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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:53 Do 03.01.2013 | | Autor: | dany1995 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, nach welchen Termumformungen man aus α + β + γ = [mm] \pi [/mm] zu folgender Formel für beliebige ebene Dreiecke kommt:
cos [mm] ^{2}\alpha [/mm] + cos [mm] ^{2}\beta [/mm] + cos [mm] ^{2}\gamma [/mm] + 2 *cos [mm] \alpha [/mm] *cos [mm] \beta [/mm] *cos [mm] \gamma [/mm] = 1 |
Liebe Leute,
da ich Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe habe, brauche ich eure Hilfe.
Ich weiß, dass
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = [mm] \pi [/mm]
äquivalent ist zu
cos [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] = cos [mm] (\pi)= [/mm] -1
- cos [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] = 1
Aber nach welchen Termumformungen kommt man zu der Formel:
cos [mm] ^{2}(\alpha) [/mm] + cos [mm] ^{2}(\beta) [/mm] + cos [mm] ^{2}(\gamma) [/mm] + 2 *cos [mm] \alpha [/mm] *cos [mm] \beta [/mm] *cos [mm] \gamma [/mm] = 1 ?
Ich habe bereits vieles ausprobiert, komme aber nicht voran :-(.
Vielen Dank im Voraus.
Dany1995
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, nach welchen Termumformungen man aus α + β +
> γ = [mm]\pi[/mm] zu folgender Formel für beliebige ebene
> Dreiecke kommt:
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> cos [mm]^{2}\alpha[/mm] + cos [mm]^{2}\beta[/mm] + cos [mm]^{2}\gamma[/mm] + 2 *cos
> [mm]\alpha[/mm] *cos [mm]\beta[/mm] *cos [mm]\gamma[/mm] = 1
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> Liebe Leute,
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> da ich Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe habe, brauche
> ich eure Hilfe.
>
> Ich weiß, dass
>
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma[/mm] = [mm]\pi[/mm]
> äquivalent ist zu
>
> cos [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma)[/mm] = cos [mm](\pi)=[/mm] -1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Äquivalent ist das nicht, aber die zweite Aussage folgt aus der ersten.
> - cos [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma)[/mm] = 1
>
> Aber nach welchen Termumformungen kommt man zu der Formel:
>
> cos [mm]^{2}(\alpha)[/mm] + cos [mm]^{2}(\beta)[/mm] + cos [mm]^{2}(\gamma)[/mm] + 2 *cos [mm]\alpha[/mm] *cos [mm]\beta[/mm] *cos [mm]\gamma[/mm] = 1 ?
>
> Ich habe bereits vieles ausprobiert, komme aber nicht voran
> :-(.
Nun haben wir das Problem, daß wir nicht sehen, was Du getan hast, so daß man Dir schlecht weiterhelfen kann.
Ich hab's nicht gerechnet, aber ich gehe stark davn aus, daß man mit den Additionstheoremen und ggf. dem trig. Pythagoras zum Ziel kommt, möglicherweise je nach Geschick nicht ganz fix.
LG Angela
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> Vielen Dank im Voraus.
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> Dany1995
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ich würde auf die Gleichung [mm]\alpha + \beta = \pi - \gamma[/mm] den Cosinus loslassen. Rechts gibt es ja dann gerade [mm]- \cos \gamma[/mm]. Und links natürlich das Additionstheorem für den Cosinus. Dann werden die Sinusteile auf einer Seite der Gleichung isoliert und die Gleichung wird quadriert. Mit dem trigonometrischen Pythagoras werden dann die Sinusterme durch Cosinusterme ersetzt. Dann noch fleißig ausmultiplizieren und ordnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Fr 04.01.2013 | | Autor: | dany1995 |
Hallo Leopold_Gast ,
vielen Dank für Deinen Hinweis. Ich habe die Sache auf der Weise bereits gelöst, möchte aber ebenfalls den direkten Weg gehen und es so schaffen:
cos [mm] (\alpha +\beta +\gamma) [/mm] +1 = cos [mm] (\alpha) [/mm] · cos [mm] (\beta) [/mm] · [mm] cos(\gamma) [/mm] - cos [mm] (\alpha) [/mm] · sin [mm] (\beta) [/mm] · sin [mm] (\gamma) [/mm] - sin [mm] (\alpha) [/mm] · cos [mm] (\beta) [/mm] · sin [mm] (\gamma) [/mm] - sin [mm] (\alpha) [/mm] · sin [mm] (\beta) [/mm] · cos [mm] (\gamma) [/mm] +1 = ....
.... = cos [mm] ^{2}(\alpha) [/mm] + cos [mm] ^{2}(\beta) [/mm] + cos [mm] ^{2}(\gamma) [/mm] + 2 cos [mm] (\alpha) [/mm] cos [mm] (\beta) [/mm] cos [mm] (\gamma) [/mm] -1
Ich habe hier einiges versucht, drehe mich aber irgendwie im Kreis und weiß leider nicht weiter.
Danke im Voraus
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Wenn man eine "einfache" Lösung hat, wieso sollte man dann nach einer komplizierten suchen.
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