Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
| Aufgabe | x`(t) = [mm] \bruch{1}{x(t)} [/mm] x(0)=1
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Hallo,
wie löse ich diese aufgabe.. ich meine es müsste mit Trennung der Variablen gemacht werden und danach das ganze Integriert und durch einsetzen des x(0)=1 die Integrationskonstante gelöst werden.. aber wie trenne ich hier die variablen..
finde irgenwie keinen anfang.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 06.06.2009 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
die Trennung ist hier doch ganz einfach!
> x'(t) = [mm]\bruch{1}{x(t)}[/mm] x(0)=1
[mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{1}{x} [/mm] /*dt /*x
x dx = dt
Den Rest kriegst du allein hin.
Gruß,
clwoe
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> Hallo,
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> wie löse ich diese aufgabe.. ich meine es müsste mit
> Trennung der Variablen gemacht werden und danach das ganze
> Integriert und durch einsetzen des x(0)=1 die
> Integrationskonstante gelöst werden.. aber wie trenne ich
> hier die variablen..
>
> finde irgenwie keinen anfang.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
ah danke, jetzt ist der groschen gefallen,
wenn ich das integral dann berechnet habe bekomme ich [mm] \bruch {1}{2}x^2 [/mm] = t+c das löse ich ja dann nach x auf setze dann das x(o)=t ein und bekomme dann als lösung für das c -1 oder??
das müsste dann ja auch die komplette lösung sein oer ??
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Hallo dadario,
> ah danke, jetzt ist der groschen gefallen,
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> wenn ich das integral dann berechnet habe bekomme ich
> [mm]\bruch {1}{2}x^2[/mm] = t+c das löse ich ja dann nach x auf
> setze dann das x(o)=t ein und bekomme dann als lösung für
> das c -1 oder??
Nein.
Setze die Anfangsbedingung doch direkt ein:
[mm]\bruch{\left( \ x\left(0\right) \ \right)^{2}}{2}=0+c[/mm]
>
> das müsste dann ja auch die komplette lösung sein oer ??
Etwas umformen kann man das noch, so daß da steht
[mm]x\left(t\right) = ...[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
aber dann hab ich doch gar kein t mehr?? und bekomme ja auch keine lösung für das c... geht das nach meiner methode gr nicht?
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Hallo dadario,
> aber dann hab ich doch gar kein t mehr?? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") und bekomme ja
> auch keine lösung für das c... geht das nach meiner methode
> gr nicht?
Moment, du hast doch als Anfangsbedingung den Wert der Funktion $x=x(t)$ an der Stelle $t=0$ gegeben.
Das ist $x(t=0)=x(0)=1$
Das hat Mathepower oben für deine errechnete Lösung eingesetzt:
Für [mm] $\red{t=0}$ [/mm] ist:
[mm] $\frac{1}{2}x(\red{t})^2=\red{t}+c$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{2}\cdot{}x(\red{0})^2=\red{0}+c=c$, [/mm] also [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}1=c$, [/mm] also [mm] $c=\frac{1}{2}$
[/mm]
Da Lösungen von Dglen nur auf zusammenhängenden Mengen (Intervallen) definiert, solltest deine "Lösung" noch nach $x(t)$ auflösen, also:
[mm] $\frac{1}{2}x(t)^2=t+c\Rightarrow x(t)=\sqrt{2t+2c} [/mm] \ [mm] \mbox{oder} [/mm] \ [mm] x(t)=-\sqrt{2t+2c}$
[/mm]
Und hier nochmal die Anfangsbedingung für $t=0$, also $x(0)=1$ einsetzen ...
Welche Lösung kommt also nur in Frage?
Schreibe sie mal komplett mit allem, was dazu gehört, auf, also mit dem errechneten $c$, mit Definitionsbereich ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
dann müsste meine lösung ja mit t=o und x(o)=1 und c = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x(t)=\wurzel{2t+1}
[/mm]
bzw mit t=0
x(t)=1
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Hallo,
> dann müsste meine lösung ja mit t=o und x(o)=1 und c =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]x(t)=\wurzel{2t+1}[/mm]
Ja.
> bzw mit t=0
>
> x(t)=1
LG, Martinius
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