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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Do 14.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Streuung an einer Potentialstufe. Es sollen die Refexions- ($R$) und Transmissionskoezienten ($T$) einer Teilchenwelle mit der de finierten Energie $E$ an einer Potentialstufe der Höhe $V$ betrachtet werden. Die Wellenfunktion links vor der Potentialstufe (einlaufend und reflektiert) sei [mm] $\Psi_l [/mm] = [mm] Ae^{ik_lx}+Be^{-ik_lx}$ [/mm] und die nach rechts hinter der Potentialstufe auslaufende Welle (transmittiert) [mm] $\Psi_r [/mm] = [mm] Ce^{ik_rx}$. [/mm] Die Reflektionswahrscheinlichkeit ergibt sich aus [mm] $R=|B|^2/|A|^2$, [/mm] die Transmissionswahrscheinlichkeit ist dann $T = 1 - R$.
a) Warum ist die Transmissionwahrscheinlichkeit nicht $T = [mm] |C|^2/|A|^2$?
[/mm]
b) Berechnen Sie $R$ und $T$, es soll dabei $E > V$ sein. |
Hallo!
Zu a) Ich habe mir folgendes gedacht. Da nichts absorbiert wird, gibt es nur Reflexion und Transmission. Die Wahrscheinlichkeit für Transmision ist deswegen die Gegenwahrscheinlichkeit der Reflexion.
Da bei unterschiedlichen Potentialstufen unterschiedliche Wellenvektoren [mm] $k_l, k_r$ [/mm] vorhanden sind, gilt:
$T = [mm] k_r|C|^2/k_l|A|^2$ [/mm]
Gilt das so? Wie komme ich rechnerisch darauf? Was mache ich bei b)?
Vielen Dank und liebe Grüße
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Do 14.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Streuung an einer Potentialstufe. Es sollen die Refexions-
> ([mm]R[/mm]) und Transmissionskoezienten ([mm]T[/mm]) einer Teilchenwelle
> mit der de finierten Energie [mm]E[/mm] an einer Potentialstufe der
> Höhe [mm]V[/mm] betrachtet werden. Die Wellenfunktion links vor
> der Potentialstufe (einlaufend und reflektiert) sei [mm]\Psi_l = Ae^{ik_lx}+Be^{-ik_lx}[/mm]
> und die nach rechts hinter der Potentialstufe auslaufende
> Welle (transmittiert) [mm]\Psi_r = Ce^{ik_rx}[/mm]. Die
> Reflektionswahrscheinlichkeit ergibt sich aus
> [mm]R=|B|^2/|A|^2[/mm], die Transmissionswahrscheinlichkeit ist dann
> [mm]T = 1 - R[/mm].
>
> a) Warum ist die Transmissionwahrscheinlichkeit nicht [mm]T = |C|^2/|A|^2[/mm]?
>
> b) Berechnen Sie [mm]R[/mm] und [mm]T[/mm], es soll dabei [mm]E > V[/mm] sein.
> Hallo!
>
> Zu a) Ich habe mir folgendes gedacht. Da nichts absorbiert
> wird, gibt es nur Reflexion und Transmission. Die
> Wahrscheinlichkeit für Transmision ist deswegen die
> Gegenwahrscheinlichkeit der Reflexion.
>
> Da bei unterschiedlichen Potentialstufen unterschiedliche
> Wellenvektoren [mm]k_l, k_r[/mm] vorhanden sind, gilt:
>
> [mm]T = k_r|C|^2/k_l|A|^2[/mm]
>
> Gilt das so? Wie komme ich rechnerisch darauf?
Das ist richtig; du kommst drauf, wenn du T als Quotient der Stromdichten schreibst, denn T ist ja das Verhältnis des durchgehenden Teilchenstroms zum einfallenden Teilchenstrom.
> Was mache ich bei b)?
Du löst die Schrödingergleichung. 
Du hast ja sowohl links als auch rechts ein Teilchen im konstanten Potential, daher ist links
[mm] k_l = \bruch{\sqrt{2mE}}{\hbar} [/mm]
und rechts
[mm] k_r = \bruch{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar} [/mm] .
Jetzt setzt du nur noch die stetige Diff'barkeit der Wellenfunktion an der Potentialstufe ein, und schon hast du Beziehungen zwischen A, B und C.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Do 14.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Rainer,
dank dir! :)
> Das ist richtig; du kommst drauf, wenn du T als Quotient
> der Stromdichten schreibst, denn T ist ja das Verhältnis
> des durchgehenden Teilchenstroms zum einfallenden
> Teilchenstrom.
>
Wie sehen die Stromdichten für Wellen aus?
> > Was mache ich bei b)?
>
> Du löst die Schrödingergleichung.
>
> Du hast ja sowohl links als auch rechts ein Teilchen im
> konstanten Potential, daher ist links
>
> [mm]k_l = \bruch{\sqrt{2mE}}{\hbar}[/mm]
>
> und rechts
>
> [mm]k_r = \bruch{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar}[/mm] .
>
So weit war ich dann auch und hab das dann in:
[mm] \bruch{|A|^2}{|B|^2} = |\bruch{k_l - k_r}{k_l + k_r}|^2 [/mm]
eingesetzt.
> Jetzt setzt du nur noch die stetige Diff'barkeit der
> Wellenfunktion an der Potentialstufe ein, und schon hast du
> Beziehungen zwischen A, B und C.
Ich hab die Aufgabe schon abgegeben. Wie mache ich das denn mit der Diffbarkeit? Differenziere ich [mm] $\Psi_l(0)$ [/mm] und [mm] $\Psi_r(0)$ [/mm] einfach und setze sie gleich? Wie mache ich dann weiter?
Liebe Grüße
Ana-Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Fr 15.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> dank dir! :)
>
> > Das ist richtig; du kommst drauf, wenn du T als Quotient
> > der Stromdichten schreibst, denn T ist ja das Verhältnis
> > des durchgehenden Teilchenstroms zum einfallenden
> > Teilchenstrom.
> >
> Wie sehen die Stromdichten für Wellen aus?
Für ebene Wellen [mm] $Ae^{ikx}$ [/mm] ist die Teilchenstromdichte [mm] $\bruch{\hbar k}{m}|A^2|$ [/mm] (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier).
>
> > > Was mache ich bei b)?
> >
> > Du löst die Schrödingergleichung.
> >
> > Du hast ja sowohl links als auch rechts ein Teilchen im
> > konstanten Potential, daher ist links
> >
> > [mm]k_l = \bruch{\sqrt{2mE}}{\hbar}[/mm]
> >
> > und rechts
> >
> > [mm]k_r = \bruch{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar}[/mm] .
> >
>
> So weit war ich dann auch und hab das dann in:
> [mm]\bruch{|A|^2}{|B|^2} = |\bruch{k_l - k_r}{k_l + k_r}|^2[/mm]
>
> eingesetzt.
Da sehe ich noch nicht, wie du daruaf kommst - aber ich habe es auch nicht durchgerechnet.
>
> > Jetzt setzt du nur noch die stetige Diff'barkeit der
> > Wellenfunktion an der Potentialstufe ein, und schon hast du
> > Beziehungen zwischen A, B und C.
>
> Ich hab die Aufgabe schon abgegeben. Wie mache ich das denn
> mit der Diffbarkeit? Differenziere ich [mm]\Psi_l(0)[/mm] und
> [mm]\Psi_r(0)[/mm] einfach und setze sie gleich? Wie mache ich dann
> weiter?
Für die Stetigkeit setzt du tatsächlich einfach [mm] $\Psi_l(0) [/mm] = [mm] \Psi_r(0)$, [/mm] und für die stetige Diff'barkeit leitest du beide ab und setzt [mm] $\Psi'_l(0) [/mm] = [mm] \Psi'_r(0)$. [/mm] Das gibt dir zwei Gleichungen für die drei Größen A, B und C. Die fehlende dritte Gleichung bekommst du aus der Normierung
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x)|^2 \, dx = 1 [/mm] .
Das auszurechnen ist aber für die Berechnung von R und T nicht nötig, da die nur von den Verhältnissen der Konstanten abhängen, und sich dabei die Normierungskonstante wegkürzt.
Viele Grüße
Rainer
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