Transponierte M/char. Polyno < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Do 16.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Hab ne kurze Frage.
Ich muss zeigen, dass [mm] A^{t} [/mm] dieselben Eigenwerte wie A [mm] \in Mat_{n}(K) [/mm] hat.
Ich weiß ja, dass det(A)=det( [mm] A^{t}) [/mm]
und außerdem, dass die Eigenwerte einer Matrix die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind.
Charakt. Polynom von A = det(xI-A)
Kann ich jetzt aus oberem folgern, dass
Char. Polynom von A = det(xI-A) = det(xI- [mm] A^{t}) [/mm] (da ja die Transposition die Determinante nicht ändert) = Char. Polynom von [mm] A^{t} [/mm] ?
Daraus kann ich ja dann folgern, da gleiches char. Polynom, gleiche Nullstellen und damit haben A und [mm] A^{t} [/mm] die selben Eigenwerte, oder?
Danke schon mal!
Gruß
Annette
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Do 16.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo (An)Nette,
> Hallo!
>
> Hab ne kurze Frage.
> Ich muss zeigen, dass [mm]A^{t}[/mm] dieselben Eigenwerte wie A [mm]\in Mat_{n}(K)[/mm]
> hat.
>
> Ich weiß ja, dass det(A)=det( [mm]A^{t})[/mm]
> und außerdem, dass die Eigenwerte einer Matrix die
> Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind.
>
> Charakt. Polynom von A = det(xI-A)
> Kann ich jetzt aus oberem folgern, dass
> Char. Polynom von A = det(xI-A) = det(xI- [mm]A^{t})[/mm] (da ja die
> Transposition die Determinante nicht ändert) = Char.
> Polynom von [mm]A^{t}[/mm] ?
Ja, eigentlich schon, nur fehlen (mir) da einige Kleinigkeiten, damit man auch alle Gedanken sieht (übrigens kenne ich das charakteristische Polynom als [m]det(A-xI)[/m], aber das ist ja nichts Wesentliches. Und bei Wikipedia steht, dass beide Definitionen benutzt werden, also halte ich mich mal an deine/eure.)
Char. Polynom von A =[m]det(xI-A) = det([xI-A]^t)=det([xI]^t-A^t)=det(x\underbrace{I^t}_{=I}-A^t)=det(xI- A^{t})[/m]=Char. Polynom von [mm] $A^t$
[/mm]
(Wobei diese Gleichheit [m]det(xI-A) = det([xI-A]^t)[/m] gilt, da die Transposition die Determinante nicht ändert, wie du oben geschrieben hast. Der Rest sind alles aus der linearen Algebra bekannte Rechenregeln für die Transponierte, z.B. [mm] $(A+B)^t=A^t+B^t$, $I^t=I$ [/mm] für Matrizen [m]A,B[/m] und die entsprechende Einheitsmatrix $I$.)
> Daraus kann ich ja dann folgern, da gleiches char. Polynom,
> gleiche Nullstellen und damit haben A und [mm]A^{t}[/mm] die selben
> Eigenwerte, oder?
So ist's! 
Liebe Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Daaankeee!
Das mit den Zwischenschritten war genau das, was ich nicht richtig wusste, aber ist ja eigentlich voll logisch.
Gruß
Annette
|
|
|
|
