Trennung der Variablen + VDK < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für folgende DGL mit Hilfe von
Variablentrennung und anschließender Variation der Konstanten:
a) y’ = –y + cos x |
Guten Tag.
Ich hänge hier schon ziemlich lang an dieser scheinbar einfachen Aufgabe und kriege es einfach nicht gebacken.
So wenn ich die Variablen Trenne komme ich zum folgenden Ergebnis:
dy + y = cos x dx
Wenn ich anschließend Integriere :
1/2 [mm] y^2 [/mm] = sin x + k
y = [mm] \wurzel[]{2sin x + 2k}
[/mm]
y' = cos x / [mm] \wurzel[]{2sin x + 2k}
[/mm]
In die obige Gleichung eingesetzt
cos x / [mm] \wurzel[]{2sin x +2k} [/mm] = [mm] -\wurzel[]{2sin x +2k} [/mm] + cos x
Das ist vollkommener Unsinn ich weiß aber auch leider nicht wie ich die Aufgabe lösen soll bitte um Hilfe.
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Sagt bitte bescheid , wenn ich alle Schritte komplett angeben soll oder etwas was undeutlich ist . Habe wirklich den Willen diese Aufgabe zu verstehen , aber komme momentan nicht selber drauf.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 30.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für folgende DGL mit
> Hilfe von
> Variablentrennung und anschließender Variation der
> Konstanten:
> a) y’ = –y + cos x
> Guten Tag.
>
> Ich hänge hier schon ziemlich lang an dieser scheinbar
> einfachen Aufgabe und kriege es einfach nicht gebacken.
>
> So wenn ich die Variablen Trenne komme ich zum folgenden
> Ergebnis:
>
> dy + y = cos x dx
Hallo,
da ist schon im Ansatz ein Fehler.
Aus dy/dx = –y + cos x folgt durch beidseitige Multiplikation mit dx
dy=-y*dx+cos x dx.
Das geht so nicht.
Stichworte: homogene/inhomogene DGl.
Gruß Abakus
>
> Wenn ich anschließend Integriere :
>
> 1/2 [mm]y^2[/mm] = sin x + k
>
> y = [mm]\wurzel[]{2sin x + 2k}[/mm]
>
> y' = cos x / [mm]\wurzel[]{2sin x + 2k}[/mm]
>
> In die obige Gleichung eingesetzt
>
> cos x / [mm]\wurzel[]{2sin x +2k}[/mm] = [mm]-\wurzel[]{2sin x +2k}[/mm] +
> cos x
>
> Das ist vollkommener Unsinn ich weiß aber auch leider
> nicht wie ich die Aufgabe lösen soll bitte um Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:49 Di 01.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Auf deinen Fehler hat dich Abakus ja schon hingewiesen.
Die Aufgabe ist m.E. eher unglücklich und missverständlich formuliert. Die gegebene DGL lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wäre das möglich, müsste man nicht noch die Methode der Variation der Konstanten nachschießen.
Vielmehr musst du die DGL in drei Schritten lösen:
1) Man löst die zugehörige homogene DGL (also die Angabe ohne Störfunktion). Das geht mittels Trennen der Variablen. Man erhält eine Funktion [mm]y_h[/mm] in der auch eine Integrationskonstante C vorkommt.
2) Man sucht eine beliebige Partikulärlösung [mm]y_p[/mm] der AngabeDGL. Das kann man (manchmal) mit unbestimmtem Ansatz erledigen oder eben wie bei dir verlangt mit der Methode der Variation der Konstanten. Dazu macht man sich die Tatsache zunutze, dass es eine Partikulärlösung gibt, welche so wie die Lösung der homogenen DGL aufgebaut ist, bloß dass die oben erwähnte Integrationskonstante keine Konstante sondern eine noch zu bestimmende Funktion C(x) ist.
3) Die Lösung der AngabeDGL ergibt sich dann mit [mm]y=y_h+y_p[/mm]
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Habe jetzt nen wenig gerechnet , vielleicht ist es diesmal besser.
Also: dy/dx = -y + cos x auf beiden Seiten multiplizieren, daraus folgt
dy = -y*dx + cosx*dx ( danke an den Post davor )
Nun Trennung der Variablen :
-dy/y = cos x dx
Mit anschließender Integration kommt raus :
- ln y = cos x + ln k(x) --> y = e^(cos x) + k ( x )
y ' = -sin* e^(cos x ) + k'(x)
Nun in die obige Gleichung eingesetzt:
-sin*e^(cos x) + k'(x) = e^(cos x) + k(x) + cos x
Hier kommt ja nun die ( wenn alles richtig gemacht wurde ) Variation der Konstanten und hier habe ich ein Problem, weil ich nicht genau weiß wie ich weiterrechnen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Di 01.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Habe jetzt nen wenig gerechnet , vielleicht ist es diesmal
> besser.
>
> Also: dy/dx = -y + cos x auf beiden Seiten multiplizieren,
> daraus folgt
>
> dy = -y*dx + cosx*dx ( danke an den Post davor )
>
> Nun Trennung der Variablen :
>
> -dy/y = cos x dx
nein. Besser ist es nicht. Es ist grausam !
Bestimme zunächst die allgemeine Lösung der hommogenen Gleichung
(*) $y'=-y$.
Hier Trennung der Veränderlichen zu benutzen ist zwar ziemlich bescheuert, aber bitte ....
Zur Kontrolle: die allgemeine Lösung [mm] y_h [/mm] von (*) lautet: [mm] y_h(x)=ce^{-x} [/mm] (c [mm] \in \IR).
[/mm]
Zur Bestimmung einer speziellen Lösung [mm] y_p [/mm] der inhomogenen Gleichung $y'=-y+cos(x)$ mache den Ansatz
[mm] y_p(x)=c(x)e^{-x}
[/mm]
FRED
>
> Mit anschließender Integration kommt raus :
>
> - ln y = cos x + ln k(x) --> y = e^(cos x) + k ( x )
>
> y ' = -sin* e^(cos x ) + k'(x)
>
> Nun in die obige Gleichung eingesetzt:
>
> -sin*e^(cos x) + k'(x) = e^(cos x) + k(x) + cos x
>
> Hier kommt ja nun die ( wenn alles richtig gemacht wurde )
> Variation der Konstanten und hier habe ich ein Problem,
> weil ich nicht genau weiß wie ich weiterrechnen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 01.07.2014 | | Autor: | abakus |
> Habe jetzt nen wenig gerechnet , vielleicht ist es diesmal
> besser.
>
> Also: dy/dx = -y + cos x auf beiden Seiten multiplizieren,
> daraus folgt
>
> dy = -y*dx + cosx*dx ( danke an den Post davor )
>
> Nun Trennung der Variablen :
>
> -dy/y = cos x dx
Das folgt daraus NICHT!
Offensichtlich hast du auf der linken Seite durch (-y) geteilt, das müsstest du dann auch rechts tun.
Daraus ergibt sich aber
-dy/y=1*dx-cos(x)dx/y
(und das trennt KEINE Variablen, da dir y in einem Nenner auf der rechten Seite erhalten bleibt.).
Gruß Abakus
>
> Mit anschließender Integration kommt raus :
>
> - ln y = cos x + ln k(x) --> y = e^(cos x) + k ( x )
>
> y ' = -sin* e^(cos x ) + k'(x)
>
> Nun in die obige Gleichung eingesetzt:
>
> -sin*e^(cos x) + k'(x) = e^(cos x) + k(x) + cos x
>
> Hier kommt ja nun die ( wenn alles richtig gemacht wurde )
> Variation der Konstanten und hier habe ich ein Problem,
> weil ich nicht genau weiß wie ich weiterrechnen soll.
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