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| Aufgabe | Es seien N, P,Q nicht kollineare Punkte. Zeigen Sie:
1. Jede Translation bildet eine Ebene auf eine dazu parallele Ebene ab.
2. Die Translation [mm] t_{NP} [/mm] läßt die Gerade NP und die Transaltion [mm] t_{NP}\circ t_{NQ} [/mm] läßt die Ebene NPQ fest. |
Hallo,
es geht um obige Aufgabe und eure Ideen dazu. Vielleicht hier noch mal die Definition von Translation:
Eine Bijektion [mm] t:P\toP [/mm] heißt Dehnung, wenn für bel. [mm]A,B\in P[/mm] gilt AB||t(A)t(B). Eine Dehung heißt Translation, falls sie fixpunktfrei oder die Identität ist.
Bei 1. kann man glaube ich ganz gut verwenden, dass ich weiß, dass Geraden auf parallele Geraden abgebildet werden. Damit weiß ich ja, dass die Geraden NP, PQ und NQ auf parallele Geraden abgebildet werden. Aber weiß man damit, dass die Bilder in einer Ebene liegen?
Zu 2. hoffe ich auf eure Ideen.
Vielen Dank und Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Do 18.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Es seien N, P,Q nicht kollineare Punkte. Zeigen Sie:
> 1. Jede Translation bildet eine Ebene auf eine dazu
> parallele Ebene ab.
> 2. Die Translation [mm] t_{NP}[/mm] läßt die Gerade NP und die
> Transaltion [mm] t_{NP}\circ t_{NQ}[/mm] läßt die Ebene NPQ fest.
> Hallo,
>
> es geht um obige Aufgabe und eure Ideen dazu. Vielleicht
> hier noch mal die Definition von Translation:
>
> Eine Bijektion [mm]t:P\to P[/mm] heißt Dehnung, wenn für bel. [mm]A,B\in P[/mm]
> gilt AB||t(A)t(B). Eine Dehung heißt Translation, falls sie
> fixpunktfrei oder die Identität ist.
>
> Bei 1. kann man glaube ich ganz gut verwenden, dass ich
> weiß, dass Geraden auf parallele Geraden abgebildet werden.
> Damit weiß ich ja, dass die Geraden NP, PQ und NQ auf
> parallele Geraden abgebildet werden. Aber weiß man damit,
> dass die Bilder in einer Ebene liegen?
Da drei Punkte immer auf einer Ebene liegen, welche auch die Geraden durch die Punktpaare enthaelt, bringt dir das gar nichts...
Wie ist denn Ebene bei euch ueberhaupt definiert?
> Zu 2. hoffe ich auf eure Ideen.
Wie ist die Translation [mm] $t_{NP}$ [/mm] denn ueberhaupt definiert? Ist das die (eindeutig bestimmte) Translation, die $N$ auf $P$ abbildet?
Und festhalten heisst, das die jeweiligen Objekte bijektiv auf sich selber abgebildet werden? (Also nicht punktweise festgehalten werden?)
Wenn das ganze so ist: Also $NP [mm] \norm t_{NP}(N) t_{NP}(P) [/mm] = P [mm] t_{NP}(P)$, [/mm] womit das Bild der Geraden $NP$ eine zu $NP$ parallele Gerade ist, die mit $NP$ den Punkt $P$ gemeinsam hat. Also...? 
Fuer den Ebenenbeweis waer die Definition von Ebene nicht schlecht 
LG Felix
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Hallo Felix,
ich danke dir wieder mal für deine Ausführungen.
Tja, Ebene. Also wir haben das Ganze inzidenzgeometrisch aufgebaut. Das Skript fängt so an:
Gegeben seien drei Paarweise disjunkte Mengen, deren P,G,E, deren Elemente wir Punkte, geraden und Ebenen nennen, sowie eine Inzidenzrelation. Dann werden die Inzidenzaxiome definiert, dann die Parallelität, Desargues, der projektive Abschluss und dann kommen die Dehnungen und Translationen. Ich habe mir überlegt, dass man vielleicht das hier verwenden kann:
Zu je drei Punkte nicht kollinearen Punkte gibt es genau eine Ebene, die mit den Punkten inzidiert. Was hälst du davon bzw. genügt das als Definition, denn was Andres hatten wir echt nicht.
Auf deine weiteren Fragen weiter unten kann ich nichts antworten. Das war wortwörtlich der Aufgabentext. Hoffentlich, ist es also so, wie du denkst, aber das scheint ja Sinn zu machen!
Viele Grüße und vielen Dank
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> ich danke dir wieder mal für deine Ausführungen.
>
> Tja, Ebene. Also wir haben das Ganze inzidenzgeometrisch
> aufgebaut. Das Skript fängt so an:
>
> Gegeben seien drei Paarweise disjunkte Mengen, deren P,G,E,
> deren Elemente wir Punkte, geraden und Ebenen nennen, sowie
> eine Inzidenzrelation. Dann werden die Inzidenzaxiome
Ah, dass die Ebenen mit zur Inzidenzstruktur gehoeren, das kannte ich noch nicht...
> definiert, dann die Parallelität, Desargues, der projektive
> Abschluss und dann kommen die Dehnungen und Translationen.
> Ich habe mir überlegt, dass man vielleicht das hier
> verwenden kann:
>
> Zu je drei Punkte nicht kollinearen Punkte gibt es genau
> eine Ebene, die mit den Punkten inzidiert. Was hälst du
Ich denke mal damit kann man was machen :)
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Es seien N, P,Q nicht kollineare Punkte. Zeigen Sie:
> 1. Jede Translation bildet eine Ebene auf eine dazu
> parallele Ebene ab.
Ihr werdet sicher ihrgendwelche Axiome/Resultate zum Thema Parallelitaet von Ebenen haben. Davon waeren jetzt ein paar nicht schlecht
> 2. Die Translation [mm] t_{NP}[/mm] läßt die Gerade NP und die
> Transaltion [mm] t_{NP}\circ t_{NQ}[/mm] läßt die Ebene NPQ fest.
Also [mm] $t_{NQ}$ [/mm] bildet nach 1. die Ebene $NPQ$ auf eine zu $NPQ$ parallele Ebene ab. Nun ist jedoch $Q = [mm] t_{NQ}(N) \in [/mm] NPQ$, womit das Bild der Ebene $NPQ$ unter [mm] $t_{NQ}$ [/mm] wieder die Ebene selber ist.
Mit dem gleichen Argument wird $NPQ$ dann durch [mm] $t_{NP}$ [/mm] ebenfalls auf sich selber abgebildet.
LG Felix
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Hallo Felix,
hier also alles, was ich so finden konnte:
- Zwei Ebenen heißen parallel, wenn sie entweder gelich oder disjunkt sind.
- das Euklidische Parallelenaxiom (EP): Sei E eine Ebene und C ein Punkt mit [mm]C\not\in E[/mm]. Dann geht durch C genau eine Ebene E' mit E||E'.
- Die Parallelität von Ebenen ist Äquivalenzrelation.
- Seien C,D zwei Punkte und a,b sowie c,d je zwei verschiedene Geraden mit [mm]C=a\cap b[/mm] und [mm]D=c\cap d[/mm], a||c, b||d. Dann sind die Ebenen E,E' mit [mm]E\supseteq a\cap b[/mm] und [mm]E'\supseteq c\cap d[/mm] parallel.
Mehr hatten wir nicht. Hoffentlich reicht's. Vielen, vielen,... Dank für deine große Hilfe.
Viele Grüße
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> hier also alles, was ich so finden konnte:
>
> - Zwei Ebenen heißen parallel, wenn sie entweder gelich
> oder disjunkt sind.
Du bist also in einem dreidimensionalen Raum?
> - das Euklidische Parallelenaxiom (EP): Sei E eine Ebene
> und C ein Punkt mit [mm]C\not\in E[/mm]. Dann geht durch C genau
> eine Ebene E' mit E||E'.
> - Die Parallelität von Ebenen ist Äquivalenzrelation.
> - Seien C,D zwei Punkte und a,b sowie c,d je zwei
> verschiedene Geraden mit [mm]C=a\cap b[/mm] und [mm]D=c\cap d[/mm], a||c,
> b||d. Dann sind die Ebenen E,E' mit [mm]E\supseteq a\cap b[/mm] und
> [mm]E'\supseteq c\cap d[/mm] parallel.
Du meinst in den letzten beiden Zeilen sicher $a [mm] \cup [/mm] b [mm] \subseteq [/mm] E$ und $c [mm] \cup [/mm] d [mm] \subseteq [/mm] E'$, oder?
LG Felix
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Hallo Felix,
> Hallo Daniel!
>
> > hier also alles, was ich so finden konnte:
> >
> > - Zwei Ebenen heißen parallel, wenn sie entweder gelich
> > oder disjunkt sind.
>
> Du bist also in einem dreidimensionalen Raum?
Das steht auch nicht in der Aufgabe, aber sicher ist das so. Ich werde am Montag mal entsprechende Kritik für mathematisch schlecht formulieren anbringen.
>
> > - das Euklidische Parallelenaxiom (EP): Sei E eine Ebene
> > und C ein Punkt mit [mm]C\not\in E[/mm]. Dann geht durch C genau
> > eine Ebene E' mit E||E'.
> > - Die Parallelität von Ebenen ist Äquivalenzrelation.
> > - Seien C,D zwei Punkte und a,b sowie c,d je zwei
> > verschiedene Geraden mit [mm]C=a\cap b[/mm] und [mm]D=c\cap d[/mm], a||c,
> > b||d. Dann sind die Ebenen E,E' mit [mm]E\supseteq a\cap b[/mm] und
> > [mm]E'\supseteq c\cap d[/mm] parallel.
>
> Du meinst in den letzten beiden Zeilen sicher [mm]a \cup b \subseteq E[/mm]
> und [mm]c \cup d \subseteq E'[/mm], oder?
Ja, genau!
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Es seien N, P,Q nicht kollineare Punkte. Zeigen Sie:
> 1. Jede Translation bildet eine Ebene auf eine dazu
> parallele Ebene ab.
Sei $t$ eine Translation, $t [mm] \neq [/mm] id$ (sonst ists langweililg ). Sei $NPQ$ eine beliebige Ebene.
Dann ist $N'P'Q'$ ebenfalls eine Ebene, wobei $N', P', Q'$ die Bilder von $N, P, Q$ unter $t$ seien. Wir muessen also zeigen, dass die Ebene $N' P' Q'$ parallel zur Ebene $N P Q$ ist.
Nun sind $NP$, $NQ$ parallel zu $N'P'$, $N'Q'$, und die Geraden $NP$ und $NQ$ bzw. $N'P'$ und $N'Q'$ schneiden sich in je genau einem Punkt. Also sind die Ebenen $E$ und $E'$ mit $NP [mm] \cup [/mm] NQ [mm] \subseteq [/mm] E$ und $N'P' [mm] \cup [/mm] N'Q' [mm] \subseteq [/mm] E'$ parallel. Nun ist jedoch $E = NPQ$ und $E' = N'P'Q'$, womit wir fertig sind
LG Felix
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N'abend Felix,
1000 Mal vielen Dank. Ich glaube am Ende des Semesters bekommst du nen Präsentkorb zugeschickt!
Viele Grüße
Daniel
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