Transformation ellipt. Koordin < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Di 13.06.2006 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Vorgegeben sei die Transformation der ebenen elliptischen Koordinaten
(u,v) [mm] \mapsto \vektor{sin u cosh v \\ cos u sinh v}
[/mm]
a) Worauf bildet die Transformation die Kurvenscharen u=konst. und v konst. ab? |
So richtig hab ich kein Plan was man hier will. Bzw. wie man das rausfindet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es heisst doch schon maö elliptisch! Die Bilder von u,v seien x,y
also setz doch einfach mal v=const, coshv=k1, sihv=k2
dann folgt : x=k1*sinu, y=k2*cosu erkennst du das? sonst dividier jeweils durch k1, k2 und addier dann die Quadrate der 2 Gl.!
Entsprechend mit u=const, nur subtrahiern statt addieren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 14.06.2006 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | 1)Zeigen sie dass die Transormation auf der Menge ] [mm] -\bruch{ \pi}{2}, \bruch{ \pi}{2}[ [/mm] x [mm] \IR [/mm] injektiv ist!
2)Drücken sie den Laplace Operator in(u,v)-Koordinaten aus. |
So also erstmal noch zu dem oberen. x=k1*sinu, y=k2*cosu sind doch die Polarkoordinaten oder? Gut aber wenn ich jetzt u=konst. setze bekome ich ja für x=k3*coshv y=k4*sinhv wie ist das da weil das ist ja dann sinus/cosinus hyperbolicus. Sind das trotzdem Polarkoordinaten oder wie?
Zu der neuen Aufgabe. 1) kann ich doch über die Determinante der dazugehörigen Jacobimatrix zeigen wenn diese ungleich 0 ist ist dies injektiv aber wie gebrauche ich da die Grenzen [mm] -\bruch{ \pi}{2}, \bruch{ \pi}{2} [/mm] ?
2) In der Vorlesung wurde der Laplace Operator für Polarkoordinaten definiert
[mm] \Delta= \bruch{\delta^{2}}{delta*r^{2}}+ \bruch{1}{r}*\bruch{\delta}{\delta*r}+ \bruch{1}{r^{2}}*\bruch{\delta^{2}}{\delta*\phi^{2}} [/mm] Aber wie wend ich das auf die Aufgabe an oder ist gar ein anderer Laplace Operator gefragt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo ttgirltt
> 1)Zeigen sie dass die Transormation auf der Menge ]
> [mm]-\bruch{ \pi}{2}, \bruch{ \pi}{2}[[/mm] x [mm]\IR[/mm] injektiv ist!
> 2)Drücken sie den Laplace Operator in(u,v)-Koordinaten
> aus.
> So also erstmal noch zu dem oberen. x=k1*sinu, y=k2*cosu
> sind doch die Polarkoordinaten oder?
Nein, das ist die parametrisierte Kurve, in die die Linie v=const=v1 mit k1=sinhv1 übergeht. die andere Darstellung ist: [mm] \bruch{x^2}{k1^2}+\bruch{y^2}{k2^2}=1
[/mm]
Erkennst du jetzt, dass das eine Ellipse ist?
Eine entsprechend kurve findest du für
> Gut aber wenn ich
> jetzt u=konst. setze bekome ich ja für x=k3*coshv
> y=k4*sinhv wie ist das da weil das ist ja dann
> sinus/cosinus hyperbolicus. Sind das trotzdem
> Polarkoordinaten oder wie?
>
> Zu der neuen Aufgabe. 1) kann ich doch über die
> Determinante der dazugehörigen Jacobimatrix zeigen wenn
> diese ungleich 0 ist ist dies injektiv aber wie gebrauche
> ich da die Grenzen [mm]-\bruch{ \pi}{2}, \bruch{ \pi}{2}[/mm] ?
> 2) In der Vorlesung wurde der Laplace Operator für
> Polarkoordinaten definiert
> [mm]\Delta= \bruch{\delta^{2}}{delta*r^{2}}+ \bruch{1}{r}*\bruch{\delta}{\delta*r}+ \bruch{1}{r^{2}}*\bruch{\delta^{2}}{\delta*\phi^{2}}[/mm]
> Aber wie wend ich das auf die Aufgabe an oder ist gar ein
> anderer Laplace Operator gefragt?
Ja, wahrscheinlich wurde der Laplaceoperator auch nicht so definiert, sondern hergeleitet, aus seiner Darstellung im kartesischen Koordinatensystem! Sieh dir das noch mal an, und übertrag es einfach auf diese nicht Polarkoordinaten, sondern elliptische Koordinaten!
Zur Klarstellung:
Polarkkordinaten: [mm] (r,\phi) [/mm] == >( [mm] rcos\phi,rsin\phi)
[/mm]
Die Linien r=const sind Kreise um den Nullpkt, die Linien [mm] \phi=const [/mm] sind Geraden durch den Ursprung.
natürlich kann man statt [mm] r,\phi [/mm] auch u,v schreiben.
Gruss leduart
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