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| Aufgabe | Hallo Leute!
Ich habe folgende Aufgabenstellung:
1.) Gegeben ist die folgende Drehstreckung f: R² -> R²
f(x) = Ax mit
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
a) Berechne das Dreieck D' = [A' B' C'] mit A= (0/0), B = (6/2) und C = (3/4)
b) berechnen sie die Fläche von D und D'
c) In welchen Größenverhältnis stehen die Flächen der beiden Dreiecke zueinander`?
d) In welche Richtung ist die Drehung dieser Drehstreckung am größten?
e)In welche Richtung ist die Drehung einer beliebigen dreshtreckung am größten? |
Also a) habe ich rechnen können weil es ja nicht gerade schwer ist (und hoffe das stimmt):
A' = A * (0/0) = (0/0)
B' = A * (6/2) = (10/26)
C' = A * (3/4) = (11/25)
b) Fläche ist:
[mm] \bruch{1}{2} |\overrightarrow{AB} [/mm] x [mm] \overrightarrow{AC}|
[/mm]
sollte 9 E²
sein und vom D' 18 E²
c) weiss ich nur zum Teil dass 1:2 das Verhältniss ist, aber warum weiss ich nicht!
d) Keine Ahnung! Habe mit eigenwerten und eigenvektoren probiert aber das klappt nicht
e) ebenfalls ???
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Fr 27.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum Flächenverhältnis: berechne mal die Determinante.
zu den anderen Fragen: das ist keine Drehstreckung. (wenigstens nicht bei der kanonischen (üblichen) Basis. Bei einer Drehstreckung müßten die Spaltenvektoren orthogonal sein.
bist du sicher, du hast die richtige Matrix.?
die Frage In welche Richtung ist die Drehung dieser Drehstreckung am größten? macht keinen sinn, ist da vielleicht die Richtung der Dehnung gefragt?
wäre es eine drehung, dann wäre sie im oder gegen den Uhzeigersinn, aber nicht in einer "Richtung"
Also sieh den Aufgabentext nochmal nach.
Gruss leduart
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Hey!
Danke für die schnelle Antwort! Ich habe nachgeschaut und die Matrix stimmt :/
Habe mich auch nicht verschrieben. Ich glaub ich muss da irgendwie eine basistransformation durchführen, aber hab da keinen Ansatz. Bei den Eigenwerten der Matrix kommt ein unschönes ergebnis raus.
lg Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Mo 30.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Sorry, ich glaub ich sollte mich dann echt schön langsam ins Bett legen!
ja natürlich ist die "Dehnung" gefragt. :(
Tut mir leid nochmal!
lg Chris
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Hallo Chris,
> 1.) Gegeben ist die folgende Drehstreckung f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2
[/mm]
> f(x) = Ax mit
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
Wie schon gesagt wurde: um eine Drehstreckung handelt es
sich dabei nicht !
> a) Berechne das Dreieck D' = [A' B' C'] mit
> A= (0/0), B = (6/2) und C = (3/4)
>
> b) berechnen sie die Fläche von D und D'
>
> c) In welchen Größenverhältnis stehen die Flächen der
> beiden Dreiecke zueinander'?
> d) In welche Richtung ist die Drehung dieser Drehstreckung
> am größten?
> e)In welche Richtung ist die Drehung einer beliebigen
> dreshtreckung am größten?
> Also a) habe ich rechnen können weil es ja nicht gerade
> schwer ist (und hoffe das stimmt):
>
> A' = A * (0/0) = (0/0)
> B' = A * (6/2) = (10/26)
> C' = A * (3/4) = (11/25)
>
> b) Fläche ist:
> [mm]\bruch{1}{2} |\overrightarrow{AB}\,\times\, \overrightarrow{AC}|[/mm]
> sollte 9 E²
> sein und vom D' 18 E²
>
> c) weiss ich nur zum Teil dass 1:2 das Verhältnis ist,
> aber warum weiss ich nicht!
Falls du die Flächeninhalte wirklich berechnet hast, sollte
dies doch kein Problem sein !
> d) Keine Ahnung! Habe mit eigenwerten und eigenvektoren
> probiert aber das klappt nicht
>
> e) ebenfalls ???
Ich vermute, dass der Aufgabensteller "irgendwie" an
Eigenwerte und Eigenvektoren gedacht hat - doch ist
in diesem Fall jedenfalls die Aufgabe sehr unglücklich
formuliert, da es sich bei der Abbildung weder um eine
Drehung, eine Streckung, eine Drehstreckung noch
um eine "Dehnung" in einem einfachen Sinne handelt.
Mit viel gutem Willen kann man die Aufgabe so auffassen:
Die Abbildung f kann geometrisch als eine zentralkollineare
Abbildung klassifiziert werden, welche man als ein Produkt
von zwei geeigneten Parallelstreckungen (mit positiven
oder negativen Streckfaktoren) darstellen kann. Diese
Streckfaktoren kann man dann als "Dehnungsfaktoren"
auffassen - sie entsprechen den Eigenwerten der Abbil-
dungsmatrix - und die Richtungen der Parallelstreckungen
werden durch die zugehörigen Eigenvektoren bestimmt.
In diesem Sinne interpretiert, kann man dem Begriff
der "Richtung mit der größten Dehnung" einen Inhalt
zuordnen: es ist die Richtung eines zum absolut größten
Eigenwert gehörigen Eigenvektors.
LG Al-Chw.
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