Transformation eines Integrals < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Do 12.01.2012 | | Autor: | bluer |
Für [mm] u\in C^2(\Omega [/mm] ) , [mm] x,y,\xi \in \Omega [/mm] , r > 0 mit B[x,r] [mm] \subseteq \Omega [/mm] gilt:
[mm] \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} r} \int\limits_{S_{n-1}} {u(x+r\xi ) \operatorname{d} S(\xi)} [/mm] = [mm] \int\limits_{S_{n-1}} {\xi \nabla{} u (x + r\xi ) \operatorname{d} S(\xi )} [/mm] = [mm] \frac{1}{r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(x,r)} {(\nabla{} u(x+y) | \nu (y) ) \operatorname{d} S(y)} [/mm]
Das erste gleichheitszeichen ist klar (haben wir in der Übung gezeigt). Jedoch ist mir das zweite noch ziemlich schleierhaft. Wir transformieren das Integral über die Einheitsphäre [mm] S_{n-1} [/mm] auf das Integral über den Rand [mm] \partial B_{(0,r)}. [/mm] Aber wie ist die Transformation von [mm] {\xi \nabla{} u (x + r\xi )} [/mm] zu [mm] {\frac{1}{r^{n-1}} (\nabla{} u (x + r\xi ) \vert \nu(y))} [/mm] begründet?
Ich hoffe es kann mir jmd. helfen!
Vielen Dank schon einmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Für [mm]u\in C^2(\Omega[/mm] ) , [mm]x,y,\xi \in \Omega[/mm] , r > 0 mit
> B[x,r] [mm]\subseteq \Omega[/mm] gilt:
> [mm]\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} r} \int\limits_{S_{n-1}} {u(x+r\xi ) \operatorname{d} S(\xi)}[/mm]
> = [mm]\int\limits_{S_{n-1}} {\xi \nabla{} u (x + r\xi ) \operatorname{d} S(\xi )}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(x,r)} {(\nabla{} u(x+y) | \nu (y) ) \operatorname{d} S(y)}[/mm]
> Das erste gleichheitszeichen ist klar (haben wir in der
> Übung gezeigt). Jedoch ist mir das zweite noch ziemlich
> schleierhaft. Wir transformieren das Integral über die
> Einheitsphäre [mm]S_{n-1}[/mm] auf das Integral über den Rand
> [mm]\partial B_{(0,r)}.[/mm] Aber wie ist die Transformation von
> [mm]{\xi \nabla{} u (x + r\xi )}[/mm] zu [mm]{\frac{1}{r^{n-1}} (\nabla{} u (x + r\xi ) \vert \nu(y))}[/mm]
> begründet?
>
anders ausgedrückt: man transformiert das integral über die sphäre mit radius 1 auf das integral über die sphäre mit radius r.
formal substituiert man [mm] $y=r\xi$ [/mm] bzw. [mm] $\xi=\frac1r\cdot [/mm] y$. Demzufolge transformiert sich das entsprechende oberflächenelement durch [mm] $dS(\xi)=\frac1{r^{n-1}}dS(y)$, [/mm] denn es handelt sich um ein $(n-1)$-dimensionales integral (transformationsformel).
bleibt noch zu klären, wie man von [mm] $\xi\cdot\nabla [/mm] u$ auf [mm] $\nu\cdot\nabla [/mm] u$ kommt. aber auch das ist klar: [mm] $\xi$ [/mm] wird zu [mm] $\frac1r\cdot [/mm] y$. Für [mm] $y\in \partial B_{(0,r)}$ [/mm] ist aber [mm] $\frac1r\cdot [/mm] y$ (natürlich) wieder auf [mm] $S^{n-1}$ [/mm] und somit identisch zur einheitsnormalen [mm] $\nu$ [/mm] der Sphäre mit radius $r$ in $y$. Mehr ist nicht dahinter.
Klarer?
gruss
matthias
> Ich hoffe es kann mir jmd. helfen!
>
> Vielen Dank schon einmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Do 12.01.2012 | | Autor: | bluer |
Ahhhhh.......
So ähnlich habe ich es mir auch gedacht, nur war ich mir nicht wirklich sicher. Vielen Dank!!!
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