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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:01 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Mousegg |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum aller reellen polynomialen Funktionen vom Grad <= 2 mit 0 als
Nullstelle, d.h die Menge aller f(x)= [mm] ax^2 [/mm] +b*x
Für alle r aus den reelen Zahlen gilt [mm] z_{r}: [/mm] V [mm] \to [/mm] R , [mm] z_{r}= [/mm] p(r)
Offenbar gilt [mm] z_{r} [/mm] aus V* für alle r.
Somit ist (z1, z2) ist eine Basis von V*
f: V [mm] \to [/mm] V
die lineare Abbildung, die jedem
p aus V das Polynom x · [mm] p_{0} [/mm] zuordnet, d.h. f(ax2 + bx) = 2ax2 + bx für alle a,b aus R.
Man bestimme die darstellende Matrix bezüglich der transponierten Abbildiung f* zur Basis (z1,z2) von V* |
Hab diese Aufgabe eigentlich schon gelöst und zwar so
z1(p)= a+b
z2(p)=4a+2b
f(z1(p))= 2a+b
f(z2(p))= 4a+2b
2a+b = [mm] \lambda_{1}*(a+b)+ \lambda_{2}*(4a+2b)
[/mm]
8a+2b = [mm] \lambda_{3}*(a+b)+ \lambda_{4}*(4a+2b)
[/mm]
darus bekommt man je ein gleichungssystem und Lösungen für die Lambdas
die dasrstellende Matrix ist dann
M= [mm] \pmat{ 0 & -4 \\ \bruch{1}{2}& 3}
[/mm]
Soweit so gut ich bin ja jetzt so vorgegangen dass ich von meiner transponierten Abbildung ausgehe und dann dazu die darstellende Matrix berechne.
Theoretisch müsste es doch auch möglich sein das die selbe Matrix zu erhalten indem ich von f statt von f* ausgehe die darstellende Matrix die ich da erhalte müsste ich doch nur transponieren und schon hätte ich die gesuchte Matrix.
Also brauche ich doch die Basis zu der (z1,z2) die duale Basis ist und das wäre doch [mm] \vektor{a*x^2 \\ b*x} \vektor{4a*x^2 \\ 2b*x}
[/mm]
wenn ich aber hierzu die darstellende Matrix unter f ausrechne kommt ja genau das selbe raus wie zuvor und eigentlich hätte ich erwartet das die darstellende Matrix hier die Transponierte der vorherigen ist.
Ich schätz ich hab da ein paar schlimme denkfehler kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 07.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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