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| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Linienintegral
[mm] \integral_{}^{}{xy^{2}}
[/mm]
x=cos(t)
y=sin(t)
0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] |
Hallo,
Zu obiger Aufgabe wurde in der Übung folgende Lösung präsentiert, die ich ich nicht ganz verstanden habe. Die Frage wurde auch schon in einem anderem Forum gepostet:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=579697
Nun aber zur besagten Lösung:
1)Zunächst wurden die partiellen Ableitungen berechnet:
[mm] \bruch{dx}{dt}=-sin [/mm] t
[mm] \bruch{dy}{dt}=cos [/mm] t
2)Dann wurden die Grenzen bestimmt:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
3)Dann wurde folgendes gerechnet:
x(k)=-k , [mm] k\varepsilon [/mm] [0,1] [mm] \bruch{dx}{dk}=-1
[/mm]
y(k)=k , [mm] k\varepsilon [/mm] [0,1] [mm] \bruch{dy}{dk}=1
[/mm]
4)Ergebnis ist dann folgendes:
[mm] \integral_{0}^{1}{-k^{3}dk}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Nun zu meinen Fragen:
1. Frage: Warum ist man so vorgegangen und wie heißt diese Methode? Ich hab zwar in meinen Büchern und Internet gestöbert, aber verstehe nicht warum man die Schritte 1) 2) und 3) macht. Unser Übungsleiter meinte wir sollten uns dazu die Koordinatentransformation nochmal anschauen.
2.Frage: Was wurde in 3) gemacht bzw. wie kommt man auf dieses Ergebnis?
Vielen Dank im voraus!
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> Berechnen Sie folgendes Linienintegral
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> [mm]\integral_{}^{}{xy^{2}}[/mm]
> x=cos(t)
> y=sin(t)
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
Das ist schon Unsinn. Es fehlt noch so etwas wie dx, dy, ds und/oder dt. Deshalb ist das Integral so gar nicht berechenbar.
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> Hallo,
> Zu obiger Aufgabe wurde in der Übung folgende Lösung
> präsentiert, die ich ich nicht ganz verstanden habe. Die
> Frage wurde auch schon in einem anderem Forum gepostet:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=579697
>
> Nun aber zur besagten Lösung:
>
> 1)Zunächst wurden die partiellen Ableitungen berechnet:
> [mm]\bruch{dx}{dt}=-sin[/mm] t
> [mm]\bruch{dy}{dt}=cos[/mm] t
>
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>
> 2)Dann wurden die Grenzen bestimmt:
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
Ja, aber weil x = cos(t) ist, ist die Untergrenze 1 und die Obergrenze -1. Das hat zwar mit obiger Angabe nichts zu tun, ist aber für die Integration wichtig.
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1
>
> 3)Dann wurde folgendes gerechnet:
> x(k)=-k , [mm]k\varepsilon[/mm] [0,1] [mm]\bruch{dx}{dk}=-1[/mm]
> y(k)=k , [mm]k\varepsilon[/mm] [0,1] [mm]\bruch{dy}{dk}=1[/mm]
Wenn x=-k und y=k wäre, müsste x=-y sein, also x=-sin(t). Das gibt keinen Sinn.
>
> 4)Ergebnis ist dann folgendes:
> [mm]\integral_{0}^{1}{-k^{3}dk}=-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Nun zu meinen Fragen:
> 1. Frage: Warum ist man so vorgegangen und wie heißt
> diese Methode? Ich hab zwar in meinen Büchern und Internet
> gestöbert, aber verstehe nicht warum man die Schritte 1)
> 2) und 3) macht. Unser Übungsleiter meinte wir sollten uns
> dazu die Koordinatentransformation nochmal anschauen.
>
> 2.Frage: Was wurde in 3) gemacht bzw. wie kommt man auf
> dieses Ergebnis?
>
>
>
> Vielen Dank im voraus!
Ich verbiege mal die Aufgabe:
Berechnen Sie folgendes Linienintegral
[mm]\integral_{}^{}{xy^{2}} \red{ds}[/mm] (ds = Länge des Linienstückchens)
mit
x=cos(t)
y=sin(t)
0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
Es ist dx=-sin(t)dt, dy=cos(t)dt und [mm] ds=\wurzel{dx^2+dy^2}=\wurzel{(-sin(t))^2dt^2+(cos(t))^2dt^2}=\wurzel{sin^2(t)+cos^2(t))}dt [/mm] = 1 dt, also ds=dt. Damit erhält man
[mm]\integral_{}^{}{xy^{2}} ds[/mm]=[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(t)sin^2(t)} dt[/mm] [mm] =\bruch{1}{3}sin^3(t)|_0^{\pi/2}=\bruch{1}{3},
[/mm]
was aber nicht mit der Musterlösung übereinstimmt.
Die andere "Transformation" ist mir völlig unverständlich, vielleicht sieht jemand anderes ja mehr. Ich halte meine Lösung aber (bei veränderter(?) Aufgabenstellung) für richtig.
Tipp: Frage Kommilitonen, ob sie die Musterlösung verstanden haben und lass sie dir ggf. erklären. Wenn nicht: löchere deinen Prof und zeige ihm meine Lösung. Er soll dir den Fehler zeigen, dafür wird er bezahlt.
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Falls die Aufgabenstellung so geheißen hat:
Berechnen Sie folgendes Linienintegral
[mm]\integral_{0}^{1}{xy^{2}} \red{dx}[/mm]
mit
x=cos(t)
y=sin(t)
0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
ergibt sich allerdings:
Es ist dx=-sin(t)dt=-ydt
und damit [mm]\integral_{0}^{1}{xy^{2}} dx[/mm] = -[mm]\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{0}{xy^{3}} dt[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(t)sin^{3}(t)} dt[/mm] [mm] =\bruch{1}{4}sin^4(t)|^{\pi /2}_0 =\bruch{1}{4}
[/mm]
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