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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | a) Was bedeutet es für die Koeffizienten eines trigonometrischen Polynoms [mm] $\sum [/mm] c. [mm] e^{int}$ [/mm] , wenn die dazugehörige Fkt f(t) auf [mm] \IR [/mm] / [mm] 2\pi [/mm] reellwertig ist?
b) Was bedeutet es für die Koeffizienten , wenn f(-t)=-f(t), dass f also eine ungerade Fkt ist?
c) Was bedeutet es für die Koeffizienten eines trigonometrischen Polynoms $0.5 [mm] a_0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1} (a_k [/mm] cos(kt) + [mm] b_k [/mm] sin(kt)$, wenn die dazugehörige Fkt f(t) auf [mm] \IR [/mm] / [mm] 2\pi [/mm] reellwertig ist?
d) Was bedeutet es für die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] , [mm] b_k [/mm] , wenn die dargestellte Fkt ungerade ist? |
Hallo Leute.
Ich habe ein paar verständnisprobleme mit den 4 Teilen.
Also zu:
a) [mm] \IR [/mm] / [mm] 2\pi [/mm] bedeutet doch eigentlich nur, dass ich mir nur das Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] anschaue oder ?
In der Summe verstehe ich im moment nicht so recht wo das n herkommt. komisch ist auch irgendwie, dass da so gar kein Summationsindex steht aber ich würde es so auffassen: [mm] $\sum_{k} c_k e^{int} [/mm] = [mm] \sum_{k} c_k [/mm] (cos(nt)+i sin(nt))$
Da nun aber alles Reellwertig sein soll, müssten ja nun alle [mm] c_k [/mm] =0 sein oder ?
b) hier soll ja f(-t)=f(t) sein. Nun ist es aber nicht wirklich ersichtlich, welche Fkt gemeint ist. Aber ich nehme an die aus Teil a)
Dann hätte ich ja
[mm] \sum_{k} c_k e^{-int} [/mm] = - [mm] \sum_{k} c_k e^{int}
[/mm]
Aber nach den Summenregeln, könnte ich doch das - auf der rechten Seite reinziehen und hätte
[mm] \sum_{k} c_k e^{-int} [/mm] = [mm] \sum_{k} -c_k e^{int}
[/mm]
und somit müssten ja wieder alle [mm] c_k [/mm] = 0 sein oder ?
c) In der hier gegebenen Fkt geben mir ja der sin und der cos nur reelle Werte. Also liefert mir die Fkt für [mm] a_0,a_k,b_k \in \IR [/mm] nur reelle Werte oder ?
d) Hier würde ich sagen, dass sin(kt) eine ungerade Fkt ist und somit müssten alle cos(kt) in der Summe verschwinden und somit müsste [mm] a_0 [/mm] = 0 sein [mm] a_k [/mm] = 0 sein und [mm] b_k [/mm] könnte beliebig sein oder ?
Wäre super, ob ihr mir sagen könntet, ob ich auf dem richtigem Weg bin oder total in die Falsche richtung renne
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Di 18.05.2010 | | Autor: | chrisno |
>
> a) [mm]\IR[/mm] / [mm]2\pi[/mm] bedeutet doch eigentlich nur, dass ich mir
> nur das Intervall [mm][0,2\pi][/mm] anschaue oder ?
f(t) ist periodisch. Also ist nur das Intervall, das Du angibst interessant. Ohne dieses Wissen würed ich [mm] $\IR$ [/mm] ohne [mm] $2\pi$ [/mm] lesen, was für mich aber wenig Sinn macht. Wenn ich mich recht erinnere kann die Funktion an den Stellen [mm] $k\pi, [/mm] k [mm] \in \IZ$ [/mm] unstetig sein. Das stört hier aber nicht.
>
> In der Summe verstehe ich im moment nicht so recht wo das n
> herkommt. komisch ist auch irgendwie, dass da so gar kein
> Summationsindex steht
der sollte da schon stehen, aber das n macht klar, dass über n summiert wird
[mm]\sum_{n} c_n e^{int} = \sum_{n} c_n (cos(nt)+i sin(nt))[/mm]
> Da
> nun aber alles reellwertig sein soll, müssten ja nun alle
> [mm]c_k[/mm] =0 sein oder ?
Nein. Es soll nicht alles reellwertig sein, sondern nur f(t). [mm] $c_n \in \IC$
[/mm]
>
> b) hier soll ja f(-t)=f(t) sein. Nun ist es aber nicht
> wirklich ersichtlich, welche Fkt gemeint ist. Aber ich
> nehme an die aus Teil a)
Ich lese b) als Fortsetzung von a), wie Du.
> Dann hätte ich ja
> [mm]\sum_{k} c_k e^{-int}[/mm] = - [mm]\sum_{k} c_k e^{int}[/mm]
> Aber nach
> den Summenregeln, könnte ich doch das - auf der rechten
> Seite reinziehen und hätte
> [mm]\sum_{k} c_k e^{-int}[/mm] = [mm]\sum_{k} -c_k e^{int}[/mm]
> und somit
> müssten ja wieder alle [mm]c_k[/mm] = 0 sein oder ?
Das ändert sich, wenn Du die Änderungen aus Teil a) einführst.
>
> c) In der hier gegebenen Fkt geben mir ja der sin und der
> cos nur reelle Werte. Also liefert mir die Fkt für
> [mm]a_0,a_k,b_k \in \IR[/mm] nur reelle Werte oder ?
Ja.
>
> d) Hier würde ich sagen, dass sin(kt) eine ungerade Fkt
> ist und somit müssten alle cos(kt) in der Summe
> verschwinden und somit müsste [mm]a_0[/mm] = 0 sein [mm]a_k[/mm] = 0 sein
> und [mm]b_k[/mm] könnte beliebig sein oder ?
Ja.
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