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Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 So 01.08.2021
Autor: Leon33

Hallo alle zusammen .
Habe gerade Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe

Aufgabe
Bestimmen sie mithilfe der Trapezregel eine Näherung an das Integral und bestimmen sie den maximalen Quadraturfehler

[mm]\int_{0}^{1} \! \frac{2}{x+1} +2x^2 \, dx [/mm]?



habt ihr Tipps wie ich bei euch sowas vorgehen muss?

nicht gestellt

        
Bezug
Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 So 01.08.2021
Autor: statler

Hallo!

> Bestimmen sie mithilfe der Trapezregel eine Näherung an
> das Integral und bestimmen sie den maximalen
> Quadraturfehler
>
> [mm]\int_{0}^{1} \! \frac{2}{x+1} +2x^2 \, dx [/mm]?
>
> habt ihr Tipps wie ich bei euch sowas vorgehen muss

Besser und richtiger ist [mm] $\int_{0}^{1} \! (\frac{2}{x+1} +2x^2) \, [/mm] dx$

Wenn die Aufgabe genau so gemeint ist, wie sie dasteht, was ich nicht glaube, dann berechnest du einfach die Fläche einmal über ein Trapez und einmal über das Integral.
Die Trapezfläche ist [mm] $\frac{1}{2}(f(0) [/mm] + f(1)) [mm] \cdot [/mm] 1 = 2,5$.
Das Integral ergibt sich zu $2ln2 + [mm] \frac{2}{3} \approx [/mm] 2,05$.
Und damit ist auch der Fehler in diesem Fall klar.

Gemeint ist aber wohl, daß du die allgemeine Sehnentrapez-Formel hinschreiben und den Fehler mit Hilfe der 2. Ableitung abschätzen sollst.
Versuch das mal, die Formeln findest du zur Not bei Wiki. Und dann sehen wir weiter.
Gruß
Dieter

Bezug
        
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Trapezregel: Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 So 01.08.2021
Autor: Leon33

[mm]f''(x) = \frac{4}{(x+1)^3} [/mm]


[mm] - \frac{\frac{4}{(x+1)^3+4}}{12} * \frac{1}{2}.[/mm]


Habe es in der Formel mal eingesetzt .
Wie geht es weiter ?
Die Formel ist im Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Bezug
Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:06 Mo 02.08.2021
Autor: statler


> [mm]f''(x) = \frac{4}{(x+1)^3}[/mm]

Stimmt nicht ganz: $f''(x) = [mm] \frac{4}{(x+1)^3} [/mm] + 4$

Da dein Intervall von 0 bis 1 geht, kannst du dir jetzt überlegen, wie groß $|f''(x)|$ höchstens werden kann.


Bezug
                        
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Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Mo 02.08.2021
Autor: Leon33


[mm]f''(0) = \frac{4}{(x+1)^3} + 4 = 8[/mm]

[mm]f''(1) = \frac{4}{(2+1)^3} + 4 = 4.14 [/mm]


Soll ich aber nicht die Funktion in die Formel einsetzen ?

Muss ich nicht die Näherungsformel nutzen?

Bezug
                                
Bezug
Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mo 02.08.2021
Autor: statler


>
> [mm]f''(0) = \frac{4}{(x+1)^3} + 4 = 8[/mm]
>  
> [mm]f''(1) = \frac{4}{(2+1)^3} + 4 = 4.14[/mm]
>  

> Soll ich aber nicht die Funktion in die Formel einsetzen ?
>  
> Muss ich nicht die Näherungsformel nutzen?

Dein Fehlerterm ist doch [mm] $-\frac{f^{(2})(\xi)}{12}h^{3}$. [/mm] Dabei liegt [mm] $\xi$ [/mm] zwischen 0 und 1, und $h = 1$.
$f''$ ist im betrachteten Intervall monoton fallend, warum? Was ist also der maximal mögliche Wert des Betrags des Fehlers?

Bezug
                                        
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Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Mo 02.08.2021
Autor: Leon33

Leider ist für mich das alles nicht so selbstverständlich :)

Wieso ist das monoton fallend ?

Der maximale Wert ist wahrscheinlich 8

Bezug
                                                
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Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Mo 02.08.2021
Autor: statler


> Leider ist für mich das alles nicht so selbstverständlich
> :)
>  
> Wieso ist das monoton fallend ?
>  
> Der maximale Wert ist wahrscheinlich 8

Das stimmt, er ist sogar sicher 8. Wenn x größer wird, wird der Nenner größer, also der Bruch und damit auch $f''$ kleiner.
Das heißt dann weiter, daß der richtige Wert des Integrals zwischen [mm] $\frac{5}{2} [/mm] - [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{11}{6}$ [/mm] und [mm] $\frac{5}{2} [/mm] + [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{19}{6}$ [/mm] liegt.


Bezug
                                                        
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Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Mo 02.08.2021
Autor: Leon33

das mit den 5/2 hatten wir ja berechnet

Woher kommen die 2/3 her ?
Warum wird das einmal abgezogen und einmal addiert ?



Bezug
                                                                
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Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Mo 02.08.2021
Autor: statler


> das mit den 5/2 hatten wir ja berechnet

Das ist der Näherungswert, die Trapezfläche.

>
> Woher kommen die 2/3 her ?

Wenn du in deinen Fehlerterm [mm] $-\frac{f''(\xi)}{12}h^{3}$ $\xi [/mm] = 0$ und [mm] $\xi [/mm] = 1$ setzt und in beiden Fällen $h = 1$, dann erhältst du einmal [mm] $-\frac{2}{3}$ [/mm] und das andere Mal [mm] $-\frac{3}{8}$. [/mm] Also liegt der wahre Wert des Integrals sogar zwischen [mm] $\frac{5}{2} [/mm] - [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{11}{6}$ [/mm] und [mm] $\frac{5}{2} [/mm] - [mm] \frac{3}{8} [/mm] = [mm] \frac{17}{8}$. [/mm]
Das ist noch besser als wenn man nur den maximalen Fehler einmal addiert und einmal subtrahiert.

>  Warum wird das einmal abgezogen und einmal addiert ?

Weil man ein Intervall für den richtigen Wert haben möchte. (Das ist sozusagen ein 100-%-Konfidenzintervall.)


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