Translation lineare Abbildung? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. P_n [/mm] = [mm] \{p : \IR \to \IR | p(x) = \summe_{k=0}^{n} a_x x^k, a_k \in \IR, k = 0, \ldots , n \} [/mm] bezeichne den Vektorraum aller reellen Polynome, dessen Grad n nicht übersteigt. Desweiteren seien folgende Abbildungen gegeben:
[...]
3) [mm] T_x_0 [/mm] : [mm] P_n \to P_n, [/mm] p [mm] \mapsto p(\cdot [/mm] - [mm] x_0) [/mm] für ein beliebiges [mm] x_o \in \IR [/mm] (Translation).
a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen [...] und [mm] T_x_0 [/mm] linear sind.
b) Geben Sie jeweils durch geschickte Basiswahl eine möglichst einfache Matrixdarstellung der linearen Abbildungen [...] und [mm] T_x_0 [/mm] an. |
Hallo Forum!
Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich meine, dass die Translation keine lineare Abbildung ist:
Ich nehme als Beispiel: [mm] T_x_0(a) [/mm] = a - [mm] x_0 [/mm] bzw. [mm] T_x_0(b) [/mm] = b - [mm] x_0
[/mm]
Dann ist [mm] T_x_0(a) [/mm] + [mm] T_x_0(b) [/mm] = a - [mm] x_0 [/mm] + b - [mm] x_0 [/mm] = a+b - 2 [mm] \cdot x_0 \not= [/mm] T(a+b) = (a+b) - [mm] x_0.
[/mm]
Stimmt das so? Dann wäre ja ein Fehler in der Aufgabe...
Danke schon mal im Voraus und Grü0e
Pokojovix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich dachte die Abbildung bildet [mm] p(x)=a_0+a_1x*...
[/mm]
auf [mm] p(x)=a_0+a:1(x-x_0)+a_2*(x-x_0)^2.... [/mm] ab. das ist eine Translation inx-Richtung.
du machst aber ne Abbildung [mm] p(x)+x_0 [/mm] daraus. ist das so gemeint?
ich versteh das $ [mm] p\mapsto p(\cdot [/mm] $ - $ [mm] x_0) [/mm] $ nicht wirklich. wird das irgendwo erklärt?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 Mi 08.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin leduart,
> ich dachte die Abbildung bildet [mm]p(x)=a_0+a_1x*...[/mm]
> auf [mm]p(x)=a_0+a:1(x-x_0)+a_2*(x-x_0)^2....[/mm] ab. das ist eine
> Translation inx-Richtung.
da denkst du richtig! Genau das ist gemeint.
> du machst aber ne Abbildung [mm]p(x)+x_0[/mm] daraus. ist das so
> gemeint?
Nein, das ist falsch.
> ich versteh das [mm]p\mapsto p(\cdot[/mm] - [mm]x_0)[/mm] nicht wirklich.
Das [mm] "$\cdot$" [/mm] ist hier ein Platzhalter. Ein Ausdruck wie [mm] $f(\cdot)$ [/mm] bezeichnet die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$.
Also man kann auch schreiben, $p [mm] \mapsto [/mm] (x [mm] \mapsto [/mm] p(x - [mm] x_0))$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Pokojovix |
Hallo!
Danke an euch beide! Mit der Verschiebung in x-Richtung ist es natürlich eine lineare Abbildung.
Viele Grüße
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