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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Sa 08.01.2011 | | Autor: | mathey |
| Aufgabe | | Bei welchem Abschusswinkel ist die Reichweite eines Geschosses mit seiner maximalen Höhe identisch? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, dass die Frage eher physikalischer Natur ist, jedoch habe ich ein Problem bei der mathematischen Auflösung der Gleichung:
Also mein Ansatz ist selbsterklärend das Gleichsetzen der Formeln für maximale Wurfhöhe [mm] s_{h} [/mm] und maximale Wurfweite [mm] s_{w}:
[/mm]
[mm] s_{h}=\bruch{v_{0}^{2}*[sin(\alpha)]^{2}}{2*g}
[/mm]
[mm] s_{w}=\bruch{v_{0}^{2}*sin(2*\alpha)}{g}
[/mm]
=> [mm] s_{h}=s_{w}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{v_{0}^{2}*[sin(\alpha)]^{2}}{2*g}=\bruch{v_{0}^{2}*sin(2*\alpha)}{g}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{[sin(\alpha)]^{2}}{2}=sin(2*\alpha)
[/mm]
<=> [mm] 0=sin(2*\alpha)-\bruch{[sin(\alpha)]^{2}}{2}
[/mm]
Wie löse ich nun diese Gleichung nach [mm] \alpha [/mm] auf? Mir ist bewusst dass 0 und ganzzahlige Vielfache von [mm] \pi [/mm] eine Lösung sind. Sinnvoll ist jedoch nur [mm] 0<\alpha<\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Mit einem Funktionsplotter sehe ich es gibt noch eine Lösung in der Nähe von [mm] \approx\bruch{17}{40}*\pi
[/mm]
Kann mir einer helfen die Gleichung exakt zu lösen?
Vielen Danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Walde |
hi mathey,
> Bei welchem Abschusswinkel ist die Reichweite eines
> Geschosses mit seiner maximalen Höhe identisch?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich weiß, dass die Frage eher physikalischer Natur ist,
> jedoch habe ich ein Problem bei der mathematischen
> Auflösung der Gleichung:
>
> Also mein Ansatz ist selbsterklärend das Gleichsetzen der
> Formeln für maximale Wurfhöhe [mm]s_{h}[/mm] und maximale
> Wurfweite [mm]s_{w}:[/mm]
>
> [mm]s_{h}=\bruch{v_{0}^{2}*[sin(\alpha)]^{2}}{2*g}[/mm]
> [mm]s_{w}=\bruch{v_{0}^{2}*sin(2*\alpha)}{g}[/mm]
>
> => [mm]s_{h}=s_{w}[/mm]
>
> <=>
> [mm]\bruch{v_{0}^{2}*[sin(\alpha)]^{2}}{2*g}=\bruch{v_{0}^{2}*sin(2*\alpha)}{g}[/mm]
>
> <=> [mm]\bruch{[sin(\alpha)]^{2}}{2}=sin(2*\alpha)[/mm]
>
> <=> [mm]0=sin(2*\alpha)-\bruch{[sin(\alpha)]^{2}}{2}[/mm]
>
> Wie löse ich nun diese Gleichung nach [mm]\alpha[/mm] auf? Mir ist
> bewusst dass 0 und ganzzahlige Vielfache von [mm]\pi[/mm] eine
> Lösung sind. Sinnvoll ist jedoch nur
> [mm]0<\alpha<\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Mit einem Funktionsplotter sehe ich es gibt noch eine
> Lösung in der Nähe von [mm]\approx\bruch{17}{40}*\pi[/mm]
>
> Kann mir einer helfen die Gleichung exakt zu lösen?
>
> Vielen Danke im Voraus.
Es gilt [mm] \sin(2\alpha)=2\sin\alpha*\cos(\alpha), [/mm] wenn du das einsetzt und die Gleichung durch [mm] (\sin\alpha)^2(\not=0) [/mm] dividierst, bekommst du was mit [mm] \tan(\alpha), [/mm] das kannst du dann auflösen.
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Sa 08.01.2011 | | Autor: | abakus |
> hi mathey,
>
>
>
> > Bei welchem Abschusswinkel ist die Reichweite eines
> > Geschosses mit seiner maximalen Höhe identisch?
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Ich weiß, dass die Frage eher physikalischer Natur ist,
> > jedoch habe ich ein Problem bei der mathematischen
> > Auflösung der Gleichung:
> >
> > Also mein Ansatz ist selbsterklärend das Gleichsetzen der
> > Formeln für maximale Wurfhöhe [mm]s_{h}[/mm] und maximale
> > Wurfweite [mm]s_{w}:[/mm]
> >
> > [mm]s_{h}=\bruch{v_{0}^{2}*[sin(\alpha)]^{2}}{2*g}[/mm]
> > [mm]s_{w}=\bruch{v_{0}^{2}*sin(2*\alpha)}{g}[/mm]
> >
> > => [mm]s_{h}=s_{w}[/mm]
> >
> > <=>
> >
> [mm]\bruch{v_{0}^{2}*[sin(\alpha)]^{2}}{2*g}=\bruch{v_{0}^{2}*sin(2*\alpha)}{g}[/mm]
> >
> > <=> [mm]\bruch{[sin(\alpha)]^{2}}{2}=sin(2*\alpha)[/mm]
> >
> > <=> [mm]0=sin(2*\alpha)-\bruch{[sin(\alpha)]^{2}}{2}[/mm]
>
> >
> > Wie löse ich nun diese Gleichung nach [mm]\alpha[/mm] auf? Mir ist
> > bewusst dass 0 und ganzzahlige Vielfache von [mm]\pi[/mm] eine
> > Lösung sind. Sinnvoll ist jedoch nur
> > [mm]0<\alpha<\bruch{\pi}{2}[/mm]
> >
> > Mit einem Funktionsplotter sehe ich es gibt noch eine
> > Lösung in der Nähe von [mm]\approx\bruch{17}{40}*\pi[/mm]
> >
> > Kann mir einer helfen die Gleichung exakt zu lösen?
> >
> > Vielen Danke im Voraus.
>
> Es gilt [mm]\sin(2\alpha)=2\sin\alpha*\cos(\alpha),[/mm] wenn du das
> einsetzt und die Gleichung durch [mm](\sin\alpha)^2(\not=0)[/mm]
> dividierst, bekommst du was mit [mm]\tan(\alpha),[/mm] das kannst du
> dann auflösen.
>
>
> LG walde
Hallo,
nach dem Ersetzen von sin [mm] 2\alpha [/mm] durch 2 [mm] sin\alpha cos\alpha [/mm] kann man auch im Gesamtterm sin [mm] \alpha [/mm] ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Sa 08.01.2011 | | Autor: | mathey |
Vielen Dank! Problem gelöst. An die Additionstheoreme und Co. habe ich gar nicht mehr gedacht.
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