm] \in \IZ/14\IZ \backslash\{0\}$. [/mm] Also ist die 1, anders als von die oben behauptet kein Torsionselement, denn $14 = 0$ in [mm] $\IZ/14\IZ$. [/mm] Deine oben angeführte Begründung funktioniert also nicht. Es gibt aber noch mehr als die von dir genannten Torsionselemente, zum Beispiel ist $4 [mm] \cdot [/mm] 7 = 0$ usw.
LG Lippel
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