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Treppenfunkt. Untervektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:36 Mi 05/04/2017
Author: X3nion

Guten Tag zusammen!

Ich habe Fragen zu Treppenfunktionen. Und zwar wird im Forster bewiesen, dass die Menge aller Treppenfunktionen [mm] \tau[a,b] [/mm] ein Untervektorraum des Vektorraums aller reeller Funktionen f: [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] ist.

Für a,b [mm] \in \IR, [/mm] a < b, bezeichne [mm] \tau[a,b] [/mm] die Menge aller Treppenfunktionen [mm] \phi: [/mm] [a,b] [mm] \rightarrow \IR. [/mm]

Eine Treppenfunktion wird so definiert: [mm] \phi: [/mm] [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] heißt Treppenfunktion, falls es eine Unterteilung

a < [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b des Intervalls [a,b] gibt, sodass [mm] \phi [/mm] auf jedem offenen Teilintervall [mm] ]x_{k-1}, x_{k}] [/mm] konstant ist. Die Werte von [mm] \phi [/mm] in den Teilpunkten sind beliebig.


Um zu zeigen, dass [mm] \tau[a,b] [/mm] ein Untervektorraum des Vektorraums aller reellen Funktionen f: [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] ist, muss das Unterraumkriterium nachgeprüft werden:

1) 0 [mm] \in \tau[a,b] [/mm]

2) [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] => [mm] \phi [/mm] + [mm] \psi \in \tau[a,b] [/mm]

3) [mm] \phi \in \tau[a,b], \lambda \in \IR [/mm] => [mm] \lambda\phi \in \tau[a,b] [/mm]

Die Eigenschaften 1) und 3) sind trivial. Es genügt daher, die Aussage 2) zu beweisen. Die Treppenfunktion [mm] \phi [/mm] ei definiert bzgl. der Unterteilung

Z: a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b

und [mm] \psi [/mm] bzgl. der Unterteilung

Z' : a = [mm] x_{0}' [/mm] < [mm] x_{1}' [/mm] < ... < [mm] x_{m}' [/mm] = b.

Nun sei a = [mm] t_0 [/mm] < [mm] t_1 [/mm] < ... < [mm] t_k [/mm] = b diejenige Unterteilung von [a,b], die alle Teilpunkte von Z und Z' enthält, d.h.

[mm] \{t_0, t_1, ..., t_k\} [/mm] = [mm] \{x_0, x_1, ..., x_n\} \cup \{x_{0}', x_{1}', ..., x_{m}'\}. [/mm]

Dann sind [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] konstant auf jedem Teilintervall [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[, [/mm] also ist auch [mm] \phi [/mm] + [mm] \psy [/mm] auf [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[ [/mm] konstanz. Deshalb gilt [mm] \phi [/mm] + [mm] \psy \in \tau[a,b]. [/mm]

-----


Um nun zu meinen Fragen zu kommen:

1. Wieso ist Eigenschaft 1) trivial, und was wird hier mit 0 bezeichnet?

2. Kann ich mir den Beweis zu Eigenschaft 2) so vorstellen, dass durch die neue Unterteilung sich im Bild eines jeden Teilintervalls [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[ \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] befinden? Und weil [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] auf jedem Intervall [mm] ]x_{n-1}, x_{n}[ [/mm] bzw. [mm] ]x_{m-1}', x_{m}'[ [/mm] konstant sind, sind sie es also auch auf eventuell kleineren oder gleichen Intervallen [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[. [/mm] Und wegen der Tatsache, dass im Bild jedes Teilintervalls [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[ \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] existieren, kann man beide Funktionen addieren und somit hat man eine Unterteilung a = [mm] t_0 [/mm] < [mm] t_1 [/mm] < ... < [mm] t_n [/mm] = b gefunden, auf denen [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] konstant sind und folglich ist auch die Summe [mm] \phi [/mm] + [mm] \psi [/mm] kosntant.

3. Ist diese Eigenschaft trivial, da sich durch Multiplikation mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] nur das Niveau von [mm] \phi [/mm] verschiebt, aber ansonsten sich nichts an der Voraussetzung [mm] \phi \in \tau[a,b] [/mm] ändert?


Für eure Antworten wäre ich wie immer dankbar! :-)

VG X3nion

        
Bezug
Treppenfunkt. Untervektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:56 Mi 05/04/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Guten Tag zusammen!

>

> Ich habe Fragen zu Treppenfunktionen. Und zwar wird im
> Forster bewiesen, dass die Menge aller Treppenfunktionen
> [mm]\tau[a,b][/mm] ein Untervektorraum des Vektorraums aller reeller
> Funktionen f: [a,b] [mm]\rightarrow \IR[/mm] ist.

>

> Für a,b [mm]\in \IR,[/mm] a < b, bezeichne [mm]\tau[a,b][/mm] die Menge
> aller Treppenfunktionen [mm]\phi:[/mm] [a,b] [mm]\rightarrow \IR.[/mm]

>

> Eine Treppenfunktion wird so definiert: [mm]\phi:[/mm] [a,b]
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] heißt Treppenfunktion, falls es eine
> Unterteilung

>

> a < [mm]x_0[/mm] < [mm]x_1[/mm] < ... < [mm]x_n[/mm] = b des Intervalls [a,b] gibt,
> sodass [mm]\phi[/mm] auf jedem offenen Teilintervall [mm]]x_{k-1}, x_{k}][/mm]
> konstant ist. Die Werte von [mm]\phi[/mm] in den Teilpunkten sind
> beliebig.

>
>

> Um zu zeigen, dass [mm]\tau[a,b][/mm] ein Untervektorraum des
> Vektorraums aller reellen Funktionen f: [a,b] [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> ist, muss das Unterraumkriterium nachgeprüft werden:

>

> 1) 0 [mm]\in \tau[a,b][/mm]

>

> 2) [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] => [mm]\phi[/mm] + [mm]\psi \in \tau[a,b][/mm]

>

> 3) [mm]\phi \in \tau[a,b], \lambda \in \IR[/mm] => [mm]\lambda\phi \in \tau[a,b][/mm]

>

> Die Eigenschaften 1) und 3) sind trivial. Es genügt daher,
> die Aussage 2) zu beweisen. Die Treppenfunktion [mm]\phi[/mm] ei
> definiert bzgl. der Unterteilung

>

> Z: a = [mm]x_0[/mm] < [mm]x_1[/mm] < ... < [mm]x_n[/mm] = b

>

> und [mm]\psi[/mm] bzgl. der Unterteilung

>

> Z' : a = [mm]x_{0}'[/mm] < [mm]x_{1}'[/mm] < ... < [mm]x_{m}'[/mm] = b.

>

> Nun sei a = [mm]t_0[/mm] < [mm]t_1[/mm] < ... < [mm]t_k[/mm] = b diejenige
> Unterteilung von [a,b], die alle Teilpunkte von Z und Z'
> enthält, d.h.

>

> [mm]\{t_0, t_1, ..., t_k\}[/mm] = [mm]\{x_0, x_1, ..., x_n\} \cup \{x_{0}', x_{1}', ..., x_{m}'\}.[/mm]

>

> Dann sind [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] konstant auf jedem Teilintervall
> [mm]]t_{j-1}, t_{j}[,[/mm] also ist auch [mm]\phi[/mm] + [mm]\psy[/mm] auf [mm]]t_{j-1}, t_{j}[[/mm]
> konstanz. Deshalb gilt [mm]\phi[/mm] + [mm]\psy \in \tau[a,b].[/mm]

>

> -----

>
>

> Um nun zu meinen Fragen zu kommen:

>

> 1. Wieso ist Eigenschaft 1) trivial, und was wird hier mit
> 0 bezeichnet?

Die Nullfunktion. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass sie die obige Definition einer Treppenfunktion erfüllt (denn es steht nirgends geschrieben, dass eine so definierte Treppenfunktion an den Sprungstellen wirklich einen Sprung aufweisen muss). So gesehen ist jede konstante Funktion eine Treppenfunktion im obigen Sinne.

>

> 2. Kann ich mir den Beweis zu Eigenschaft 2) so vorstellen,
> dass durch die neue Unterteilung sich im Bild eines jeden
> Teilintervalls [mm]]t_{j-1}, t_{j}[ \phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] befinden? Und
> weil [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] auf jedem Intervall [mm]]x_{n-1}, x_{n}[[/mm]
> bzw. [mm]]x_{m-1}', x_{m}'[[/mm] konstant sind, sind sie es also
> auch auf eventuell kleineren oder gleichen Intervallen
> [mm]]t_{j-1}, t_{j}[.[/mm] Und wegen der Tatsache, dass im Bild
> jedes Teilintervalls [mm]]t_{j-1}, t_{j}[ \phi[/mm] und [mm]\psi[/mm]
> existieren, kann man beide Funktionen addieren und somit
> hat man eine Unterteilung a = [mm]t_0[/mm] < [mm]t_1[/mm] < ... < [mm]t_n[/mm] = b
> gefunden, auf denen [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] konstant sind und
> folglich ist auch die Summe [mm]\phi[/mm] + [mm]\psi[/mm] kosntant.

Hm, das ist irgendwie 'quer durch die Brust ins Auge' formuliert. Es ist einfach so, dass wenn du die beiden Unterteilungen überlagerst und die Summe der beiden Funktionen betrachtest, eben auch wieder an jeder Sprungstelle entweder ein Sprung ist (der von einer der beiden Funktionen herrührt) oder eben keiner. Aber in den i.a. im Vergleich zu den ursprünglichen Teilintervallen kleineren Intervallen [mm] ]t_{j-1};t_j[ [/mm] kann ja kein Sprung sein, denn dort besitzt keine der beiden Funktionen eine Sprungstelle. Also ist deine Summe dort konstant wie nach der Definition gefordert.

>

> 3. Ist diese Eigenschaft trivial, da sich durch
> Multiplikation mit [mm]\lambda \in \IR[/mm] nur das Niveau von [mm]\phi[/mm]
> verschiebt, aber ansonsten sich nichts an der Voraussetzung
> [mm]\phi \in \tau[a,b][/mm] ändert?

Ja, genau so ist das.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Treppenfunkt. Untervektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:19 Mi 05/04/2017
Author: X3nion

Hallo Diophant und Danke für deine so rasche Antwort!


> Die Nullfunktion. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass sie
> die obige Definition einer Treppenfunktion erfüllt (denn
> es steht nirgends geschrieben, dass eine so definierte
> Treppenfunktion an den Sprungstellen wirklich einen Sprung
> aufweisen muss). So gesehen ist jede konstante Funktion
> eine Treppenfunktion im obigen Sinne.

Hm ja die konstante Funktion hat immer konstante Werte, das stimmt.
Aber müsste man dann nicht noch zeigen, dass es eine Unterteilung des Intervalls [a,b] gibt, sodass [mm] \phi [/mm] dann auf jedem der offenen Teilintervalle konstant ist?
Die Trivialität sehe ich noch nicht so ganz..

> Hm, das ist irgendwie 'quer durch die Brust ins Auge'
> formuliert. Es ist einfach so, dass wenn du die beiden
> Unterteilungen überlagerst und die Summe der beiden
> Funktionen betrachtest, eben auch wieder an jeder
> Sprungstelle entweder ein Sprung ist (der von einer der
> beiden Funktionen herrührt) oder eben keiner. Aber in den
> i.a. im Vergleich zu den ursprünglichen Teilintervallen
> kleineren Intervallen [mm]]t_{j-1};t_j[[/mm] kann ja kein Sprung
> sein, denn dort besitzt keine der beiden Funktionen eine
> Sprungstelle. Also ist deine Summe dort konstant wie nach
> der Definition gefordert.

"quer durch die Brust in's Auge" hört sich so schmerzhaft an [happy]
Also kann man es so sagen, dass man durch die i.A. Verkleinerung der Intervalle sicherstellt, dass die Treppenfunktionen dort keine Sprünge haben können, weil sie ja in ihren ursprünglichen Intervallen keine Sprünge haben?

>  > 3. Ist diese Eigenschaft trivial, da sich durch

>  > Multiplikation mit [mm]\lambda \in \IR[/mm] nur das Niveau von

> [mm]\phi[/mm]
>  > verschiebt, aber ansonsten sich nichts an der

> Voraussetzung
>  > [mm]\phi \in \tau[a,b][/mm] ändert?

>  
> Ja, genau so ist das.
>  
>
> Gruß, Diophant


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Treppenfunkt. Untervektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:18 Mi 05/04/2017
Author: leduart

Hallo
in deiner aufgeschriebenen Def. der Treppenfunktion schreibst du selbst:"Die Werte von $ [mm] \phi [/mm] $ in den Teilpunkten sind beliebig. "
beliebig heisst auch immer 0 oder immer 1 oder immer [mm] \pi [/mm] usw.
Gruß ledum

Bezug
                                
Bezug
Treppenfunkt. Untervektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:12 Do 06/04/2017
Author: X3nion

Danke für deinen Post ledum!

Also muss man nur zeigen, dass es eine Funktion gibt, die immer identisch 0 ist und dies erreicht man eben durch Setzen des Wertes "0" in den Teilpunkten?

Gruß X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Treppenfunkt. Untervektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:15 Do 06/04/2017
Author: tobit09

Hallo X3nion!


> Also muss man nur zeigen, dass es eine Funktion gibt, die
> immer identisch 0 ist

Natürlich gibt es die Funktion

      [mm] $\phi\colon[a,b]\to\IR\quad \phi(x)=0$. [/mm]

Sie ist der Nullvektor im [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] aller Funktionen [mm] $[a,b]\to\IR$. [/mm]


> und dies erreicht man eben durch
> Setzen des Wertes "0" in den Teilpunkten?

Zu zeigen ist, dass die gerade von mir definierte Funktion [mm] $\phi$ [/mm] eine Treppenfunktion ist.

Z.B. die Zerlegung [mm] $a=x_0
Es ist [mm] $\phi|_{]x_0,x_1[}=0$ [/mm] konstant.

(Dass auch [mm] $\phi(x_0)=\phi(x_1)=0$ [/mm] gilt, ist für diese Argumentation irrelevant.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                
Bezug
Treppenfunkt. Untervektorraum: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:44 Fr 07/04/2017
Author: X3nion

Hi Tobias,

Dankeschön, ich habe es nun verstanden, was alles gemacht werden muss!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
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