Treppenfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Ist f(x) = 1 für x = 1/2 und f(x) = 0 sonst
eine Treppenfunktion auf [0,1]?
Hintergrund der Frage ist folgender: In unserem Skript und auch im Königsberger wird eine Treppenfunktion definiert als Funktion, die auf endlich vielen Intervallen konstant ist und sonst 0.
Daher wäre für mich obige Funktion f keine Treppenfunktion da x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kein Intervall ist sondern eben nur ein einzelner Punkt.
Allerdings steht in unserem Skript gleichzeitig, dass
h(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] {0,1,1/2,2} und h(x) = 1 sonst
eine Treppenfunktion ist. Das widerspricht aber meiner Meinung nach der Definition.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
PS: ich weiß das man diese Funktionen schöner schreiben kann, aber irgendwie funktionieren die Formeln grad nicht, bzw. ich kriegs nicht hin.
Viele Grüße,
Blueman
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Hallo Blueman,
> Hallo
>
> Ist f(x) = 1 für x = 1/2 und f(x) = 0 sonst
> eine Treppenfunktion auf [0,1]?
[mm]f:\left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]:x \rightarrow f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=\bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Hintergrund der Frage ist folgender: In unserem Skript und
> auch im Königsberger wird eine Treppenfunktion definiert
> als Funktion, die auf endlich vielen Intervallen konstant
> ist und sonst 0.
Das findet sich so auch in anderene Skripten.
> Daher wäre für mich obige Funktion f keine Treppenfunktion
> da x = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] kein Intervall ist sondern eben nur
> ein einzelner Punkt.
>
> Allerdings steht in unserem Skript gleichzeitig, dass
> h(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] für x [mm]\in[/mm] {0,1,1/2,2} und h(x) = 1
> sonst
> eine Treppenfunktion ist. Das widerspricht aber meiner
> Meinung nach der Definition.
Auch ein einzelner Punkt ist ein Intervall, eben mit [mm]\left[\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}\right][/mm]
>
> Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
>
> PS: ich weiß das man diese Funktionen schöner schreiben
> kann, aber irgendwie funktionieren die Formeln grad nicht,
> bzw. ich kriegs nicht hin.
>
> Viele Grüße,
> Blueman
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Blueman |
Hi
Vielen Dank für die Antwort. Da hast du natürlich Recht.
Leider haben wir es aber doch etwas anders definiert:
Hier mal der Original-Text aus dem Skript:
Die Funktion f : [a, b] [mm] \in \IR [/mm] heißt eine Treppenfunktion, wenn es [mm] {x_{i};
i=1,..,n+1 } [/mm] gibt mit
a = [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] < · · · < [mm] x_{n} [/mm] < [mm] x_{n+1} [/mm] = b
und [mm] {h_{i}, i = 1,...,n} [/mm] so dass
f(x) = [mm] h_{i} [/mm] für x [mm] \in (x_{i}, x_{i+1}) [/mm] und i [mm] \in [/mm] {1, 2, . . . , n} ,
f(x) = 0 für x < [mm] x_{1}
[/mm]
f(x) = 0 für x > [mm] x_{n+1}.
[/mm]
Da ich nicht drauf gekommen bin, dass man auch einen einzelnen Punkt als Intervall schreiben kann, hatte ich die Definition so abgekürzt, aber so wie oben müsse es sich dann wohl um echte Intervalle handeln.
Demnach wäre dann mein Beispiel keine Treppenfunktion mehr, oder?
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Hallo Blueman,
> Hi
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> Vielen Dank für die Antwort. Da hast du natürlich Recht.
> Leider haben wir es aber doch etwas anders definiert:
>
> Hier mal der Original-Text aus dem Skript:
>
> Die Funktion f : [a, b] [mm]\in \IR[/mm] heißt eine
> Treppenfunktion, wenn es [mm]{x_{i};
i=1,..,n+1 }[/mm] gibt mit
> a = [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2}[/mm] < · · · < [mm]x_{n}[/mm] < [mm]x_{n+1}[/mm] = b
> und [mm]{h_{i}, i = 1,...,n}[/mm] so dass
>
> f(x) = [mm]h_{i}[/mm] für x [mm]\in (x_{i}, x_{i+1})[/mm] und i [mm]\in[/mm] {1, 2, .
> . . , n} ,
> f(x) = 0 für x < [mm]x_{1}[/mm]
> f(x) = 0 für x > [mm]x_{n+1}.[/mm]
>
> Da ich nicht drauf gekommen bin, dass man auch einen
> einzelnen Punkt als Intervall schreiben kann, hatte ich die
> Definition so abgekürzt, aber so wie oben müsse es sich
> dann wohl um echte Intervalle handeln.
> Demnach wäre dann mein Beispiel keine Treppenfunktion mehr,
> oder?
>
>
So, wie das da steht, handelt es sich bei [mm]\left(x_{i},x_{i+1}\right)[/mm] um lauter offene Intervalle:
[mm]\left(x_{i},x_{i+1}\right):=\{x \in \IR | x_{i} < x < x_{i+1}\}[/mm]
Siehe hier:
Intervall - Mathebank
![[]](/images/popup.gif) Intervall Wikipedia
Demnach sind immer die Intervallgrenzen ausgenommen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Blueman |
Ja OK aber ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x = \mbox{ 1/2} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst } \end{cases}
[/mm]
nun eine Treppenfunktion oder nicht? Ich würd ja nach wie vor sagen, dass sie es nicht ist, gerade wegen dem offenen Intervall. Denn [mm] (\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}) [/mm] ist ja die leere Menge also kriegt man nie nur den einen Punkt in das Intervall.
Aber dann find ich das ja ziemlich bescheuert, dass es 2 verschiedene Definitionen von Treppenfunktion gibt. Hat immerhin Auswirkungen auf die Riemann-Integrierbarkeit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja OK aber ist die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x = \mbox{ 1/2} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
> nun eine Treppenfunktion oder nicht? Ich würd ja nach wie
> vor sagen, dass sie es nicht ist, gerade wegen dem offenen
> Intervall. Denn [mm](\bruch{1}{2},\bruch{1}{2})[/mm] ist ja die
> leere Menge also kriegt man nie nur den einen Punkt in das
> Intervall.
da gibt es keinen Widerspruch und auch keine "zweite" Definition. Obige Funktion erfüllt:
$f(x)=0$, falls $x [mm] \in I_1:=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
$f(x)=1$, falls $x [mm] \in I_2:=\left[\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right](=\left\{\frac{1}{2}\right\})$
[/mm]
$f(x)=0$, falls $x [mm] \in I_3:=\left(\frac{1}{2},\infty\right)$
[/mm]
Und [mm] $I_1$, $I_2$ [/mm] und [mm] $I_3$ [/mm] sind 3 (also endlich viele) Intervalle, auf denen die Funktion konstant ist, also ist das eine Treppenfunktion laut Definitionem des Begriffes Treppenfunktion (Königsberger etc.). Da steht doch nur: Konstant auf Intervallen...
Diese können offen, abgeschlossen und auch halboffen sein. Insbesondere ist die einpunktige Menge [mm] $\{r\}$ [/mm] nichts anderes als das abgeschlossene Intervall $[r,r]$, da [mm] $[r,r]=\{x \in \IR: r \le x \le r\}=\{r\}$.
[/mm]
(Dass [mm] $(r,r)=\emptyset$ [/mm] tut nichts zur Sache, weil man halt [mm] $\{r\}=[r,r]$ [/mm] schreiben kann und letzteres eben ein Intervall ist!)
Edit (ich habe gerade erst den Grund für Deine Nachfrage gesehen):
Übrigens gilt das auch mit Eurer Definiton von hier:
https://matheraum.de/read?i=375306
Du kannst oben einfach (beispielsweise) [mm] $a=x_1=0$ [/mm] und [mm] $b=x_3=1$ [/mm] setzen sowie [mm] $x_2=\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $h_1=h_2=0$. [/mm] Dann ist das auch nach Eurer Definition eine Treppenfunktion, denn es gilt:
[mm] $f(x)=h_1=0$ [/mm] für $x [mm] \in (x_1,x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_2=\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $x_1=0$
[/mm]
[mm] $f(x)=h_2=0$ [/mm] für $x [mm] \in (x_2,x_3)$ [/mm] mit [mm] $x_3=1$
[/mm]
sowie $f(x)=0$ für alle $x < [mm] a=x_1=0$ [/mm] und
$f(x)=0$ für alle $x > [mm] x_3=b=1$.
[/mm]
Wie $f$ an den Stellen [mm] $x_i$ [/mm] ($i=1,...,n+1$) definiert ist, ist doch bei Eurer Definition irrelevant.
(D.h. bei obiger Funktion interessieren mit dieser Zerlegung dann [mm] $f(x_1)=f(0)$, $f(x_2)=f(1/2)$ [/mm] und [mm] $f(x_3)=f(1)$ [/mm] gar nicht, denn in Eurer Definition des Begriffes "Treppenfunktion" wird für diese Stellen nichts gefordert. Ich bin mir übrigens auch ziemlich sicher, dass die beiden Definitionen äquivalent zueinander sind, Du solltest mal versuchen, das zu beweisen.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Blueman |
Hi Marcel
Das für die Ränder der Intervalle nichts gefordert wird, ist ein super Argument. Da bin ich nicht drauf gekommen. Vielen Dank für die Hilfe!
Nur noch eine kleine Verständnisfrage zum Schluss: Die Funktion ist dann über jedem Intervall [a,b] Riemann-Integrierbar mit [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = 0 , richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das für die Ränder der Intervalle nichts gefordert wird,
> ist ein super Argument. Da bin ich nicht drauf gekommen.
> Vielen Dank für die Hilfe!
genau deshalb ist es wichtig, dass Du die Definition wirklich verinnerlichst. Aber gerade weil Dir das anfangs unklar war, Dir es aber jetzt nun klar ist, wird Dir das sicherlich so schnell nicht wieder entgehen 
> Nur noch eine kleine Verständnisfrage zum Schluss: Die
> Funktion ist dann über jedem Intervall [a,b]
> Riemann-Integrierbar mit [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = 0 ,
> richtig?
ja. Das ergibt sich auch leicht mit Ober- und Untersummen, wenn Du das mal formal durchführen willst, kannst Du Dich auch hier orientieren:
http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/ANAOnline/node63.html
(Übrigens wäre natürlich sogar [mm] $\int_{-\infty}^\infty{f(x)dx}=0$, [/mm] und zwar auch im Lebesgueschen Sinne, falls Dir dieser Integralbegriff etwas sagen sollte. Denn [mm] $\left\{\frac{1}{2}\right\}$ [/mm] hat Lebesgue-Maß $0$.)
Gruß,
Marcel
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