Transformationsformel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:23 Mo 18.12.2006 | | Autor: | jankle |
| Aufgabe | | Sei U ~ R(0,1) und Y = g(U) = [mm]\frac{1}{\lambda}lnU, \lambda > 0[/mm]. Gesucht wird hier die Dichte der Variable Y, diese sei zufällig |
Mit Transformationsformel kann ich leider nicht wirklich was anfangen, daher wäre es supertoll, wenn mir irgendwer dabei helfen könnte, die Aufgabe irgendwie zu einem glücklichen Ende zu führen 
schon mal Danke im Vorraus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Sa 06.12.2014 | | Autor: | Alan63 |
Hallo Forum,
ich habe eine Rückfrage zu https://vorhilfe.de/forum/Transformationsformel/t212112
Könnt ihr mir bitte erklären, wie man g^-1(y) findet? Ich habe es so verstanden, man legt eine Grade durch den Nullpunkt, und dort wo sich der Graph der Funktion mit dieser Graden schneidet spiegelt man die Funktion, stimmt das so? Und wie "berechne" ich sowas?
Schönes Wochenende
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 06.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Forum,
> ich habe eine Rückfrage zu
> https://vorhilfe.de/forum/Transformationsformel/t212112
>
> Könnt ihr mir bitte erklären, wie man g^-1(y) findet? Ich
> habe es so verstanden, man legt eine Grade durch den
> Nullpunkt, und dort wo sich der Graph der Funktion mit
> dieser Graden schneidet spiegelt man die Funktion, stimmt
> das so? Und wie "berechne" ich sowas?
Löse v = $ [mm] \frac{1}{\lambda}lnU, \lambda [/mm] > 0 $ nach U auf.
Dann bekommst Du [mm] u=g^{-1}(v)
[/mm]
FRED
>
> Schönes Wochenende
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 18.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin jankle,
die Transformation ist hier $g:IR [mm] ^+\to\rel$ [/mm] mit
[mm] $g(u)=\frac{1}{\lambda}\ln [/mm] u$. Die Transformationsformel (wie ich
diesen Begriff verstehe)stellt einen
Zusammenhang her zwischen der Dichte [mm] $f_y$ [/mm] von $Y$ und der von $U$, also
[mm] $f_u$. [/mm] Da $U$ gleichverteilt ist, ist letztere gegeben durch [mm] $f_u(u)=1$
[/mm]
fuer $0<u<1$ und [mm] $f_u(u)=0$. [/mm] Weiter brauchen wir [mm] $g^{-1}(y)=\lambda \exp(\lambda [/mm] y)$ und $g'(u)=1/ [mm] (\lambda [/mm] u) $. Die Transformationsformel
fuer die Dichte von $Y$ besagt nun:
[mm] $f_y(y)=\frac{f_u(g^{-1}(y)}{|g'(g^{-1}(y))|}=\lambda\exp(\lambda [/mm] y)$.
Beachte, dass $Y$ nur Werte $<0$ annimmt (was mir etwas komisch vorkommt;
heisst deine Variable vielleicht [mm] $Y=-\ln U/\lambda$? [/mm] Dann wuerde eine
Exponentialverteilung resultieren...)
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 18.12.2006 | | Autor: | jankle |
Ja, du hast Recht: [mm]-\frac{1}{\lambda}ln U[/mm]
Was würde das denn alles ändern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 18.12.2006 | | Autor: | luis52 |
> Ja, du hast Recht: [mm]-\frac{1}{\lambda}ln U[/mm]
>
> Was würde das denn alles ändern?
Na, dass die wesentlich "populaerere" Exponentialverteilung resultiert , die nur positive Werte annimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 Di 19.12.2006 | | Autor: | jankle |
Das würde aber am Rechenweg sonst nichts ändern, sondern nur an der Schlussfolgerung, welche Verteilung resultiert?
Oder muss ich jetzt nochmal gravierend umdenken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Di 19.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Nein, nur am Rechenweg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 19.12.2006 | | Autor: | jankle |
Auf die Gefahr hin, etwas doof zu wirken...
Wo GENAU ändert das denn nun etwas?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Di 19.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin jankle,
ich anworte, indem ich meine erste Antwort per Cut-and-paste veraendere (das gibt mir auch die
Moeglichkeit, einen Fehler bei [mm] $g^{-1}(y)$ [/mm] zu korrigieren):
die Transformation ist hier $ g:IR [mm] ^+\to [/mm] IR$ mit $
[mm] g(u)=-\frac{1}{\lambda}\ln [/mm] u $. Die Transformationsformel (wie ich diesen
Begriff verstehe) stellt einen Zusammenhang her zwischen der Dichte
$ [mm] f_y$ [/mm] von Y und der von $U$, also $ [mm] f_u [/mm] $. Da $U$ gleichverteilt ist, ist
letztere gegeben durch $ [mm] f_u(u)=1 [/mm] $ fuer 0<u<1 und $ [mm] f_u(u)=0 [/mm] $. Weiter
brauchen wir [mm] $g^{-1}(y)=\exp(-\lambda [/mm] y) $ und $ g'(u)=-1/ [mm] (\lambda [/mm] u) $.
Die Transformationsformel fuer die Dichte von Y besagt nun:
[mm] $f_y(y)=\frac{f_u(g^{-1}(y)}{|g'(g^{-1}(y))|}=\frac{1}{|g'(\exp(-\lambda y))|}=\lambda\exp(-\lambda [/mm] y) $.
fuer Werte $y>0$. Es resultiert also eine Exponentialverteilung, wie
vermutet.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Di 19.12.2006 | | Autor: | jankle |
Wunderbar, ich danke dir vielmals!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 24.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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