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Hallo
Hab foglendes Beispiel 2x2 Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & -1\\ -1 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D und S für die gilt
[mm] A=SDS^{-1} [/mm] ich könnte es nur Lösen wenn A eine Diagonalmatrix wäre oder kann ich das umformen zu D= [mm] S^{-1}AS [/mm] wobei ich mir nicht sicher bin ob man das darf oder ob es dafür einen Satz gibt.
wenn es so funktioniert würd ich so weiter machen...
[mm] \vmat{ 1- \lambda & -1 \\ -1 & 1- \lambda }=(1- \lambda)^2 \lambda=1
[/mm]
also Eigenwert 1
dann den dazugehörigen Eigenvektor für [mm] \lambda=1
[/mm]
0 [mm] x_{1}- x_{2}=0
[/mm]
- [mm] x_{1}+0 x_{2}=0
[/mm]
jetzt kommt mir der Nullvektor dabei raus???
wie rechnet man das richtig
Danke Stevo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 05.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Aufgabe ist es A zu diagonalisieren, d.h. eine Basis zu finden in der die Abbildung von A eine Diagonalmatrix als Darstellungsmatrix hat.
wenn A schon eine Diagonalmatrix waere, dann waere S und dessen Inverse ja die Einheitsmatrix und D=A.
Angenommen du haettest eine solche Diagonalmatrix D gefunden (bzgl einer Basis B), was passiert wenn man den i-ten Basisvektor von B in dessen Basisgestalt (also der i-te Einheitsvektor) an die Matrix multipliziert ?
Man erkennt also, dass du eine Basis B aus Eigenvektoren suchst.
Weisst du wie man Eigenwerte und -vektoren bestimmt?
[
Die Eigenwerte hast du wohl schon angesetzt, sollte dein Ergebnis richtig sein, ist 0 und 1 ein Eigenwert - hierzu musst du noch Eigenvektoren finden, indem du ein entspr. Gleichngssystem loesst.
(dein charackteristisches Polynom darf aber nur Grad 2 haben !!)
das wuerde aber so aussehen:
[mm] $\lambda [/mm] =1$
$ [mm] x_{1}- x_{2}=x_1 [/mm] $
$ [mm] -x_{1}+ x_{2}=X_2 [/mm] $
also [mm] $x_1=x_2=0$ [/mm] , aber der Eigenraum muss mindestens 1-dimensional sein.
HINWEIS : der zweite Eigenwert ist 2 nicht 1
[mm] $\lambda [/mm] =0$
$ [mm] x_{1}- x_{2}=0 [/mm] $
$ [mm] -x_{1}+ x_{2}=0 [/mm] $
also [mm] $x_1=x_2$ [/mm] , also [mm] $s*\vektor{1\\1}$ [/mm] ist dein Eigenraum dazu
]
wenn du die Basis kennst, kannst du dann S und [mm] $S^{-1}$ [/mm] als  Transformationsmatrix selbst ausrechnen?
(schau dir diesen Link an, wenn nicht)
versuche dich mal daran und schreibe deine Versuche auch hier hin, wenn du weitere Fragen hast.
viele Gruesse
DaMenge
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Hallo nochmal
hab das -1 irgendwo verloren [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \lambda=2 [/mm] sorry!
also für [mm] \lambda=0 [/mm] bekomme ich den Eigenvektor [mm] x_{1}= \vektor{1\\ 1}
[/mm]
und für [mm] \lambda=2 [/mm] bekomme ich den Eigenvektor [mm] x_{2}= \vektor{1\\ -1}
[/mm]
und die sind wieder linear unabhäng. bekomme ich dann das
S indem ich [mm] x_{1},x_{2} [/mm] in eine Matrix schreibe also
[mm] S=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1} [/mm] und für
[mm] S^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{2}}
[/mm]
und jetzt der Satz [mm] SAS^{-1}= \pmat{ \lambda_{1} &0 \\ 0 & \lambda_{2} }=\pmat{ 0 &0 \\ 0 & -2 } [/mm] = D
bei der Probe stimmt das aber was ich nicht verstehe ist
1.Es müssen doch in einer Diagonalmatrix die Werte der Diagonale [mm] \not=0 [/mm] sein.
2. Stimmt meine Umformung von
[mm] S^{-1}AS=D [/mm] zu [mm] A=SDS^{-1} [/mm] gibt es dafür eine Regel Matrizenmultiplikation ist ja nicht komutativ
Danke Stevo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 05.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
eigentlich ist ja schon alles beantwortet..
also ich kenne als Diagonalmatrix alle Matrizen, deren nicht-diagonal einträge alle 0 sind, das bedeutet insbesondere, dass auch due Nullmatrix eine Diagonalmatrix ist...
Aber das ist definitionssache denke ich
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Stevo!
Die Probe klappt deswegen nicht, weil du $S$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] vertauscht hast.
> [mm]S=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1}[/mm] und für
> [mm]S^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{2}}[/mm]
Genau andersherum!
> und jetzt der Satz [mm]SAS^{-1}= \pmat{ \lambda_{1} &0 \\ 0 & \lambda_{2} }=\pmat{ 0 &0 \\ 0 & -2 }[/mm]
> = D
>
> bei der Probe stimmt das aber was ich nicht verstehe ist
Wenn du jetzt [mm] $SAS^{-1}$ [/mm] ausrechnest, kommt es hin! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 06.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die Probe stimmt nur zufällig (ich hatte mich in der Tat verlesen). Gehe mal so wie bei mir vor, dann stimmt die Probe ebenfalls.
Fazit (unabhängig von Proben): Meine Lösung ist richtig, die andere falsch. Denn hier wurde die Transformationsformel falsch angewendet ($S$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] vertauscht).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 06.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Die Probe stimmt nur zufällig (ich hatte mich in der Tat
> verlesen). Gehe mal so wie bei mir vor, dann stimmt die
> Probe ebenfalls.
>
> Fazit (unabhängig von Proben): Meine Lösung ist richtig,
> die andere falsch. Denn hier wurde die
> Transformationsformel falsch angewendet ([mm]S[/mm] und [mm]S^{-1}[/mm]
> vertauscht).
Ja, du hast Recht. Komischerweise hatte ich es nur glaube ich zuerst so gemacht, und da stimmte es nicht, aber wahrscheinlich habe ich mich wieder verrechnet, oder einfach verguckt. Und dann dachte ich, ich hätte S und [mm] S^{-1} [/mm] vertauscht, aber das war ja dann wohl doch nicht der Fall. Da bin ich ja beruhigt. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Viele Grüße und gut, dass noch jemand aufpasst, auch wenn schon alles beantwortet scheint. 
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Hallo Stevo!
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> Die Probe klappt deswegen nicht, weil du [mm]S[/mm] und [mm]S^{-1}[/mm]
> vertauscht hast.
also richtig wäre so
>
[mm]S^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1}[/mm] und für
[mm]S=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{2}}[/mm]
>
oder so
[mm]S^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{2}}[/mm] und für
[mm]S=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1}[/mm]
in meinem matheskriptum ist so ein ähnliches Beispiel man diagonalisiere Matrix A und da wird mit den Eigenwerten die Matrix S gebildet?
Oder ist das wegen der umformung von [mm] S^{-1}AS=D [/mm] zu [mm] =SDS^{-1}?
[/mm]
> Genau andersherum!
>
> > und jetzt der Satz [mm]SAS^{-1}= \pmat{ \lambda_{1} &0 \\ 0 & \lambda_{2} }=\pmat{ 0 &0 \\ 0 & -2 }[/mm]
> > = D
> >
> > bei der Probe stimmt das aber was ich nicht verstehe ist
>
> Wenn du jetzt [mm]SAS^{-1}[/mm] ausrechnest, kommt es hin!
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Do 06.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also beide Varianten stimmen hier zufällig, weil die Spalten von [mm] $\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{2}}$ [/mm] ja auch wieder eine Eigenvektorbasis bilden...
Deshalb ist es hier egal, wie rum man es schreibt.
Insgesamt ist es übrigens auch nur Definitionssache, ob man sagt, dass
[mm] $S*A*S^{-1}=D$ [/mm] oder [mm] $S^{-1}*A*S=D$
[/mm]
entsprechend ändert sich auch die Bedeutung von dem S...
Die Reihenfolge bei der Multiplikation ist im Allgemeinen jedoch wirklich relevant und man sollte genau wissen, was welche TrafMatrix macht.
(ob man die dann S oder [mm] $S^{-1}$ [/mm] nennt ist jedoch egal)
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Do 06.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> also beide Varianten stimmen hier zufällig, weil die
> Spalten von [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & - \bruch{1}{2}}[/mm]
> ja auch wieder eine Eigenvektorbasis bilden...
>
> Deshalb ist es hier egal, wie rum man es schreibt.
>
> Insgesamt ist es übrigens auch nur Definitionssache, ob man
> sagt, dass
> [mm]S*A*S^{-1}=D[/mm] oder [mm]S^{-1}*A*S=D[/mm]
>
> entsprechend ändert sich auch die Bedeutung von dem S...
>
> Die Reihenfolge bei der Multiplikation ist im Allgemeinen
> jedoch wirklich relevant und man sollte genau wissen, was
> welche TrafMatrix macht.
> (ob man die dann S oder [mm]S^{-1}[/mm] nennt ist jedoch egal)
Wichtig ist doch jetzt quasi nur, dass ich die Basis der Eigenvektoren in die Matrix schreibe, die "hinter" dem A kommt. Also nicht die, die vor dem A kommt (welch eine Feststellung...). Und ob sie dann S oder [mm] S^{-1} [/mm] heißt ist egal.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Do 06.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Genau das meinte ich. Nicht die Bezeichnung, sondern die Tatsache, dass die Matrix mit den Komponenten der Eigenvektoren als Spaltenvektoren vor das $A$ geschaltet wird (also rechts neben dem $A$ steht).
Hier war es nur zufällig "richtig", da beide Transformationsmatrizen eben aus Eigenvektoren bestanden, aber ich bin mir sicher, dass der Fragesteller es beim nächsten Mal falsch gemacht hätte, wenn dieses Phänomen nicht aufgetreten wäre.
Danke für die Erläuterung!
Liebe Grüße
Stefan
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Da hast du dich wohl unten verlesen? ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]"){kind=small}
