Transponierte Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 25.05.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Seien A,B quadratische Matrizen. Weiterhin ist die Spurabbildung gegeben.
Zeigen sie, dass gilt:
a, [mm] Spur(B^{tr} [/mm] * A) = Spur [mm] (A^{tr} [/mm] * B)
b, Spur [mm] (A^{tr}*A) [/mm] > 0 |
zu a,
Die Spurabbildung summiert ja die Diagonalelemente einer Matrix auf.
Durch das Transponieren bleiben alle Diagonalelemente auf ihrem Platz.
Weiter weiß ich allerdings nicht mehr, da man multipliziert ja dann noch eine Matrix ran, also warum sind dann da die Diagonalelemente gleich??
zu b; Ich hab das schon mal an nem Beispiel ausprobiert und es ist tatsächlich immer > null. Aber wie kann ich das formal hinschreiben, sodass es für alle Matrizen gilt?
Die Diagonalelemente von A Transponiert und A sind ja gleich d.h hier gibts schon mal nur positive Elemente, aber es werden ja noch andere Zahlen dazugerechnet, bei der Multiplikation.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 25.05.2008 | | Autor: | Harris |
zu a)
Anschalich gesehen ist $ [mm] Spur(B^{T} [/mm] A) $ sämtliche Inhalte der Matrix [mm] B^{T}A [/mm] aufaddiert. Nur so nebenbei, hat nix mit dem Beweis zu tun 
klar ist, dass $ [mm] spur(C^{T}) [/mm] = spur(C) $
Dann ist aber [mm] spur(A^{T}B)=spur((A^{T}B)^{T})=spur(B^{T}(A^{T})^{T})=spur(B^{T}A) [/mm]
Zur b: Das Zeichen muss wohl [mm] \le [/mm] heißen.
Sei A [mm] \not= [/mm] 0 dann ist [mm] (a_{bc}) \not= [/mm] 0. (also mindestens der bc. Eintrag ist ungleich 0)
[mm] $spur(A^{T}A) [/mm] = [mm] spur((\summe_{l=1}^{n}a_{il}a{jl}) [/mm] =$
Da bei der Spur nur die Felder der Indizes i = j zusammengezählt werden, ist im weiteren i = j zu setzen
= [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{l=1}^{n}a_{il}^2 [/mm] = [mm] a_{bc}^2+\summe_{\vektor{i=1 \\ i\not= b}}^{n}\summe_{\vektor{l=1 \\ l\not= c}}^{n}a_{il}^2\ge a_{bc}^2>0 [/mm]
Ich hoffe, ich konnte helfen
Gruß, Harris
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