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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 So 29.01.2006 | | Autor: | stam |
| Aufgabe | gegeben sind folgende Matrizen:
[mm]A= \pmat{ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 }[/mm]
[mm]B= \pmat{ 1 & 0 & 0 &\\ -1 & -2 & 1\\ 0 & -2 & 1}[/mm]
Geben Sie nun im Falle einer Diagonalisierbaren Matrix jeweils für A und B die Transformationsmatrix an, die die Matrix auf Diagonalgestalt transformiert. |
Hallo,
Also ich glaube, dass die erste Matrix nicht diagonalisierbar ist, aber wie verfahre ich jetzt mit Matrix B? Oder ist auch die erste Matrix diagonalisierbar, und wenn ja warum?
Mit freundlichen Grüßen
Stam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also die Determinanten sind zwar in beiden nicht 0, aber laut meinen Berechnungen sind beide Matrizen nicht transformierbar.
Ich nehme an, du musst die Matrizen finden, welche die gegebene Matrize auf Diagonalform bringen. Da sich jedoch keine 3 Eigenvektoren aufstellen lassen, geht das nicht.
Bei Matrize 1 sind alle Werte immer 0, bei Matrize 2 bekomme ich nur (1,0,1)....
Hoffe das stimmt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mo 30.01.2006 | | Autor: | stam |
Hallo,
hmm, also nach meinen Berechnungen kann man schon drei Eigenvektoren aufstellen, da es ja auch drei Eigenwerte zu den Matrizen gibt:
Zu Matrix A:
Das Charakteristische Polynom lautet: [mm]x^3 - x^2 + x - 1[/mm]
Der Reelle Eigenwert ist {1}und die Komplexen {i, -i}
Eigenvektor zu Eigenwert1: [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 1}[/mm]
Eigenvektor zu Eigenwert î: [mm] \vektor{1 \\ 0\\ -i}[/mm]
Eigenvektor zu Eigenwert -î:[mm] \vektor{1 \\ 0\\ i} [/mm]
Zu Matrix B:
Das Charakteristisches Polynom ist hier: [mm]x^3 - x[/mm]
Die reellen Eigenwerte sind: {-1; 0; 1}
Eigenvektor zu Eigenwert -1: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Eigenvektor zu Eigenwert 0: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
Eigenvektor zu Eigenwert 1: [mm]\vektor{ 1\\ 0 \\ 1}[/mm]
Auch die Proben scheinen zu stimmen
Also eigentlich müsste es doch auch eine solche Matrix geben, die die vorherigen matrizen auf diagonalgestalt bringt, oder?
Oder habe ich einen Fehler gemacht?
Ich denke, dass wenigstes zu einer der Matrizen eine solche transformationsmatrix angegeben werden können sollte.
Oder sehe ich da etwas ganz falsch?
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Korrekt ja, da habe ich ja wohl geschlafen. Oder ich bin einfach nur schlecht  ))
Die Eigenvektoren müssten stimmen, ja, jetzt schreibst du die Eigenvektoren in Matrizenform nebeneinander, bildest deren Inverse und wendest dann diese Formel an:
P^-1*A*P wobei A deine Matrize in der Angabe ist P die Matrize der Eigenvektoren und P^-1 eben die invertierte Matrize.... Als Ergebnis müßtest du dann eine Diagonalgestalt bekommen!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 30.01.2006 | | Autor: | stam |
Jo, super,
also wenn ich das richtig verstanden habe müsste die Transformationsmatrix nun die matrix p*p^-1 sein, oder?
danke schon mal!
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Nein FALSCH!!!
P^-1 (invertierte Matrix der Eigenvektoren) mal deiner Ausgangsmatriz (Angabe) und dann erst wieder mal P (Matrix aus Eigenvektoren)
Sonst geht das nid....
LG
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 30.01.2006 | | Autor: | stam |
ah, klar, mein Fehler...hatte vergessen, dass man Matrizen beim Multiplizieren in der Regel ja nicht vertauschen darf!
Also gibt es gar keine eizelne Matrix, die, wenn man sie mit der ausgangsmatrix multipliziert die diagonalform ergibt?
Muss man immer diese doppelte Multiplikation machen?
Liebe Grüße
Stam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo stam!
Die Frage ist nicht: Geht das auch nur mit einer Matrix, sondern ganz bewusst:
Gibt es eine Matrix $P$, so dass
[mm] $P^{-1}AP$
[/mm]
Diagonalgestalt hat?
Schließlich will ich eine Basis finden, bezüglich der $A$ Diagonalgestalt und dafür benötige ich nun mal zwei Basiswechselmatrizen (eine und die Inverse dazu). Das ist gerade die Definition der Diagonalisierbarkeit.
Das Ziel ist es nicht irgendwie Diagonalmatrizen zu erzeugen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mo 30.01.2006 | | Autor: | stam |
Oh, gut!,
Danke für die ausführlichen Antworten!
Ich habs nun Vertanden!
Liebe Grüße
Stam
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