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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Trigonometrie / mit Parameter

Trigonometrie / mit Parameter < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Trigonometrie / mit Parameter: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:55 So 02.10.2005
Autor:	Mathe0

Hallo,

bin jetzt nochmal an einer ähnlichen Aufgabe wie oben dran und komme nicht richtig weiter. Vielleicht kann mir jemand ein Tip geben.

Aufgabenstellung:

Für jedes [mm] t\in [0,\pi] [/mm] ist die Funktion [mm] f_t [/mm] mit [mm] f_t(x) [/mm] = 3/4 [mm] x^{2} [/mm] sin(x-t) gegeben; [mm] K_t [/mm] ist das Schaubild von [mm] f_t. [/mm]

e) Geben Sie für [mm] 0
Das heißt dann also für mich mit 0 gleich setzen.

dann habe ich: [mm] 3/4x^{2}*sin(x-t)=0 [/mm]

dann meine ich ein Additionstheoreme anwenden zu müssen.

D.h. sin(x-y) = sin x * cos x...

Demzufolge habe ich dann: [mm] 3/4x^{2}*(sin [/mm] x * cos t - cos x * sin t) = 0 stehen.

Nur wie jetzt weiter? Kann ich irgendetwas ausklammern? War mein Ansatz überhaupt richtig?

Mfg
Mathe0

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Nullstellen Sinus-Funktion

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:18 So 02.10.2005
Autor:	Loddar

Hallo Mathe0!

Bitte eröffne doch für eine neue Aufgabe auch einen neuen Strang. Das würde sonst zu unübersichtlich, wenn wir mehrere verschiedene Aufgaben in einem Strang diskutierten ...

> e) Geben Sie für [mm]0
> Intervall [mm][0;2\pi][/mm] an.
>
> Das heißt dann also für mich mit 0 gleich setzen.

> dann habe ich: [mm]3/4x^{2}*sin(x-t)=0[/mm]

Soweit richtig!

> dann meine ich ein Additionstheoreme anwenden zu müssen.

Das ist hier unnötig.

Wir haben doch bereits ein Produkt und brauchen daher nur die einzelnen Faktoren untersuchen:

[mm] $\bruch{3}{4}x^2 [/mm] \ = \ 0$    [mm] $\gdw$ [/mm]    $x \ = \ 0$

oder

[mm] $\sin(x-t) [/mm] \ = \ 0$

Die Sinus-Funktion [mm] $\sin(z)$ [/mm] hat folgende allgemeine Nullstellen:

[mm] $z_i [/mm] \ = \ [mm] k*\pi$ [/mm]  mit  $k \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IZ$ [/mm]

In unserem Fall gilt ja: [mm] $z_k [/mm] \ = \ [mm] x_k [/mm] - t \ = \ [mm] k*\pi$ $\gdw$ $x_k [/mm] \ = \ [mm] k*\pi [/mm] + t$

Im Intervall [mm] $\left[0; 2\pi\right]$ [/mm] heißt das konkret:

[mm] $x_{\blue{0}} [/mm] \ = \ t + [mm] \blue{0}*\pi [/mm] \ = \ t + 0 \ = \ t$

[mm] $x_{\blue{1}} [/mm] \ = \ t + [mm] \blue{1}*\pi [/mm] \ = \ t + [mm] \pi$ [/mm]

[mm] $x_{\blue{2}} [/mm] \ = \ t + [mm] \blue{2}*\pi [/mm] \ = \ t + [mm] 2\pi$ [/mm]

Nun musst Du noch für den Definitionsbereich von $t_$ :  $0 \ < \ t \ < \ [mm] \pi$ [/mm] untersuchen, ob die Werte für [mm] $x_k$ [/mm] auch wirklich im Intervall [mm] $\left[0; 2\pi\right]$ [/mm] liegen.

Gruß
Loddar

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:12 Mo 03.10.2005
Autor:	Mathe0

Hallo,

Danke für die Erklärung.
habe mir das jetzt mal heute morgen zu Gemüte geführt und doch noch einige Fragen.
Wenn ich das richtig verstanden habe können wir gleichsetzen [mm] x_k-t [/mm] = [mm] k*\pi [/mm] (allgemeine Formel für Nullstellen) und nach [mm] x_n [/mm] umstellen weil beide Formeln =0 ergeben müssen. [mm] x_k-t [/mm] ist praktisch nur ein anderer Ausdruck für [mm] k*\pi? [/mm]

Gehe ich auch richtig in der Annahme wenn vor dem x in der Formel jetzt eine 2 stehen würde ich mit [mm] k*\pi/2 [/mm] rechnen müsste?

Allerdings stehe ich bei der Untersuchung des Definitionsbereichs jetzt wieder voll auf der Leitung. Ein kleiner Tip wäre hilfreich, wie ich da anfangen muss.

Außerdem habe ich noch zwei weitere Teilaufgaben zu dieser Aufgabe in die ich mich verbissen habe und nicht weiterkomme. Ich hoffe es ist in Ordnung wenn ich die jetzt hier reinstelle und keinen neuen String aufmache, eigentlich gehören sie ja zu dieser Aufgabe.

Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, dass für [mm] 0
Hier wollte ich mit der Formel aus dem Mathebuch die besagt "Das Schaubild K der Funktion f ist symmetrisch zum Ursprung, wenn f(x)=-f(-x) ist" arbeiten. Allerdings bekomme ich wenn ich die Funktion gleichsetze und mit dem Taschenrechner auflöse nur 0 oder true raus. Das würde ja heißen, dass die Funktionen symmetrisch sind. Wo liegt mein Fehler?

nächste Teilaufgabe:
[mm] K_t [/mm] und die x-Achse schließen Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt A(t) des Flächenstücks, welches den Punkt P( [mm] \bruch{t+\pi}{2}/0) [/mm] enthält. Untersuchen Sie, ob A(t) für [mm] 0
Meine Lösung: Ich setze erstmal [mm] \bruch{t+\pi}{2} [/mm] für x in die Gleichung [mm] f_t(x) [/mm] für x ein.
Dann bekomme ich [mm] \bruch{3*(t+\pi)^2*cos(t/2}{16} [/mm] raus.
Wenn ich das jetzt gleich null setze bekomme ich für t den Wert [mm] -\pi [/mm]
Dies müsste ja der einzige Wert für t sein bei dem dieser Punkt vorhanden ist.

Diesen Wert setzte ich jetzt in die Gleichung [mm] f_t(x) [/mm] für t ein und bekomme nun eine Formel ohne die Variable t. Hier kann ich jetzt einen Flächeninhalt berechnen den Kt und die X-Achse begrenzen, nur ist das der gesuchte?
Außerdem weiß ich nicht wie man untersuchen soll ob A(t) einen Extremwert annimmt. Normalerweise ja erste Ableitung und und gleich null setzen. Nur von was die erste Ableitung? Weiß jemand Rat?

Schonmal Danke
Mfg
Mathe0

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Teilantwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:48 Mo 03.10.2005
Autor:	Loddar

Hallo Mathe0!

> Wenn ich das richtig verstanden habe können wir
> gleichsetzen [mm]x_k-t[/mm] = [mm]k*\pi[/mm] (allgemeine Formel für
> Nullstellen) und nach [mm]x_n[/mm] umstellen weil beide Formeln =0
> ergeben müssen.

Das stimmt so nicht!

Die Funktionswerte dieser beiden Ausdrücke ergeben gerade Null.

> [mm]x_k-t[/mm] ist praktisch nur ein anderer
> Ausdruck für [mm]k*\pi?[/mm]

Für unsere Aufgabe: Ja!

> Gehe ich auch richtig in der Annahme wenn vor dem x in der
> Formel jetzt eine 2 stehen würde ich mit [mm]k*\pi/2[/mm] rechnen
> müsste?

Genau!

> Allerdings stehe ich bei der Untersuchung des
> Definitionsbereichs jetzt wieder voll auf der Leitung. Ein
> kleiner Tip wäre hilfreich, wie ich da anfangen muss.

Die Grundmenge für den Definitionsbereich ist ja in der Regel [mm] $\IR$. [/mm]

Gibt es denn Werte für $x_$, die Du nicht in o.g. Funktion einsetzen darfst?

> Außerdem habe ich noch zwei weitere Teilaufgaben zu dieser
> Aufgabe in die ich mich verbissen habe und nicht
> weiterkomme. Ich hoffe es ist in Ordnung wenn ich die jetzt
> hier reinstelle und keinen neuen String aufmache,
> eigentlich gehören sie ja zu dieser Aufgabe.

Dann ist es auch in diesem Strang hier völlig okay! :-)

> Zeigen Sie, dass für [mm]0
> punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
>
> Hier wollte ich mit der Formel aus dem Mathebuch die besagt
> "Das Schaubild K der Funktion f ist symmetrisch zum
> Ursprung, wenn f(x)=-f(-x) ist" arbeiten.

Genau damit geht's ...

> Allerdings bekomme ich wenn ich die Funktion gleichsetze und mit dem
> Taschenrechner auflöse nur 0 oder true raus. Das würde ja
> heißen, dass die Funktionen symmetrisch sind. Wo liegt mein
> Fehler?

Hast Du denn mal [mm] $f_t(-x)$ [/mm] ausgerechnet?

[mm] $f_t(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}x^2*\sin(x-t)$ [/mm]

[mm] $f_t(-x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*(-x)^2 [/mm] * [mm] \sin[(-x)-t] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}x^2*\sin(-x-t)$ [/mm]

Der erste Term stimmt ja nun überein, so dass wir uns nur noch die beiden [mm] $\sin$-Ausdrücke [/mm] ansehen müssen:

[mm] $\sin(x-t) [/mm] \ [mm] \steckrel_{=}^{??} [/mm] \ [mm] \sin(-x-t)$ [/mm]

Damit Symmetrie zum Ursprung $O_$ vorliegt, muss auch der Punkt $O \ (0;0)$ auf den beiden Kurven liegen.

Es muss also gelten:

[mm] $\sin(\pm [/mm] 0-t) \ = \ [mm] \sin(-t) [/mm] \ = \ 0$

Die gilt aber genau für (allgemeine Nullstellen): $t \ = \ [mm] k*\pi$ [/mm]

Da aber unser $t_$ beschränkt ist auf $0 \ [mm] \red{<} [/mm] \ t \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] , kann diese Bedingung nicht erfüllt werden [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es liegt keine Symmetrie zum Ursprung vor!

Gruß
Loddar

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:38 Mo 03.10.2005
Autor:	Mathe0

Hallo,

hab mir jetzt gerade nochmal den Kopf über der Aufgabe wegen der Angabe der Nullstellen zerbrochen. -t im Term bewirkt doch eine Phasenverschiebung nach rechts? Das heißt habe ich jetzt [mm] t=\pi/2 [/mm] werden die Nullstellen um [mm] \pi/2 [/mm] nach rechts verschoben. Das heißt es wären dann nur noch zwei Nullstellen im Intervall? und bei [mm] t=\pi [/mm] wieder drei?

> Die Grundmenge für den Definitionsbereich ist ja in der
> Regel [mm]\IR[/mm].
>
> Gibt es denn Werte für [mm]x_[/mm], die Du nicht in o.g. Funktion
> einsetzen darfst?

Welche Funktion meinst du jetzt? sin (x-t)=0 oder [mm] x_0=t+0*\pi? [/mm]

Im Prinzip darf ich doch keine Werte für x einsetzen die dazu führen das die Gleichung ungleich null ist, oder?

Edit

Also im Prinzip ist das mit den Nullstellen jetzt klar.

Also die Nullstellen sind N1(t/0) [mm] N2(\pi+t/0) [/mm] und N3 ist ja nicht mehr im Intervall. Allerdings habe ich nur wenn [mm] t=\pi [/mm] ist genau drei Nullstellen im
im Intervall, da ja die Nullstelle von [mm] -\pi [/mm] auf 0 verschoben wird. Aber wie schreibe ich jetzt das korrekt?

Mfg
Mathe0

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:18 Mo 03.10.2005
Autor:	Zwerglein

Hi, Mathe0,

Mir scheint, Du machst Dir die Sache selbst zu schwer.
Durch y=sin(x-t) wird der Graph der Sinusfunktion um t nach rechts (für t<0 übrigens um |t| nach links) verschoben.
Durch die Substitution z=x-t machst Du die Verschiebung sozusagen rückgängig. (Genauer gesagt - aber das muss Dich zunächst nicht interessieren - betrachtest Du die Funktion y=sin(z) im z/y-Koordinatensystem).
Demnach hast Du immer dieselben Nullstellen, nämlich: [mm] z=k*\pi. [/mm]

Anschließend machst Du die Substitution rückgängig:
Aus z=x-t wir x = z+t
Aus [mm] z=k*\pi [/mm] wird so: [mm] x=k*\pi+t. [/mm]

Anderes Beispiel:

sin(2*(x-1)) = 0

z=2(x-1) ergibt: sin(z) = 0
=> [mm] z=k*\pi [/mm]

Rücksubst.: z=2x-2 <=> 2x = z+2 <=> x=0,5z + 1.
Daher: [mm] x=0,5*k*\pi+1. [/mm]

Ggf. musst Du noch nachprüfen, welche der Lösungen in der vorgegebenen Definitionsmenge liegen.
Aber das tut man eigentlich fast immer erst hinterher!

mfG!
Zwerglein

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	18:30 Mo 03.10.2005
Autor:	Mathe0

Vielen Dank,

jetzt hab ichs endlich gerafft. Eigentlich gar nicht so schwer, aber man kann es sich auch selbst kompliziert machen.

Mfg
Mathe0

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:24 Mo 03.10.2005
Autor:	taura

Hallo!

> nächste Teilaufgabe:
>  [mm]K_t[/mm] und die x-Achse schließen Flächenstücke ein. Berechnen
> Sie den Inhalt A(t) des Flächenstücks, welches den Punkt P(
> [mm]\bruch{t+\pi}{2}/0)[/mm] enthält. Untersuchen Sie, ob A(t) für
> [mm]0
>
> Meine Lösung: Ich setze erstmal [mm]\bruch{t+\pi}{2}[/mm] für x in
> die Gleichung [mm]f_t(x)[/mm] für x ein.
> Dann bekomme ich [mm]\bruch{3*(t+\pi)^2*cos(t/2}{16}[/mm] raus.
>  Wenn ich das jetzt gleich null setze bekomme ich für t den
> Wert [mm]-\pi[/mm]
>  Dies müsste ja der einzige Wert für t sein bei dem dieser
> Punkt vorhanden ist.

Du brauchst diesen Wert nicht in die Funktion einzusetzten, es geht nicht darum dass die Funktion den Wert [mm]\left(\left\bruch{t+\pi}{2}\right|0\right)[/mm] annimmt, sondern nur, dass der Wert in der Fläche liegt. Du musst also die Nullstellen (die du scon berechnet hast) die um diesen Wert herum liegen als Grenzen in dein Integral einsetzen, und dieses in Abhängigkeit von t ausrechnen.

> Diesen Wert setzte ich jetzt in die Gleichung [mm]f_t(x)[/mm] für t
> ein und bekomme nun eine Formel ohne die Variable t. Hier
> kann ich jetzt einen Flächeninhalt berechnen den Kt und die
> X-Achse begrenzen, nur ist das der gesuchte?
>  Außerdem weiß ich nicht wie man untersuchen soll ob A(t)
> einen Extremwert annimmt. Normalerweise ja erste Ableitung
> und und gleich null setzen. Nur von was die erste
> Ableitung? Weiß jemand Rat?

Du erhälst durch das Integral eine Funktion in Abhängigkeit von t (das A(t)) und damit machst du eine Extremwertdiskussion.

Ich hoffe ich konnte dir helfen :-)

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	15:20 Mi 05.10.2005
Autor:	Mathe0

Hallo,

Danke für die Antwort. Hat mir sehr geholfen. Ich habe jetzt eine Lösung für die Aufgabe. Kann mir jemand sagen ob das so richtig ist?

Also erstmal das Integral bilden mit den beiden Nullstellen t und [mm] t+\pi [/mm] als Grenzen.

[mm] \integral_{\pi+t}^{t} [/mm] {f(x) [mm] dx}\Rightarrow \bruch{-3*(2*t^2+2\pi*t+\pi^2-4}{4} [/mm]

Davon bilde ich jetzt die erste Ableitung und setze diese gleich null weil ich ja einen Extremwert für t ermitteln will.
[mm] 0=\bruch{-3*(2*t+\pi}{2} [/mm]

Dann bekomme ich einen Wert wurde t von [mm] -\pi2. [/mm] Das müsste doch mein gesuchter Max-Wert sein?

Zum Schluß noch zwei kurze, allgemeine und wahrscheinlich saublöde Fragen: 1. Wie beweise ich eine Punktsymmetrie? f(x)=f(-x) sagt doch nur etwas darüber aus ob Symmetrie zur Y-Achse vorliegt?

2. Wenn eine Funktion [mm] x\in[0;\pi] [/mm] auf Hochtpunkte etc. untersucht werden soll und dieser genau auf 0 liegt, muss ich den dann auch angegeben oder gilt 0<x<ßpi?

Mfg und Danke
Die Mathe0

Bezug

Trigonometrie / mit Parameter: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:26 Mi 05.10.2005
Autor:	taura

Hallo!

> Also erstmal das Integral bilden mit den beiden Nullstellen
> t und [mm]t+\pi[/mm] als Grenzen.

> [mm]\integral_{\pi+t}^{t}[/mm] f(x) [mm]dx\Rightarrow \bruch{-3*(2*t^2+2\pi*t+\pi^2-4}{4}[/mm]

Da stimmt leider was nicht. Erstens: Du hast die Intervallgrenzen vertauscht, da t größer null ist ([mm]0
Also ich bekomme für das Integral folgendes raus:

[mm]-\br{3}{4}t^2+\br{3}{2}t+\br{3}{2}\pi+\br{3}{2}[/mm]

Könntest du vielleicht nochmal nachrechnen, übernehme natürlich auch keine Garantie, dass meins stimmt.

> Zum Schluß noch zwei kurze, allgemeine und wahrscheinlich
> saublöde Fragen: 1. Wie beweise ich eine Punktsymmetrie?
> f(x)=f(-x) sagt doch nur etwas darüber aus ob Symmetrie zur
> Y-Achse vorliegt?

genau

Um Punktsymmetrie zum Ursprung nachzuweisen musst du die Gleichung [mm]f(x)=-f(-x)[/mm] zeigen :-)

> 2. Wenn eine Funktion [mm]x\in[0;\pi][/mm] auf Hochtpunkte etc.
> untersucht werden soll und dieser genau auf 0 liegt, muss
> ich den dann auch angegeben oder gilt 0<x<ßpi?

Das kommt auf das Intervall an, in diesem Fall musst du es angeben, denn das Intervall ist abgeschlossen, das heißt die 0 liegt mit drin. Bei einem offenen Intervall (Schreibweise: [mm]]0;\pi[[/mm] oder [mm](0;\pi)[/mm]) gehören die Grenzen nicht dazu, das heißt in diesem Fall würdest du einen solchen Punkt nicht angeben. :-)

Bezug

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