Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Di 20.03.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, die ich in einer Klausur gesehen habe, die ich leider nicht lösen kann.
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 }
[/mm]
Seien die Bezeichnungen wie im Trägheitssatz von Sylvester gewählt und sei [mm] V=(R^{3}). [/mm] Die Bilinearform b wird bestimmt durch b=v*Aw, wobei v,w
[mm] \in [/mm] V.
a) Bestimmen Sie jeweils Unterräume [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] mit [mm] V=V_{+}\odot V_{-} \odot V_{0} [/mm] für die Bilinearform b, indem Sie Basen [mm] B_{+} [/mm] ; [mm] B_{-} [/mm] ; [mm] B_{=} [/mm] für [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] angeben.
b) Sei [mm] B=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Bestimmen Sie die Gram-Matrix [mm] G_{B} [/mm] (b) von b bzgl. der Basisi B.
Ich kann diese Aufgabe gar nicht lösen, aber ich befürchte, dass so eine Aufgabe auch bei uns in der Klausur vorkommen wird.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, die ich in einer Klausur
> gesehen habe, die ich leider nicht lösen kann.
> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 }[/mm]
>
> Seien die Bezeichnungen wie im Trägheitssatz von Sylvester
> gewählt und sei [mm]V=(R^{3}).[/mm] Die Bilinearform b wird
> bestimmt durch b=v*Aw, wobei v,w
> [mm]\in[/mm] V.
> a) Bestimmen Sie jeweils Unterräume [mm]V_{+}, V_{-}[/mm] und [mm]V_{0}[/mm]
> mit [mm]V=V_{+}\odot V_{-} \odot V_{0}[/mm] für die Bilinearform b,
> indem Sie Basen [mm]B_{+}[/mm] ; [mm]B_{-}[/mm] ; [mm]B_{=}[/mm] für [mm]V_{+}, V_{-}[/mm] und
> [mm]V_{0}[/mm] angeben.
>
> b) Sei [mm]B=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Gram-Matrix [mm]G_{B}[/mm] (b) von b bzgl. der
> Basisi B.
>
> Ich kann diese Aufgabe gar nicht lösen, aber ich
> befürchte, dass so eine Aufgabe auch bei uns in der
> Klausur vorkommen wird.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
zu a)
Wenn Du Dir die definitionen von [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] vornimmst, ist es doch garnicht so schwer Basen für diese Räume zu finden. Was hast Du schon getan ? Wo klemmts ?
Zu b) Hier gilt ähnliches. Nimm Dir die Def. Gram-Matrix her, berechne ein paar Skalarprodukte und baue diese zur gewünschten Matrix zusammen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 20.03.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo, danke erstmal für die schnelle Antwort.
Also muss ich bei b) das so machen:
Sei [mm] v1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},v2= \vektor{1 \\ 1 \\ 0},v3= \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Dann berechne ich [mm] v1^{t}*A*v1=(0,1,0)*A*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}= [/mm] 1
[mm] v1^{t}*A*v2=(0,1,0)*A*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=0 [/mm] und das jetzt so weiter
Dann erhält man so die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Stimmt das so?
und bei der a) V{0} ist doch ein Vektor aus dem Kern oder? hier z.B.
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Stimmts?
Bei [mm] V_{+},V_{-} [/mm] weiß ich nicht genau was ich machen soll. Muss ich hierfür die Eigenwerte berechnen und dann für [mm] V_{+} [/mm] einen positiven Eigenwert aussuchen und dann den Eigenraum zu diesem positiven Eigenwert berechnen und das ist dann [mm] V_{+}.
[/mm]
Dasselbe mit [mm] V_{-} [/mm] und einem negativen Eigenwert. Kann ich eigentlich dann für [mm] V_{0} [/mm] den Eigenraum zum Eigenwert 0 nehmen und dann habe ich [mm] V_{0}????
[/mm]
Gruß
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, die ich in einer Klausur gesehen habe, die ich leider nicht lösen kann.
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 }
[/mm]
Seien die Bezeichnungen wie im Trägheitssatz von Sylvester gewählt und sei [mm] V=(R^{3}). [/mm] Die Bilinearform b wird bestimmt durch b=v*Aw, wobei v,w
[mm] \in [/mm] V.
a) Bestimmen Sie jeweils Unterräume [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] mit [mm] V=V_{+}\odot V_{-} \odot V_{0} [/mm] für die Bilinearform b, indem Sie Basen [mm] B_{+} [/mm] ; [mm] B_{-} [/mm] ; [mm] B_{=} [/mm] für [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] angeben.
b) Sei [mm] B=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Bestimmen Sie die Gram-Matrix [mm] G_{B} [/mm] (b) von b bzgl. der Basisi B.
Ich kann diese Aufgabe gar nicht lösen, aber ich befürchte, dass so eine Aufgabe auch bei uns in der Klausur vorkommen wird.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:04 Di 20.03.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo, danke erstmal für die schnelle Antwort.
Also muss ich bei b) das so machen:
Sei [mm] v1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},v2= \vektor{1 \\ 1 \\ 0},v3= \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Dann berechne ich [mm] v1^{t}*A*v1=(0,1,0)*A*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}= [/mm] 1
[mm] v1^{t}*A*v2=(0,1,0)*A*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=0 [/mm] und das jetzt so weiter
Dann erhält man so die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Stimmt das so?
und bei der a) V{0} ist doch ein Vektor aus dem Kern oder? hier z.B.
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Stimmts?
Bei [mm] V_{+},V_{-} [/mm] weiß ich nicht genau was ich machen soll. Muss ich hierfür die Eigenwerte berechnen und dann für [mm] V_{+} [/mm] einen positiven Eigenwert aussuchen und dann den Eigenraum zu diesem positiven Eigenwert berechnen und das ist dann [mm] V_{+}.
[/mm]
Dasselbe mit [mm] V_{-} [/mm] und einem negativen Eigenwert. Kann ich eigentlich dann für [mm] V_{0} [/mm] den Eigenraum zum Eigenwert 0 nehmen und dann habe ich [mm] V_{0}????
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo, die Zeit ist um, aber ich würde gerne immer noch wissen, ob meine Antwort stimmt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 23.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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