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| Aufgabe | Sei S die Drehfläche zur Traktrix: [mm] c: (0, pi/2) \to \IR^2, c(t)=(sin(t), cos(t)+ ln(tan(t/2))) [/mm].
Finden Sie eine Parametrisierung von S und zeigen Sie, dass diese Fläche konstante Gaußkrümmung K=-1 hat. |
Hallo!
Die Aufgabe an sich stellt kein Problem dar.
Man setzt einfach die Kurvenkoordinaten in die allgemeine Definition einer Drehfläche ein, dann hat man die Parametrisierung.
Dann berechnet man die Gaußkrümmung durch die Berechnung von der ersten und zweiten Fundamentalform und erhält, dass K=-1.
Mein Problem liegt an einer ganz anderen Stelle.
Die Parametrisierung ist folgende:
[mm] F(t, \phi)= (sin(t)*cos( \phi), sin(t)*sin( \phi), cos(t) + ln(tan(t/2))) [/mm]
Für die erste Fundamentalform braucht man die ersten Ableitungen dieser Koordinaten. Das Problem liegt bei der dritten:
Ich habe sie zuerst per Hand ausgerechnet und kam auf:
[mm] \bruch{1}{2*cos^2(t)*tan(t/2)}-sin(t) [/mm]
Das ist nicht so schön, also habe ich es zur Kontrolle in Wolfram|Alpha eingegeben und da kam folgendes raus:
[mm] cos(t)*cot(t) [/mm] !!
Jetzt sitze ich daran und versuche herauszufinden wie man von dem einen zum anderen kommt.
Meine Idee ist, dass man das tan(t/2) durch x substituieren kann und dann hat:
[mm] sin(t)=\bruch{2x}{1+x^2}, cos(t)=\bruch{1-x^2}{1+x^2}, cot(t)=\bruch{1-x^2}{2x} [/mm]
Ich habe sin(t) und cos(t) und tan(t/2) in meiner Lösung ersetzt und umgeformt komme aber nur auf
[mm] \bruch{1-x^2+11*x^4-3*x^6}{2*x-2*x^3-2*x^5+2*x^7} [/mm]
und nicht auf
[mm] \bruch{2*x-2*x^5-2*x^3+2*x^7}{2*x+2*x^3} [/mm]
was [mm] cos(t)*cot(t) [/mm] wäre.
Kann mir jemand helfen? Das wäre spitze!
Liebe Grüße, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 18.06.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Ableitung ist ein Fehler, im Nenner steht nicht [mm] 2*cos^2(t)*tn(t/2) [/mm] sondern [mm] 2*cos^2(t/2)*tan(t/2)=cos(t/2)*sin(t(2)=sin(t)
[/mm]
jetzt auf den Hauptnenner und du hast
[mm] (1-sin^2(t))/sin(t)=cos^2(t)/sin(t)=cot(t)*cos(t)
[/mm]
Gruß ledum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 18.06.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ach, verdammt! So ein Missgeschick!
Danke 
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