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| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion [mm]f(n)=\begin{cases} (x^2*y) / (x^2 + y^2), & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x, y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
a) Zeigen sie, dass f in (0,0) in x und y partiell differenzierbar ist.
b) Untersuchen sie f in jedem Punkt (x,y) auf Differenzierbarkeit. |
Hallo,
ich seh bei dieser Aufgabe nicht ganz klar. Bei a) seh ich mir doch nur die Differenzenquotienten bei Näherung an den Nullpunkt entlang der x-Achse bzw. y-Achse an? Das hab ich gemacht, hat auch geklappt. Meine eigentliche Frage ist jetzt zu b) : Da ist doch höchstwahrscheinlich die totale Differenzierbarkeit gemeint. Außerhalb von (0,0) ist das ja eine Komposition differenzierbarer Funktionen, da mach ich mir keine Sorgen, aber wie zeige ich, dass f in (0,0) total differenzierbar ist? Die Existenz der partiellen Ableitungen reicht da ja nicht aus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist eine Funktion [mm]f(n)=\begin{cases} (x^2*y) / (x^2 + y^2), & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x, y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
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> a) Zeigen sie, dass f in (0,0) in x und y partiell
> differenzierbar ist.
> b) Untersuchen sie f in jedem Punkt (x,y) auf
> Differenzierbarkeit.
> Hallo,
Hallo!
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> ich seh bei dieser Aufgabe nicht ganz klar. Bei a) seh ich
> mir doch nur die Differenzenquotienten bei Näherung an den
> Nullpunkt entlang der x-Achse bzw. y-Achse an? Das hab ich
> gemacht, hat auch geklappt. Meine eigentliche Frage ist
> jetzt zu b) : Da ist doch höchstwahrscheinlich die totale
> Differenzierbarkeit gemeint. Außerhalb von (0,0) ist das ja
> eine Komposition differenzierbarer Funktionen, da mach ich
> mir keine Sorgen, aber wie zeige ich, dass f in (0,0) total
> differenzierbar ist? Die Existenz der partiellen
> Ableitungen reicht da ja nicht aus.
Überprüfe zusätzlich, ob die Ableitung in allen Punkten (also insb. in (0,0)) stetig ist. Dann gibt es einen Satz, der aussagt, dass daraus die totale Differenzierbarkeit folgt!
Gruß Patrick
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ist das die gängige (und einzige) Möglichkeit? Mit der Stetigkeitsuntersuchung der partiellen Ableitung komm ich nicht so richtig klar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch mal die Definition der totalen Differenzierbarkeit in (0,0) auf !!!!
FRED
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Hm, das sagt mir so garnichts - ich kannte nur das mit der Stetigkeit der partiellen Ableitungen... Kannst du mir zeigen, was du meinst und wie mir das hilft?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie habt Ihr denn in der Vorlesung die totale Differenzierbarkeit definiert ?
FRED
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[mm]f(\vec{x} + \Delta\vec{x}) \approx f(\vec{x}) + A*\Delta\vec{x}[/mm] und [mm]\limes_{\Delta\vec{x} \rightarrow 0} (Fehler) / (\Delta\vec{x}) = 0[/mm]
Das hab ich gefunden. Aber wie hilft mir das? Ich komme überhaupt nicht weiter, ich weiß nicht, wie ich die Differenzierbarkeit in (0,0) zeigen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 10.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich hab die Definition der Differenzierbarkeit gefunden (steht in der anderen Frage), aber ich komme damit überhaupt nicht weiter. Könnte mir bitte jemand den Beweis/Gegenbeweis der Diff'barkeit in (0,0) zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Falls f in (0,0) differenzierbar sein sollte, so müßte gelten:
[mm] $\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf((0,0)* (x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] = 0$
Ist dies detr Fall ? Nein ! Betrachte mal den Quotienten
[mm] $\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf((0,0)* (x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}}$
[/mm]
für $ x= y > 0$
FRED
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Was ist denn gradf? Das kenn ich noch garnicht.
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> Was ist denn gradf? Das kenn ich noch garnicht.
Hallo,
das ist der Gradient von f.
Bastelanleitung: gradf ist der Vektor, dessen Einträge die partiellen Ableitungen enthalten. Also: partielle Ableitungen (hier: nach x und y) in einen Vektor stapeln.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
grad wird oft als [mm] \vec{\nabla} [/mm] geschrieben
[mm] gradf*\vec{x}=f_x*x+f_y*y
[/mm]
Was du als def. von totaler Diffb. aufgeschrieben hast ist ungenuegend. Sieh nochmal eure Def. nach. Was z. Bsp ist A in deiner Def. vergleich mit der Diffb. von f(x)
1. Vorgehen bei Beweisen ist sich die Definitionen genau aufzuschreiben. Das ist ein Ziel der Aufgaben, die ihr habt. Meist ist danach der eigentliche Beweis einfach.
Gruss leduart
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In "meiner" Definition der Differenzierbarkeit war A die Funktionalmatrix der jeweiligen Funktion.
Dein Ansatz verwirrt mich jetzt restlos. Wieso für x = y > 0? Wenn ich (0,0) untersuche, müssen y und x doch gegen Null gehen. Würde es reichen, wenn ich eine Punktfolge finde, die gegen (0,0) konvergiert, für die dieser Grenzwert nach deiner Definition aber nicht Null wird, um die Diffbarkeit zu widerlegen? Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das allgemein zeigen soll (für alle Folgen gegen (0,0) ). Ich hab jetzt
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) - f(0,0) - \bruch{1}{n} * \bruch{\partial f}{\partial x} (0,0) - \bruch{1}{n} *\bruch{\partial f}{\partial y} (0,0)}{\wurzel{\bruch{1}{n^2} + \bruch{1}{n^2}}}[/mm]
und das ist (nachdem man gezeigt hat, dass die partiellen Ableitungen in (0,0) existieren und 0 sind)
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{0 - 0 - \bruch{1}{n} * 0 - \bruch{1}{n} * 0}{\wurzel{\bruch{1}{n^2} + \bruch{1}{n^2}}}[/mm]
und das ist doch Null und damit stimmt doch das Fehlerkriterium. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> In "meiner" Definition der Differenzierbarkeit war A die
> Funktionalmatrix der jeweiligen Funktion.
> Dein Ansatz verwirrt mich jetzt restlos. Wieso für x = y >
> 0? Wenn ich (0,0) untersuche, müssen y und x doch gegen
> Null gehen. Würde es reichen, wenn ich eine Punktfolge
> finde, die gegen (0,0) konvergiert, für die dieser
> Grenzwert nach deiner Definition aber nicht Null wird, um
> die Diffbarkeit zu widerlegen?
Genau das meinte ich
> Ich bin mir nicht ganz
> sicher, wie ich das allgemein zeigen soll (für alle Folgen
> gegen (0,0) ). Ich hab jetzt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) - f(0,0) - \bruch{1}{n} * \bruch{\partial f}{\partial x} (0,0) - \bruch{1}{n} *\bruch{\partial f}{\partial y} (0,0)}{\wurzel{\bruch{1}{n^2} + \bruch{1}{n^2}}}[/mm]
>
> und das ist (nachdem man gezeigt hat, dass die partiellen
> Ableitungen in (0,0) existieren und 0 sind)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{0 - 0 - \bruch{1}{n} * 0 - \bruch{1}{n} * 0}{\wurzel{\bruch{1}{n^2} + \bruch{1}{n^2}}}[/mm]
>
Das ist doch Unsinn !
Es ist doch $f(1/n,1/n) [mm] \not= [/mm] 0$ !!!
Jetzt rechne noch mal ganz konzentriert und Du wirst sehen:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) - f(0,0) - \bruch{1}{n} \cdot{} \bruch{\partial f}{\partial x} (0,0) - \bruch{1}{n} \cdot{}\bruch{\partial f}{\partial y} (0,0)}{\wurzel{\bruch{1}{n^2} + \bruch{1}{n^2}}} \not= [/mm] 0$
FRED
> und das ist doch Null und damit stimmt doch das
> Fehlerkriterium. Oder?
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Wenn ich mir die Stetigkeit von f im Punkt (0,0) ansehe, dann erhalte ich doch (mit r*cos [mm] \gamma [/mm] für x und r*sin [mm] \gamma [/mm] für y)
[mm]\limes_{r\rightarrow\ 0} \bruch{r^3 * cos^2 \gamma * sin \gamma}{r^2}[/mm]
was soviel ist wie
[mm]\limes_{r\rightarrow\ 0} r * cos^2 \gamma * sin \gamma[/mm]
und das ist doch Null. Heißt das denn nicht, dass meine Funktion für beliebige Folgen (x,y) gegen (0,0) den Wert Null annimmt? Von dieser "Denkweise" bin ich ausgegangen, als ich da für f(1/n, 1/n) null eingesetzt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich mir die Stetigkeit von f im Punkt (0,0) ansehe,
> dann erhalte ich doch (mit r*cos [mm]\gamma[/mm] für x und r*sin
> [mm]\gamma[/mm] für y)
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow\ 0} \bruch{r^3 * cos^2 \gamma * sin \gamma}{r^2}[/mm]
>
> was soviel ist wie
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow\ 0} r * cos^2 \gamma * sin \gamma[/mm]
>
> und das ist doch Null. Heißt das denn nicht, dass meine
> Funktion für beliebige Folgen (x,y) gegen (0,0) den Wert
> Null annimmt?
Damit hast Du gezeigt, dass f in (0,0) stetig ist. ich dachte Du wolltest auf (totale) Differenzierbarkeit untersuchen ??
FRED
> Von dieser "Denkweise" bin ich ausgegangen,
> als ich da für f(1/n, 1/n) null eingesetzt habe.
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Will ich auch, ich wollte nur erklären, warum ich dachte, dass f(1/n, 1/n) null ist. Ist das nicht so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Will ich auch, ich wollte nur erklären, warum ich dachte,
> dass f(1/n, 1/n) null ist. Ist das nicht so?
Nein ! Es ist doch
$ [mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2\cdot{}y) / (x^2 + y^2), & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x, y) = (0,0) \end{cases} [/mm] $
Aber es ist
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f(1/n, [/mm] 1/n) = 0$
FRED
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Aber hieße das denn nicht, dass f nicht stetig ist? Und wenn f nicht stetig wäre, dann wäre es ja automatisch auch nicht diffbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aber hieße das denn nicht, dass f nicht stetig ist?
Wieso denn das ? Oben haben wir doch festgestellt, dass f in (0,0) stetig ist !!!!
FRED
> Und
> wenn f nicht stetig wäre, dann wäre es ja automatisch auch
> nicht diffbar.
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Ich habs endlich geschafft :) Danke für alle Antworten.
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