Trägheitmoment Zylinder < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:02 Fr 15.07.2011 | | Autor: | vysogota |
| Aufgabe | | Ein homogener Kreiszylinder (Dichte[mm] \rho [/mm]= const.) habe den Radius a und Höhe h. Berechnen Sie dessen Trägheitsmoment J bezüglich einer zur Zylinderachse senkrechten Geraden durch den Mittelpunkt des Zylinders nach der Formel[mm] J=\integral \integral_{B} \integral {p^2*\rho db}[/mm]. Hierbei ist B der Zylinder-Bereich und p=p(x,y,z) der Abstand des Punktes P(x;y;z)[mm] x\in\B [/mm]von der Geraden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, das ist eine Übungsaufgabe, die ich für die Prüfungsvorbereitung rechne. Ich hab teilweise den Lösungsweg, den ich aber nicht nachvollziehen kann, was warum gemacht wurde.
Der Ansatz geht so:
Abstand p von der x-Achse: [mm]p=\wurzel{y^2+z^2}, p^2=y^2+z^2 [/mm]
Nun wurde der Bereich geteilt, Warum? Woher weiß ich sowas, bevor ich anfange zu rechnen?
Bevor ich auf die Lösung geschaut habe, habe ich die Funktion [mm] p^2*[/mm] [mm]\rho[/mm] in Zylinderkoordinaten ausgedrückt, und dann in den Grenzen -h/2 bis h/2, 0 bis a und 0 bis 2pi integriert.
[mm] J=\rho \integral_{-h/2}^{h/2} \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{2\pi}{r^3 (\sin \phi)^2 z^2 dzdrd\phi}[/mm]
Naja, hab das so gerechnet, kam aber Quatsch raus. War der Ansatz falsch, oder hab ich mich zwischenzeitlich verrechnet? Spielt die Integrationsreihenfolge eine Rolle? Sollte ja eigentlich nicht, da in den Grenzen nur Konstanten stehen.
Die Lösung ging so:
B=[mm] (x,y)\in\S [/mm], -h/2[mm]\le[/mm]z[mm]\le[/mm]h/2
S=(x,y), [mm] y^2+z^2[/mm] [mm]\le[/mm][mm] a^2 [/mm]
[mm]J=\rho \integral_{-h/2}^{h/2} \integral\integral_{S}{y^2+z^2 dsdz}[/mm]
Dann das Integral nochmal teilen im z aus dem Bereich S zu entfernen.
[mm] J= \rho \integral_{-h/2}^{h/2}{dz} \integral\integral_{S}{y^2 ds} + \rho \integral_{-h/2}^{h/2} z^2 dx} \integral\integral_{S}{ ds}[/mm]
Anschließend alles mit dz normal integriert. Dann erst in Polarkoordinaten umgewandelt und in den Grenzen, wie ich sie auch in meinem Ansatz hatte integriert.
Wird der Bereich immer geteilt wenn es eine kartesische und eine polare Komponente gibt?
Aber z ist doch auch bei der Umrechnung in Zylinderkoordinaten =z
Ich verstehs nicht, hat jemand eine Erklärung für mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Fr 15.07.2011 | | Autor: | vysogota |
Sorry Leute, hab meinen Fehler gerade gesehen.
Es müsste heißen:
[mm] J=\rho \integral_{-h/2}^{h/2} \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{2\pi}{r^3 (\sin \phi)^2 +rz^2 dzdrd\phi}[/mm]
Dann wirds zwar etwas aufwändiger, da 2 mal partielle integriert werden muss, aber so sollte man zum richtigen Ergebnis kommen, oder?
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