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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Do 07.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichung an:
cos(2*arcsin(x))=2x-11 |
cos(2*arcsin(x))=2x-11
Zunächst andere Fragen bevor es zur Lösung der Aufgabe geht.
sin(arcsin(x))=x
und
[mm] sin^2(arcsin(x))=x^2
[/mm]
aber ist
[mm] sin^2(2*arcsin(x))=sin^2(arcsin(x)+arcsin(x))=x^2+x^2=2*x^2?
[/mm]
das gleiche gilt für
sin(2*arcsin(x))=sin(arcsin(x)+arcsin(x))=x+x=2*x?
Oder kann ich schreiben:
sin(2*arcsin(x))
v:=arcsin(x)
[mm] sin(2*v)=2*sin(v)*cos(v)=2*sin(arcsin(x))*cos(arcsin(x))=2*x*cos(arcsin(x))=2*x*\sqrt{1-x}
[/mm]
Wenn diese (hoffentlich nicht all zu dumme) allgemeinen Fragen gelöst sind krieg ich die Aufgabe, denke ich, selber hin aber ich weis halt nicht ob das richtig ist was ich oben geschrieben habe...
Danke schonmal im vorraus.
Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 07.08.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Al-Chwarizmi,
danke für die Hilfe! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Habe die Aufgabe so gelöst:
cos(2*arcsin(x))=2x-11
[mm] cos^2(arcsin(x))-sin^2(arcsin(x))=2x-11
[/mm]
[mm] cos^2(arcsin(x))-x^2=2x-11
[/mm]
[mm] 1-sin^2(arcsin(x))-x^2=2x-11
[/mm]
[mm] 1-2x^2=2x-11
[/mm]
[mm] 0=2x^2+2x-12
[/mm]
[mm] 0=x^2+x-6
[/mm]
p/q-Formel:
[mm] x_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm \sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{24}{4}}
[/mm]
[mm] x_1=-\bruch{1}{2}+\bruch{5}{2}=2
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{1}{2}-\bruch{5}{2}=-3
[/mm]
Also gibt es kein Lösung, da arcsin(x) nur für [mm] D_f=\{x|-1\le x \le1\} [/mm] definiert ist.
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Do 07.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hey Al-Chwarizmi,
> danke für die Hilfe!
>
> Habe die Aufgabe so gelöst:
> cos(2*arcsin(x))=2x-11
> [mm]cos^2(arcsin(x))-sin^2(arcsin(x))=2x-11[/mm]
> [mm]cos^2(arcsin(x))-x^2=2x-11[/mm]
> [mm]1-sin^2(arcsin(x))-x^2=2x-11[/mm]
> [mm]1-2x^2=2x-11[/mm]
> [mm]0=2x^2+2x-12[/mm]
> [mm]0=x^2+x-6[/mm]
> p/q-Formel:
> [mm]x_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm \sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{24}{4}}[/mm]
>
> [mm]x_1=-\bruch{1}{2}+\bruch{5}{2}=2[/mm]
> [mm]x_2=-\bruch{1}{2}-\bruch{5}{2}=-3[/mm]
>
> Also gibt es kein Lösung, da arcsin(x) nur für
> [mm]D_f=\{x|-1\le x \le1\}[/mm] definiert ist.
Das ist O.K.
Du kannst die Aufgabe auch wie folgt lösen:
Nimm an x sei eine Lösung der Gl.
cos(2*arcsin(x))=2x-11.
Da |cosz| [mm] \le [/mm] 1, muß |2x-11| [mm] \le [/mm] 1 sein, also:
(1) x [mm] \in [/mm] [5,6].
Du hast von oben cos(2*arcsin(x))=1-2x², somit |1-2x²| [mm] \le [/mm] 1, daher x² [mm] \le [/mm] 1, folglich
(2) x [mm] \in [/mm] [-1,1].
Das ist aber ein Widerspruch zu (1). Die Gl. hat also keine Lösung.
>
> Gruß,
> tedd
FRED
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
