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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mi 01.08.2007 | | Autor: | diecky |
Ich hätte ein paar Fragen bezüglich der Vorhergehensweise von der Bestimmung einer Transformationsmatrix von Jordanblöcken.
Und zwar habe ich hier 3 beispiele anhand derer ich mein Problem darstellen möchte:
Beispiel 1: [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Schritt 1 ist mir klar: charakteristisches Polynom und Minimalpolynom bestimmen...
[mm] pA(\lambda) [/mm] => [mm] \lambda1 [/mm] = 1 und [mm] \lambda2 [/mm] = -1
[mm] mA(\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda-1)² (\lambda+1)
[/mm]
Schritt 2 (die invarianten Unterräume bestimmen) kann ich auch noch halbwegs nachvollziehen...
1) Kern(A-Id) = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
2) Kern(A-Id)² = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 1}
[/mm]
ist ein 2-dimensionaler Eigenraum mit span = [mm] {\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 0} } [/mm] von Wa(1)
3) Wa(-1) = Kern(A+Id) = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Dann im 3ten Schritt:
Wir wählen x1 = x1(2) := [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}, [/mm] weil der Vektor in Wa(1) liegt, aber nicht im Kern(A-Id). ...und erzeugen dann eine maximale Kette.
4ter Schritt: versteh ich nicht...in der Lösung steht er entfällt, da die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 1 nur eins beträgt: aber wieso?
Wir haben doch in Schritt 2 einen 2 dimensionalen Raum errechnet, der durch die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] erzeugt wird?! Oder meint man damit etwa Kern(A-Id)?
Beispiel 2: [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 }
[/mm]
Hier dieselbe Frage....
in Schritt 2 steht:
Kern(A-Id) = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Kern(A-Id)² = span [mm] {\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 } }
[/mm]
[mm] Kern(A-Id)^{3} [/mm] = C3 = Wa(1)
dann in Schritt 3:
Nun wählen wir x1 = x1(3) :=e3, denn dieser Vektor liegt offenbar nicht in Kern (A-Id)² [hätte man auch e2 nehmen können??]...
und dann wird weiter gerechnet:
x1(2) := (A-Id)x1(3) = e2 + e3 und x1(1):=(A-Id)x1(2) = e1+e2+e3
und erst dann in Schritt 4:
gesagt,dass dieser Schritt entfällt, weil die geom.VF nur 1 beträgt...
auch hier wieder meine Frage: wieso 1?
Weil im nächsten Beispiel haben wir das irgendwie anders gemacht, sodass ich es auch verstehe:
Beispiel 3:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Schritt 2: Wa(2) = Kern (A-2Id)² = [mm] \IC [/mm] 4 oder [mm] \IR [/mm] 4, versteh ich ja auch.
Schritt 3: {e1,e2,e3,e4} [mm] \subset \IR [/mm] 4
und dann rechnen wir eine maximale Kette mit e1 aus... und gehen dann SOFORT in Schritt 4 über, was wir bei den vorherigen Beispielen aber nicht gemacht hat.
Hier wird also dann behauptet, dass die geometrische VF > 1 ist, ist ja auch logisch, der Eigenraum ist ja auch 4-dimensional...
aber wieso sind wir in den obigen Beispielen dann nicht auch zB in Bsp 2 nachdem wir die erste Kette berechnet haben zu Schritt 4 übergegangen?
Ich hab scheinbar ein Verständnisproblem was die Schritte 3-4 angeht.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
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> Ich hätte ein paar Fragen bezüglich der Vorhergehensweise
> von der Bestimmung einer Transformationsmatrix von
> Jordanblöcken.
> Und zwar habe ich hier 3 beispiele anhand derer ich mein
> Problem darstellen möchte:
>
> Beispiel 1: [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Schritt 1 ist mir klar: charakteristisches Polynom und
> Minimalpolynom bestimmen...
> [mm]pA(\lambda)[/mm] => [mm]\lambda1[/mm] = 1 und [mm]\lambda2[/mm] = -1
> [mm]mA(\lambda)[/mm] = [mm](\lambda-1)² (\lambda+1)[/mm]
>
> Schritt 2 (die invarianten Unterräume bestimmen) kann ich
> auch noch halbwegs nachvollziehen...
> 1) Kern(A-Id) = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Hallo,
Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 1 ist 2.
Daher ist der Jordanblock zu diesem Eigenwert ein 2x2-Block.
[mm] JNF=\pmat{ 1 & * &0\\0 & 1 &* \\ 0 & 0 &*}
[/mm]
Die Dimension des Eigenraumes zu 1 ist 1.
Daher besteht der Jordanblock lediglich aus einem Kästchen.
[mm] JNF=\pmat{ 1 & 1 &0\\0 & 1 &* \\ 0 & 0 &*}
[/mm]
> 2) Kern(A-Id)² =
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 1}[/mm]
> ist ein
> 2-dimensionaler Eigenraum mit span = [mm]{\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 0} }[/mm]
> von Wa(1)
Ab (A-Id)² verändert sich der Kern nicht mehr. Also beträgt die Länge des längsten Kästchens 2 - das ist keine Überraschung: es gibt ja nur eins.
Nun erzeugst Du wie weiter unten beschrieben Deine maximale Kette.
Nun ist man fertig, denn ein weiteres Kästchen zum EW 1 gibt es ja nicht.
> 3) Wa(-1) = Kern(A+Id) = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
Die alg. Vielfachheit des EW -1 ist 1.
Also hat der Jordanblocjk zu -1 die Länge 1 - was anderes würde auch nicht in die Matrix passen.
[mm] JNF=\pmat{ 1 & 1 &0\\0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-1}
[/mm]
Die Dimension des Eigenraumes zu -1 ist 1.
Also ist das längste Kästchen in diesem Block von der Länge 1. Wiederum nicht erstaunlich.
Also brauchen wir hier nur einen einzigen Vektor, den Eigenvektor. (Die ersten beiden Spalten der Matrix sind ja bereits "versorgt".
>
> Dann im 3ten Schritt:
> Wir wählen x1 = x1(2) := [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1},[/mm] weil der
> Vektor in Wa(1) liegt, aber nicht im Kern(A-Id). ...und
> erzeugen dann eine maximale Kette.
>
> 4ter Schritt: versteh ich nicht...in der Lösung steht er
> entfällt, da die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 1
> nur eins beträgt: aber wieso?
> Wir haben doch in Schritt 2 einen 2 dimensionalen Raum
> errechnet, der durch die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> erzeugt wird?! Oder meint man damit etwa Kern(A-Id)?
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des entsprechenden Eigenraumes.
Möglicherweise haben sich hiermit Deine anderen Fragen auch geklärt, ansonsten frag nach.
In Kürze nochmal der JNF-Fahrplan:
alg. Vielfachheit --> Länge des Jordanblockes
geom. Vielfachheit --> Anzahl der Kästchen im Block
Potenzen d. Kerns --> Länge des längsten Kästchens
Für das Kästchen der Länge k baut man eine Kette aus Basisvektoren v. [mm] Kern(A-\lambda)^k
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Beispiel 2: [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Hier dieselbe Frage....
> in Schritt 2 steht:
> Kern(A-Id) = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Kern(A-Id)² = span
> [mm]{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 } }[/mm]
>
> [mm]Kern(A-Id)^{3}[/mm] = C3 = Wa(1)
>
> dann in Schritt 3:
> Nun wählen wir x1 = x1(3) :=e3, denn dieser Vektor liegt
> offenbar nicht in Kern (A-Id)² [hätte man auch e2 nehmen
> können??]...
> und dann wird weiter gerechnet:
> x1(2) := (A-Id)x1(3) = e2 + e3 und x1(1):=(A-Id)x1(2) =
> e1+e2+e3
>
> und erst dann in Schritt 4:
> gesagt,dass dieser Schritt entfällt, weil die geom.VF nur
> 1 beträgt...
> auch hier wieder meine Frage: wieso 1?
>
> Weil im nächsten Beispiel haben wir das irgendwie anders
> gemacht, sodass ich es auch verstehe:
>
> Beispiel 3:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Schritt 2: Wa(2) = Kern (A-2Id)² = [mm]\IC[/mm] 4 oder [mm]\IR[/mm] 4,
> versteh ich ja auch.
> Schritt 3: {e1,e2,e3,e4} [mm]\subset \IR[/mm] 4
> und dann rechnen wir eine maximale Kette mit e1 aus... und
> gehen dann SOFORT in Schritt 4 über, was wir bei den
> vorherigen Beispielen aber nicht gemacht hat.
> Hier wird also dann behauptet, dass die geometrische VF >
> 1 ist, ist ja auch logisch, der Eigenraum ist ja auch
> 4-dimensional...
> aber wieso sind wir in den obigen Beispielen dann nicht
> auch zB in Bsp 2 nachdem wir die erste Kette berechnet
> haben zu Schritt 4 übergegangen?
>
> Ich hab scheinbar ein Verständnisproblem was die Schritte
> 3-4 angeht.
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
>
>
>
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