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Treppenfunktionen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 So 19.11.2017
Autor: Son

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Indikatorfunktion:
f(x):={1, falls x∈[0,1]\Q
......0, falls sonst

Zu zeigen ist dass f∈T+(IR,B(IR)) ist.

Wie könnte ich dies beweisen?


        
Bezug
Treppenfunktionen: Aufgabe klar formulieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 So 19.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Indikatorfunktion:
> f(x):= 1, falls [mm] x\, \in\ [/mm] [0,1] \ [mm] \IQ [/mm]
>  ......0, falls sonst

Ich versuche das mal etwas besser darzustellen:


[mm] f(x)=\begin{cases} 1\, , & \mbox{falls } x \in [0,1]\, \smallsetminus\, \IQ \\ 0\, , & \mbox{andernfalls} \end{cases} [/mm]

  

> Zu zeigen ist dass f∈T+(IR,B(IR)) ist.

Hier verstehe ich leider nicht, was mit den Bezeichnungen genau
gemeint sein soll. Ich versuche es zuerst mal klarer zu notieren:

$\ f [mm] \in\ [/mm] T\ [mm] +\, (\,\IR\, ,\,B(\IR)\,)$ [/mm]

Nun verstehe ich aber nicht, was mit den Symbolen T und B und
mit dem Pluszeichen gemeint sein soll ...


>  Wie könnte ich dies beweisen?


Solange man die Aussage nicht versteht, kann man natürlich
auch nichts beweisen ...

Übrigens:  von einer "Treppenfunktion" (wie in der Überschrift
angedeutet) kann ich da auch nichts erkennen.

Versuche also bitte, die Aufgabe klar zu formulieren !

LG ,    Al-Chw.



  

Bezug
        
Bezug
Treppenfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:34 Mo 20.11.2017
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Indikatorfunktion:
> f(x):={1, falls x∈[0,1]\Q
>  ......0, falls sonst
>  
> Zu zeigen ist dass f∈T+(IR,B(IR)) ist.
>  Wie könnte ich dies beweisen?
>  


Dass f eine Treppenfunktion ist, ist klar, denn f nimmt nur zwei Werte an.

Mit :

$ \ f \in\ T\ +\, (\,\IR\, ,\,B(\IR)\,) $


kann ich auch nix anfrangen (da hat der Aufgabensteller wohl eine Privatbezeichnung gewählt).

Wahrscheinlich ist $B(\IR)$ die Borelsche $ \sigma-$ Algebra auf \IR und T steht für Treppenfunktion.

Ich vermute, dass zu zeigen ist: f ist eine  $B(\IR)-B(\IR)$- messbare Treppenfunktion .

Vielleicht aber auch nicht. Kläre das, dann wird Dir geholfen.


Bezug
                
Bezug
Treppenfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:57 Mo 20.11.2017
Autor: Son

Erstmal Entschuldigung für die unklare Formulierung.
Also $ \ f [mm] \in\ [/mm] T\ [mm] +\, (\,\IR\, ,\,B(\IR)\,) [/mm] $:= {f [mm] \in T\, (\,\IR\, ,\,B(\IR)\,) [/mm] : f(x)>= 0 für alle x [mm] \in \IR} [/mm]
wobei [mm] (\IR,B(\IR)) [/mm] messbarer Raum und [mm] T(\IR,\IB(\IR))= [/mm] {f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] : f Treppenfunktion }

Bezug
                        
Bezug
Treppenfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Mo 20.11.2017
Autor: fred97


> Erstmal Entschuldigung für die unklare Formulierung.
>  Also [mm]\ f \in\ T\ +\, (\,\IR\, ,\,B(\IR)\,) [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= {f [mm]\in T\, (\,\IR\, ,\,B(\IR)\,)[/mm]

> : f(x)>= 0 für alle x [mm]\in \IR}[/mm]

Diese Bezeichnung hab ich noch nie gesehen. Für mich macht folgende Bez. mehr Sinn:


[mm] $T_+\, (\,\IR\, ,\,B(\IR)\,) [/mm] $.

>  wobei [mm](\IR,B(\IR))[/mm]
> messbarer Raum und [mm]T(\IR,\IB(\IR))=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

: f

> Treppenfunktion }


Deine Funktion f ist also die charakteristische Funktion der Menge $[0,1] \setminus \IQ$, also

$f=\bold{1}_{[0,1] \setminus \IQ}$

Klar dürfte sein, dass f eine Treppenfunktion ist und dass $f \ge 0$ ist.

Zu zeigen ist: f ist $ B(\IR)-B(\IR) $- messbar.

Dazu sei a \in \IR und $A_a:=f^{-1}(( - \infty,a])$.

Zu zeigen ist: für jedes a ist $A_a \in B( \IR)$.

Bestimme also A_a. Dabei unterscheide 3 Fälle:

a \ge 1, 0 \le a<1 und a<0.

Bezug
                                
Bezug
Treppenfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Mo 20.11.2017
Autor: Son

Muss man die Fallunterscheidung machen? Also darauf komme ich grade nicht.
Also ich hab es dann so versucht..
Als erstes habe ich gezeigt, dass [0,1] [mm] \cap \IQ [/mm] albzählbar ist -> Menge liegt in Borelmenge -> Komplement liegt also auch in der Borelmenge -> [0,1] [mm] \setminus \IQ [/mm] ist in der Borel-Menge.

Bezug
                                        
Bezug
Treppenfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mo 20.11.2017
Autor: Son

Wie könnte ich hier [mm] \integral_{\IR}^{}{f d\lambda} [/mm] mit [mm] \lambda :B(\IR)-> [/mm] [0,∞] berechnen?

Bezug
                                                
Bezug
Treppenfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 20.11.2017
Autor: fred97


> Wie könnte ich hier [mm]\integral_{\IR}^{}{f d\lambda}[/mm] mit
> [mm]\lambda :B(\IR)->[/mm] [0,∞] berechnen?

Es ist  [mm]\integral_{\IR}^{}{f d\lambda}=\lambda ([0,1] \setminus \IQ)=1[/mm] .

Das erste "=" gilt nach Def. des Integrals über eine Treppenfunktion. Das zweite "=" begründe Du !


Bezug
                
Bezug
Treppenfunktionen: teuflische Treppe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Mo 20.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Dass f eine Treppenfunktion ist, ist klar, denn f nimmt nur zwei Werte an.


Na schön, Definitionssache ...

Das ist aber eine extrem unangenehme "Treppe":  
unendlich viele Stufen, auf keiner von welchen man
überhaupt einen Fuß hinsetzen könnte - und die
"Treppe" führt einen im Endeffekt auch nicht wirklich
irgendwo "rauf" oder "runter" .....      ;-)     ;-)

Noch schlimmer:  wollte man den rechten Fuß für
die rationalen Stellen und den linken für die irrationalen
Stellen benützen, würde dieser absolut überbeansprucht
(überabzählbar viele Stufen im Gegensatz zum anderen
Fuß, der "nur" abzählbar unendlich oft eingesetzt werden
müsste !

Al-Chw.





Bezug
                        
Bezug
Treppenfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Mo 20.11.2017
Autor: fred97


> Dass f eine Treppenfunktion ist, ist klar, denn f nimmt nur
> zwei Werte an.
>  
>

Hallo Al,


> Na schön, Definitionssache ...

na ja, obiges ist eine gängige Definition in der Maß- und Integrationstheorie, falls ich Dich nicht überzeugen kann:

https://de.wikipedia.org/wiki/Einfache_Funktion


>  
> Das ist aber eine extrem unangenehme "Treppe":  
> unendlich viele Stufen, auf keiner von welchen man
>  überhaupt einen Fuß hinsetzen könnte - und die
>  "Treppe" führt einen im Endeffekt auch nicht wirklich
>  irgendwo "rauf" oder "runter" .....      ;-)     ;-)


Nicht wirklich ! Ist X eine nichtleere Menge und $T:X [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion mit [mm] T(X)=\{y_1,....,y_n\} [/mm] mit [mm] y_j \ne y_k [/mm] für j [mm] \ne [/mm] k, so gilt mit [mm] A_j:=T^{-1}(\{y_j\}): [/mm]

[mm] T=\sum_{j=1}^ny_j \bold{1}_{Aj}, [/mm]

[mm] X=\bigcup_{j=1}^nA_j [/mm] und [mm] A_j \cap A_k= \emptyset, [/mm] falls j [mm] \ne [/mm] k.

Die Stufen sind die Funktionswerte [mm] y_1,...,y_n. [/mm]

[mm] T(x)=y_j \gdw [/mm] x [mm] \in A_j [/mm]

Wenn z.B. X= [mm] \IR [/mm] ist und die [mm] A_j [/mm] Intervalle sind, so trifft das hoffentlich besser Deine Vorstellung von "Treppenfunktion".

Gruß FRED

>
> Al-Chw.
>  
>
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Treppenfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Mo 20.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Fred,

mir ging es nur um die Assoziationen anschaulicher
Art, die man so normalerweise mit dem Begriff "Treppe"
verbindet. Dass viele Wörter aus der Alltagssprache in
mathematischen Zusammenhängen Verwendung finden,
und zwar oft in einem sehr abstrakten Sinn, ist ein
interessantes Phänomen. Ich denke da etwa an Begriffe
wie Gruppe, Ring, Körper, Filter, Büschel, Schar, Garbe etc.

LG ,   Al

Bezug
                                
Bezug
Treppenfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Di 21.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Fred,

erst jetzt habe ich den von dir angegebenen Link wirklich
noch verfolgt (da mir die genaue Definition des Begriffs
"Treppenfunktion" gar nicht sooo wichtig war ...), aber siehe
da, was lese ich in dem Artikel über "einfache Funktionen" :


"Häufig werden einfache Funktionen mit Treppenfunktionen
verwechselt, die zur Definition des Riemann-Integrals verwendet
werden. Beide Funktionen nehmen nur endlich viele Funktions-
werte an. Eine Treppenfunktion besteht jedoch auch nur aus
endlich vielen Intervallen, auf denen sie konstante Funktionswerte
hat. Eine einfache Funktion dagegen kann, zum Beispiel auf beliebig
vielen Intervallen immer abwechselnd zwei Funktionswerte
annehmen und ist damit keine Treppenfunktion mehr."


Meine Intuition zum Begriff "Treppe" ist also doch nicht so weit
von der mathematischen Definition des Begriffs "Treppenfunktion"
entfernt, wie ich nach deiner Replik befürchten musste ...

LG ,  Al-Chw.

Bezug
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