Träger in L^p < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Do 19.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Ich habe eine einfache Frage, auf die ich so spontan noch keine gute Antwort gefunden habe:
Sei [mm] $\Omega\subset\IR^n$ [/mm] offen. Wie ist der Träger einer Funktion aus [mm] $f\in L^p(\Omega)$ [/mm] (oder vielmehr einer Äquivalenzklasse [mm][f][/mm] von Funktionen, die fast überall mit [mm]f[/mm] übereinstimmen) definiert? Wie wäre folgende Definition: [mm] $$\operatorname{supp} [f]:=\Omega\setminus\bigcup\left\{U\subset\Omega\text{ offen}\mid f=0\text{ fast überall auf }U\right\}$$ [/mm] Bin ich damit auf dem richtigen Dampfer? Alles was ich mir bisher überlegt habe ist, dass das schonmal wohldefiniert ist. Schön wäre ja jetzt noch wenn für [mm] $f\in C(\Omega)\cap L^p(\Omega)$ [/mm] diese Definition mit der üblichen übereinstimmt, d.h. dass gilt [mm] $$\operatorname{supp}[f]=\overline{f^{-1}(\IR\setminus\{0\})}\cap\Omega$$ [/mm] Leider ist das nicht so trivial wie ich gedacht habe. Oder gibt es für all das eine viel einfachere Lösung?
Viele Grüße, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Do 19.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Nochmal ein kleines Update: Ich habs nun doch geschafft zu zeigen, dass diese Definition des Trägers für stetige Funktionen mit der ursprünglichen übereinstimmt. Der Beweis lässt sich aber nicht ohne weiteres auf Funktionen aus [mm] $\mathcal{L}^p(\Omega)$ [/mm] oder gar beliebige Abbildungen verallgemeinern. Weiß da jemand was drüber?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Do 19.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Robert!
> Sei [mm]\Omega\subset\IR^n[/mm] offen. Wie ist der Träger einer
> Funktion aus [mm]f\in L^p(\Omega)[/mm] (oder vielmehr einer
> Äquivalenzklasse [mm][f][/mm] von Funktionen, die fast überall mit
> [mm]f[/mm] übereinstimmen) definiert?
Das ist eine gute Frage. Schliesslich kann man eine solche Funktion $f$ einfach an endlich vielen Stellen abaendern, und somit zu jedem Punkt $x [mm] \in \Omega$ [/mm] eine Funktion aus der Aequivalenzklasse finden, die an $x$ nicht verschwindet. Gleichzeitig gibt es auch immer eine Funktion aus der Aequivalenzkasse, die an $x$ verschwindet.
Die Hauptfrage ist also: was soll der Traeger ueberhaupt sein?
Anschaulich ist es klar, aber sonst?
Vielleicht kommt man so weiter:
Der Traeger sollte die kleinste abgeschlossene Menge $A$ sein, so dass [mm] $\int_{\Omega \setminus A} |f|^p d\mu [/mm] = 0$ ist.
Oder anders gesagt: die kleinste abgeschlossene Menge $A$, so dass $f$ auf [mm] $\Omega \setminus [/mm] A$ fast ueberall gleich 0 ist.
Dann koennte man $Supp(f) := [mm] \bigcap\{ A \text{ abgeschlossen } \mid \int_{\Omega \setminus A} |f|^p d\mu = 0 \}$ [/mm] definieren. Da [mm] $\Omega$ [/mm] immer in der Menge enthalten ist, ist $Supp(f)$ eine Teilmenge von [mm] $\Omega$.
[/mm]
EDIT: es sollte natuerlich [mm] $\bigcap$ [/mm] heissen und nicht [mm] $\bigcup$
[/mm]
Und ist $f$ eine stetige Funktion (bzw. eine Aequivalenzklasse, die eine stetige Funktion enthaelt), so sollte dieses $Supp(f)$ gleich dem Support des stetigen Exemplars der Klasse sein.
Macht das Sinn?
LG Felix
PS: Ich hab noch nie wirklch mit [mm] $L^p$ [/mm] arbeiten muessen, insofern bin ich alles andere als ein Experte 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Do 19.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo Felix,
> Der Traeger sollte die kleinste abgeschlossene Menge [mm]A[/mm]
> sein, so dass [mm]\int_{\Omega \setminus A} |f|^p d\mu = 0[/mm]
> ist.
Hast du schön motiviert, deine Definition. Aber du hast bestimmt auch gesehen, dass das genau dieselbe Definition ist, die ich auch schon vorgeschlagen habe, nur eben in der dualen Formulierung über abgeschlossene Mengen. Eine weitere wichtige Eigenschaft die man mit diesem erweiterten Trägerbegriff retten kann ist die Identität [mm] $$\int_\Omega f\varphi\ dx=\int_{\operatorname{supp} f}f\varphi\ [/mm] dx$$ denn aus der Hölderschen Ungleichung folgt sofort [mm]\int_{\Omega\setminus\operatorname{supp} f} f\varphi\ dx=0[/mm].
Was mir jedoch gerade nicht so klar ist, wäre folgendes: Wenn [mm] $\varphi\in L^p_{\text{loc}}(\Omega)$ [/mm] ist, d.h. in [mm] $L^1(K)$ [/mm] für jedes [mm] $K\subset\subset\Omega$, [/mm] dann würde man doch für [mm] $f\in L^\infty(\Omega)$ [/mm] mit kompaktem Träger im Sinne unserer Definition erwarten, dass [mm] $f\varphi\in L^1(\Omega)$ [/mm] ist.... geht das irgendwie?
> Und ist [mm]f[/mm] eine stetige Funktion (bzw. eine
> Aequivalenzklasse, die eine stetige Funktion enthaelt), so
> sollte dieses [mm]Supp(f)[/mm] gleich dem Support des stetigen
> Exemplars der Klasse sein.
Ja den Beweis habe ich vorhin auch noch gefunden. Ich frage mich ob man dies auch für Funktionen aus [mm] $\mathcal{L}^p(\Omega)$ [/mm] erwarten darf... der Satz von Lusin sagt ja z.B., dass integrable Funktionen irgendwie "fast überall" (nicht falsch verstehen  ) stetig sind.
Viele Grüße,
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Do 19.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Robert,
> > Der Traeger sollte die kleinste abgeschlossene Menge [mm]A[/mm]
> > sein, so dass [mm]\int_{\Omega \setminus A} |f|^p d\mu = 0[/mm]
> > ist.
>
> Hast du schön motiviert, deine Definition. Aber du hast
> bestimmt auch gesehen, dass das genau dieselbe Definition
> ist, die ich auch schon vorgeschlagen habe, nur eben in der
> dualen Formulierung über abgeschlossene Mengen.
oh, jetzt wo du es sagst... Ich bin manchmal schon ein ziemlicher Blindfisch :)
> Eine
> weitere wichtige Eigenschaft die man mit diesem erweiterten
> Trägerbegriff retten kann ist die Identität [mm]\int_\Omega f\varphi\ dx=\int_{\operatorname{supp} f}f\varphi\ dx[/mm]
> denn aus der Hölderschen Ungleichung folgt sofort
> [mm]\int_{\Omega\setminus\operatorname{supp} f} f\varphi\ dx=0[/mm].
Ja.
> Was mir jedoch gerade nicht so klar ist, wäre folgendes:
> Wenn [mm]\varphi\in L^p_{\text{loc}}(\Omega)[/mm] ist, d.h. in
> [mm]L^1(K)[/mm] für jedes [mm]K\subset\subset\Omega[/mm],
Moment, [mm] $L^p$ [/mm] oder [mm] $L^1$?
[/mm]
> dann würde man
> doch für [mm]f\in L^\infty(\Omega)[/mm] mit kompaktem Träger im
> Sinne unserer Definition erwarten, dass [mm]f\varphi\in L^1(\Omega)[/mm]
> ist.... geht das irgendwie?
Ich denke, das sollte gehen.
Es ist $supp(f [mm] \varphi) \subseteq [/mm] supp(f)$ kompakt, womit [mm] $\int_{supp(f)} |\varphi|^p d\mu [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist. Weiterhin gilt auf $supp(f)$, dass $|f| [mm] \le [/mm] C$ fast ueberall ist (mit einem $C > 0$). Es gilt also [mm] $\int_\Omega [/mm] |f [mm] \varphi|^p d\mu [/mm] = [mm] \int_{\supp(f \varphi)} [/mm] |f [mm] \varphi|^p d\mu \le \int_{\supp(f)} [/mm] C [mm] |\varphi|^p d\mu [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
> > Und ist [mm]f[/mm] eine stetige Funktion (bzw. eine
> > Aequivalenzklasse, die eine stetige Funktion enthaelt), so
> > sollte dieses [mm]Supp(f)[/mm] gleich dem Support des stetigen
> > Exemplars der Klasse sein.
>
> Ja den Beweis habe ich vorhin auch noch gefunden. Ich frage
> mich ob man dies auch für Funktionen aus
> [mm]\mathcal{L}^p(\Omega)[/mm] erwarten darf...
Wie genau meinst du das? Dass es immer eine Funktion $f$ in der Aequivalenzklasse $[f]$ gibt mit $supp(f) = supp([f])$?
Man kann immer eine finden mit $supp(f) [mm] \subseteq [/mm] supp([f])$: einfach die Funktion ausserhalb $supp([f])$ auf 0 setzen.
Wenn man jetzt $supp([f]) [mm] \subseteq [/mm] supp(f)$ zeigen koennte fuer alle Funktionen $f$ der Aequivalenzklasse, waer man fertig. (Ich vermute spontan, dass es so ist.)
Das wuerde aus folgender Aussage folgen: ist $A$ offen und $B$ abgeschlossen in [mm] $\Omega$ [/mm] mit $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \neq \emptyset$, [/mm] so besitzt $A [mm] \cap [/mm] B$ einen inneren Punkt (bzgl. [mm] $\Omega$). [/mm] (*)
Denn: ist $supp(f)$ keine Obermenge von $supp([f])$, so gibt es nach (*) ein $x$, welches innerer Punkt von supp([f]) [mm] \setminus [/mm] supp(f)$ ist. Sei $U$ eine offene Umgebung von $x$, die komplett drinnen liegt. Dann ist $f$ auf $U$ identisch 0. Damit ist jedoch [mm] $\int_U |f|^p d\mu [/mm] = 0$, was aber $U [mm] \subseteq \Omega \setminus [/mm] supp([f])$ erzwingen wuerde, ein Widerspruch!
Es bleibt also die Aussage (*) zu zeigen. Sie wirkt auf den ersten Blick zwar offensichtlich, aber es ist vielleicht doch etwas mehr Arbeit :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 21.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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