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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 So 15.01.2006 | | Autor: | Obilix84 |
| Aufgabe | | [mm] T_{i}= \bruch{h}{2}(f(x_{1})+f(x_{i}+1)) [/mm] i=(0,...n-1) |
Hallo!
Hoffe ihr könnt mir helfen. Ich muss morgen ein Refarat u.a. über die Trapezmethode halten. Und dies ist davon wohl die allgemeine Form. Um es mir veranschaulicht darzustellen, hab ich mir mal den Graphen x im Intervall [1;5] gezeichnet und eben mit 4 Trapezen ausgefüllt. Als Ergebnis kam ich auf 12 Flächeneinheiten. Als Berechnungsgrundlage hab ich
[mm] \bruch{f(x)*(h)}{2} [/mm] und somit für den ersten Flächeninhalt
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bruch{(2-1)*(1+2)}{2}=1,5 [/mm] und am Ende eben [mm] A_{1}+A_{2}+ A_{3} +A_{4}=12 [/mm] herausbekommen. Allerdings will es mir nicht gelingen, dieses Ergebnis auh mit der allgemeinen Methode herauszubekommen. Wie mach ich das jetzt am Besten? Ich komm an dieser Stelle einfach nicht weiter.
Gruß
Kathrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 15.01.2006 | | Autor: | xquadrat |
[mm]T_i =\bruch{h}{2}(f(x_i)+f(x_(_i_+_1)) [/mm] ist die richtige Formel für die Trapeze!!!
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Hallo Kathrin,
Irgendwie erwähnst Du bei deiner Frage nicht, welche Funktion du überhaupt integrieren wolltest. Ich versuch' mich jetzt deswegen mal an einer Herleitung der Trapezregel und überlege mir dann ein Beispiel.
Gegeben ist also eine integrierbare Funktion [mm]f:[a,b] \to \mathbb{R}[/mm]. Die Fläche unter dieser Funktion unterteilen wir in [mm]n - 1[/mm] Trapeze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Warum sind es gerade [mm]n - 1[/mm] Trapeze? Stell' dir vor, Du benutzt 2 Trapeze um eine Funktion numerisch zu integrieren. Dann hast Du genau 3 Stützstellen, die diese Trapeze "eingrenzen". In der obigen Skizze benutze ich beispielsweise 13 Trapeze (gleicher Breite). Diese werden durch 14 äquidistante (gleich voneinander entfernte) Stützstellen eingegrenzt, wobei [mm]a = x_1[/mm] und [mm]b = x_{14}[/mm] ist.)
Wenn wir die Trapeze aufsummieren, erhalten wir eine Näherung für das Integral von [mm]f[/mm] über [mm][a,b][/mm], deren Güte nur von der Anzahl der Trapeze [mm]n-1[/mm] bzw. von der Anzahl der Stützstellen [mm]n[/mm] abhängt. Aber was ist der Inhalt eines solchen Trapezes? Ohne dies zu wissen, wäre eine Summation sinnlos. Also bestimmen wir jetzt den Flächeninhalt eines einzelnen [mm]i\texttt{--ten}[/mm] Trapezes (Das [mm]i[/mm] soll nur bedeuten, daß wir ein Trapez mit einer beliebigen Nummer betrachten (z.B. Trapez Nr. 9)). Greifen wir also ein solches Trapez mal raus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es gibt mindestens 3 Möglichkeiten, um seine Fläche zu bestimmen:
Möglichkeit 1: Man integriert die Gerade, die durch die Punkte [mm]\left[x_i,f\left(x_i\right)\right][/mm] und [mm]\left[x_{i+1},f\left(x_{i+1}\right)\right][/mm] geht über dem Intervall [mm]\left[x_i,x_{i+1}\right][/mm]. Dies ist vermutlich die schnellste (und langweiligste  ) Möglichkeit, um an den Flächeninhalt zu kommen.
Möglichkeit 2: Man benutzt die Flächenformel für allgemeine Trapeze (siehe Formelsammlung, Internet, ...). (Das gibt uns aber nicht das schönere Gefühl etwas selber hergeleitet zu haben.  )
Möglichkeit 3: Offenbar haben wir es hier mit "spezielleren" Trapezen zu tun. Wie schon die rote Linie andeuten soll, besteht jedes unserer Trapeze aus einem Rechteck und einem rechtwinkligen Dreieck. Was ist die Fläche des Rechtecks? Sie ist:
[mm]\left(x_{i+1}-x_i\right)f\left(x_i\right)[/mm]
Was ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks? "Grundlinie mal Höhe durch 2", also:
[mm]\frac{\left(x_{i+1}-x_i\right)\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_i\right)\right)}{2}[/mm]
Und was ergibt das insgesamt?
[mm]\left(x_{i+1}-x_i\right)f\left(x_i\right) + \frac{\left(x_{i+1}-x_i\right)\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_i\right)\right)}{2} = \left(x_{i+1}-x_i\right)\left(f\left(x_i\right) + \frac{f\left(x_{i+1}\right)}{2} - \frac{f\left(x_i\right)}{2}\right)[/mm]
[mm]= \frac{x_{i+1}-x_i}{2}\left(f\left(x_i\right) + f\left(x_{i+1}\right)\right)[/mm]
Da alle Trapeze gleich breit sind, sind auch alle Schrittweiten gleich:
[mm]x_{i+1} - x_i = \frac{b-a}{n-1}[/mm]
Damit erhalten wir:
[mm]F_{\text{Trapez}} = \frac{b-a}{2(n-1)}\left(f\left(x_i\right) + f\left(x_{i+1}\right)\right)[/mm]
Jetzt summieren wir alle [mm]n-1[/mm] Trapeze auf und sind fertig mit der Herleitung:
[mm]\int^{b}_{a}{f(x)\mathrm{d}x} \approx \frac{b-a}{2(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}{\left(f\left(x_i\right)+f\left(x_{i+1}\right)\right)} = \frac{b-a}{2(n-1)}\left(\sum_{i=1}^{n-1}{f\left(x_i\right)} + \sum_{i=1}^{n-1}{f\left(x_{i+1}\right)}\right) = \frac{b-a}{2(n-1)}\left(\sum_{i=1}^{n-1}{f\left(x_i\right)} + \sum_{i=2}^n{f\left(x_i\right)}\right)[/mm]
[mm]= \frac{b-a}{2(n-1)}\left(f\left(x_1\right) + \sum_{i=2}^{n-1}{f\left(x_i\right)} + \sum_{i=2}^{n-1}{f\left(x_i\right)}+f\left(x_n\right)\right)= \frac{b-a}{n-1}\left(\frac{f\left(x_1\right)}{2} + \sum_{i=2}^{n-1}{f\left(x_i\right)} + \frac{f\left(x_n\right)}{2}\right)[/mm]
Und das ist die Trapezregel.
[mm]\underline{\texttt{Beispiel }\left(f(x) := 2\sqrt{1-x^2};\;n = 8\right):}[/mm]
[mm]\int_{-1}^1{2\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x} \approx \frac{1-(-1)}{n-1}\left(\frac{f\left(x_1\right)}{2} + \sum_{i=2}^{n-1}{f\left(x_i\right)} + \frac{f\left(x_n\right)}{2}\right) = \frac{2}{n-1}\left(0 + \sum_{i=2}^{n-1}{f\left(x_i\right)} + 0\right) = \frac{2}{n-1}\sum_{i=2}^{n-1}{2\sqrt{1-x^2_i}}[/mm]
[mm]= \frac{4}{n-1}\sum_{i=2}^{n-1}{\sqrt{1-x^2_i}} = \frac{4}{7}\left(\sqrt{1-\left(-\frac{5}{7}\right)^2} + \sqrt{1-\left(-\frac{3}{7}\right)^2} + \sqrt{1-\left(-\frac{1}{7}\right)^2} + \sqrt{1-\left(\frac{1}{7}\right)^2} + \sqrt{1-\left(\frac{3}{7}\right)^2} + \sqrt{1-\left(\frac{5}{7}\right)^2}\right)[/mm]
[mm]= \frac{8}{7}\left(\sqrt{1-\left(\frac{1}{7}\right)^2} + \sqrt{1-\left(\frac{3}{7}\right)^2} + \sqrt{1-\left(\frac{5}{7}\right)^2}\right) \approx 2.9635490671312039239[/mm]
Na ja, irgendwie konvergiert das Ganze doch ziemlich langsam gegen [mm]\pi[/mm]. Vielleicht habe ich ja etwas bei der Herleitung oder Anwendung übersehen... .
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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