Totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Hanz |
Hi,
ich habe ein wenig Probleme mit dem Nachweis der totalen Diffbarkeit folgender Funktion:
Aufgabe: Ist f(x,y)=x²|y| in (0,0) total diffbar?
Ich schreibe nun den Lösungweg hin und stelle Fragen an den Stellen, die ich nicht ganz verstehe.
Lösung:
Wenn alle part. Ableitungen in einer Umgebung von (0,0) existieren und stetig sind, dann ist die Funktion im Punkt total diffbar.
Nun existiert [mm] f_y [/mm] nicht auf U (0,0) somit muss man andere Möglichkeit benutzen, um den Nachweis zu bringen.
Frage
Wie sehe ich, dass [mm] f_y [/mm] in U(0,0) nicht existiert? Ich meine die part. Ableitung nach y existiert ja eigentlich...
So dann wurde gesagt [mm] f_x(0,0)=0 [/mm] und [mm] f_y(0,0)=0.
[/mm]
f(x,0)=0 (0-Funktion)
f(0,y)=0 (0-Funktion)
Frage
Was genau bedeutet eigtl. f(x,0) und f(0,y)? Setzt man einfach eien Variable in der Funktion gleich Null und guckt was rauskommt, also etwa f(x,0)=x²|0|=0 oder f(0,y)=0²|y|=0?
Oder ist das die Kurzschreibweise für die Existenz der Ableitung nach x und y? Quasi [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+he_j)-f(x_0)}{h}=0?
[/mm]
So... den Rest mit dem Fehler abschätzen etc. ist klar, dann wäre das erstmal alles.
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen würde!
Schönes Restwochenende!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hi,
> ich habe ein wenig Probleme mit dem Nachweis der totalen
> Diffbarkeit folgender Funktion:
>
> Aufgabe: Ist f(x,y)=x²|y| in (0,0) total diffbar?
>
> Ich schreibe nun den Lösungweg hin und stelle Fragen an den
> Stellen, die ich nicht ganz verstehe.
>
> Lösung:
>
> Wenn alle part. Ableitungen in einer Umgebung von (0,0)
> existieren und stetig sind, dann ist die Funktion im Punkt (0,0)
> total diffbar.
> Nun existiert [mm]f_y[/mm] nicht auf U (0,0) somit muss man andere
> Möglichkeit benutzen, um den Nachweis zu bringen.
>
> Frage
> Wie sehe ich, dass [mm]f_y[/mm] in U(0,0) nicht existiert? Ich
> meine die part. Ableitung nach y existiert ja
> eigentlich...
Zwar existiert im vorliegenden Beispiel die partielle
Ableitung nach y im Punkt O(0,0), aber eben nicht
in jedem Punkt P einer (noch so kleinen) Umgebung
dieses Punktes O. Betrachten wir z.B. eine kreisförmige
[mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung von O. Innerhalb dieser Umgebung
liegt z.B. der Punkt [mm] P_1(\varepsilon/2\,,\,0). [/mm] Die partielle
Ableitung in [mm] P_1 [/mm] wäre definiert durch
$\ [mm] f_y(\varepsilon/2\,,\,0)=\bruch{d}{dy}((\varepsilon/2)^2*|y|) |_{y=0}$
[/mm]
Diese Ableitung existiert nicht, weil an der Stelle y=0
ein Knick vorliegt. Also gibt es keine Umgebung von O
so dass die partiellen Ableitungen [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] in jedem
Punkt dieser Umgebung existieren.
> So dann wurde gesagt [mm]f_x(0,0)=0[/mm] und [mm]f_y(0,0)=0.[/mm]
> f(x,0)=0 (0-Funktion)
> f(0,y)=0 (0-Funktion)
Die Ableitung der Nullfunktion ist natürlich wieder
die Nullfunktion. Also hat man hier:
[mm] f_x(0,0)=\bruch{d}{dx}f(x,0)|_{x=0}=\bruch{d}{dx}(0)|_{x=0}=0|_{x=0}=0
[/mm]
[mm] f_y(0,0)=\bruch{d}{dy}f(0,y)|_{y=0}=\bruch{d}{dy}(0)|_{y=0}=0|_{y=0}=0
[/mm]
> Frage
> Was genau bedeutet eigtl. f(x,0) und f(0,y)? Setzt man
> einfach eine Variable in der Funktion gleich Null und guckt
> was rauskommt, also etwa f(x,0)=x²|0|=0 oder
> f(0,y)=0²|y|=0?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") das ist richtig !
> Oder ist das die Kurzschreibweise für die Existenz der
> Ableitung nach x und y? Quasi [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+he_j)-f(x_0)}{h}=0?[/mm]
Nein !
Zurück zur Aufgabe: Um nun definitiv zu entscheiden,
ob f in O(0,0) total differenzierbar ist oder nicht,
kann man sich klar machen:
1.) Da [mm] f_x(0,0)=0 [/mm] und [mm] f_y(0,0)=0 [/mm] , müsste eine allfällige
Tangentialebene der Fläche F: z=f(x,y) im Punkt O(0,0)
die Ebene T: z=0 sein (also die x-y-Ebene).
2.) Nun betrachtet man die Abweichungen [mm] $\Delta [/mm] z$ der
Fläche F von der Ebene T in den Punkten P einer
Umgebung von O . Sei P(h,k). Es ist:
[mm] $\Delta z=f(h,k)-0=f(h,k)=h^2*|k|$
[/mm]
3.) Für Differenzierbarkeit müsste der Grenzwert
[mm] $\limes_{(h,k)\to(0,0)}\bruch{\Delta z}{\sqrt{h^2+k^2}}$
[/mm]
existieren und gleich Null sein, d.h.
[mm] $\limes_{(h,k)\to(0,0)}\bruch{h^2*|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\,=\,0$
[/mm]
Es bleibt abzuklären, ob dies der Fall ist. Wenn ja, ist f
im Punkt O total differenzierbar, im gegenteiligen Fall nicht.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Hanz |
Ich hätte dann noch eine Frage: Ist die Funktion in allen anderen Punkten [mm] \neq [/mm] (0,0) auch total diffbar?
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> Ich hätte dann noch eine Frage: Ist die Funktion in allen
> anderen Punkten [mm]\neq[/mm] (0,0) auch total diffbar?
Hallo Hanz,
Intuitiv würde ich mal sagen, dass f in Punkten (x,0)
mit [mm] x\not=0 [/mm] sicher nicht total diffbar ist, weil
die Fläche F der x-Achse entlang eine "Falte" besitzt.
Schönen Abend !
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