Trigonometrische Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo!
Es geht um das lösen der trigonometrischen Gleichungen in der Form s*sin(bx+c) + d*cos(ex+f) + g = 0 mit g [mm] \not= [/mm] 0
Ich hab dazu im Buch ein Beispiel gegeben, das hab ich auch nachgerechnet und verstanden und fands auch gar nicht so schwer.
Vorgehen:
-man löst nach sin(x) oder cos(x) aus
-quadriert mit beachten der bin. Formeln
-ersetzt cos²(x)/sin²(x) durch 1-sin²(x)/1-cos²(x)
-holt dann alles auf eine Seite und fasst zusammen
-man erhält eine quadratische Gleichung, die man entweder mit der pq-Formel oder mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lösen kann
Das hab ich doch richtig verstanden,oder?
So, soviel zur Theorie!
Dann gabs dazu dann ne Übung mit a)-h) und ich hab lediglich EINE(!!!) davon lösen können!!!
Ich versteh auch gar nicht warum,weil sie allesamt nach dem gleichen Schema aufgebaut sind und es jedesmal die gleiche Anwendung ist.
Ich finde einfach meinen Fehler nicht! Ich habs gestern fast 2 Stunden lang durchgerechnet und heut morgen auch noch mal und ich versteh einfach nicht was ich falsch mach!!! Ich hoff mal,dass ich wenigstens überall den gleichen Fehler gemacht hab,so dass ich nicht meine Rechnung zu allen Aufgaben posten muss und ihr nicht so viel zu tun habt 
Ich nehm mal eine von den anscheinend leichteren Aufgaben,vielleicht seht ihr ja meinen Fehler...
5sin(x) + 2cos(x) =4
5sin(x)= 4 - 2cos(x)
25sin²(x) = 16 - 16cos(x) + 4cos²(x)
25 - 25cos²(x)= 16 - 16cos(x) + 4cos²(x)
29cos²(x) - 16cos(x) - 9 = 0
cos²(x) - [mm] \bruch{16}{29}cos(x) [/mm] - [mm] \bruch{9}{29} [/mm] =0
Substitution: cos(x)=z
z² - [mm] \bruch{16}{29}z [/mm] - [mm] \bruch{9}{29} [/mm] =0
Quadratische Ergänzung:
(z - [mm] \bruch{8}{29})² [/mm] - [mm] \bruch{325}{841} [/mm] = 0
[mm] z_1 [/mm] - [mm] \bruch{8}{29}= [/mm] -0,622
[mm] z_2 [/mm] - [mm] \bruch{8}{29}= [/mm] 0,622
[mm] z_1= [/mm] -0,898
[mm] z_2=0,898
[/mm]
Rücksubstitution:
cos(x)= -0,898 [mm] \Rightarrow x_1= [/mm] 2,686 [mm] \Rightarrow x_2=2\pi [/mm] - [mm] x_1=3,597
[/mm]
cos(x)= 0,898 [mm] \Rightarrow x_3= [/mm] 0,456 [mm] \Rightarrow x_4=2\pi [/mm] - [mm] x_3=5,827
[/mm]
So, das wars. Ich hab dann die Probe gemacht und keiner der Werte erfüllte die Gleichung :-(
Was mach ich denn falsch????
Danke
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> [mm]z_1[/mm] - [mm]\bruch{8}{29}=[/mm] -0,622
>
> [mm]z_2[/mm] - [mm]\bruch{8}{29}=[/mm] 0,622
>
> [mm]z_1=[/mm] -0,898
[mm] \bruch{8}{29} [/mm] -0,622 [mm] \not=-0,898
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, danke.
ohh,da hab ich mich wohl im taschenrechner vertippt.
[mm] z_1= [/mm] -0,622 + [mm] \bruch{8}{29} [/mm] = -0,346
[mm] z_2= [/mm] 0,898
musst das jetzt grad nochmal alles durchrechnen obs jetzt passt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, dann bekomm ich:
[mm] x_1=1,924
[/mm]
und [mm] x_2= 2\pi [/mm] - [mm] x_1= [/mm] 4,359
Bei [mm] x_1 [/mm] funktionierts aber bei [mm] x_2 [/mm] nicht. Hab ich bei der Berechnung von [mm] x_2 [/mm] was falsch gemacht?
Ich bin mir immer etwas unsicher an welcher Stelle cos den gleichen Wert hat...
Ach so, und [mm] x_3 [/mm] (von [mm] z_2) [/mm] = 0,456 stimmt auch. Aber auch da passt der 2.Wert nicht. Ich geh mal davon aus,dass das mit dem [mm] 2\pi [/mm] - [mm] x_1 [/mm] falsch ist, aber ich weiss nicht warum
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Hallo,
Du hast jetzt richtig gerechnet und Dir auch den 2.Wert für den Cosinus jeweils richtig überlegt.
Das Du auch Ergebnisse bekommst, die nicht passen, ist kein Wunder.
In Deiner Ausgangsgleichung setzt Du ja auch in den Sinus ein, und nicht nur in den cos.
Im Zuge Deiner Rechnung hast Du verwendet, daß
sin^2x=1-cos^2x gilt, was ja auch stimmt.
Was gilt nun für sinx?
sin x = [mm] \wurzel{1-cos^2x} [/mm] oder sin x =- [mm] \wurzel{1-cos^2x}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Ach so!! Ich hab gedacht dadurch dass ich sin² durch
> 1-cos²(x) ordnungsgemäß ersetzt hab, gilt mein Ergebnis für
> beide Werte!
> Dh ich muss wenn ich zB nach cos(x) aufgelöst hab und cos
> dann durch sin ersetzt hab und dementsprechend die x-Werte
> für sin(x) berechnet hab, mein errechnetes z auch noch
> auch noch gleich cos(x) setzen???
Das ist jetzt für mich verwirrend...
Ich kann da gerade nichts zu sagen.
Aber:
Da Du nicht nur Äquivalenzumformungen machst, liefern Dir Deine "Lösungen" die Lösungskandidaten für Deine Gleichung.
D.h. wenn es eine Lösung gibt, ist sie dabei.
Welche der Lösungskandidaten wirklich Lösungen sind, stellst Du durch Einsetzen fest.
Wenn dann "Lösungen" keine sind, liegt das nicht am falschen Rechnen, sondern in der Natur der Sache.
Sieh es mal so: wenn Du bei 4 errechneten Werten durch Einsetzen feststellst, daß zwei eine Lösung sind (und daß es keine anderen Lösungen mehr gibt!) hast Du doch viel gewonnen - gegenüber dem Zustand, daß Du sämtliche Zahlen zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] einsetzen mußt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo angela,
ja, vor allem bei letzterem stimm ich dir auch zu!
Aber mein Problem ist, dass ich bei der Aufgabe kein Intervall als Begrenzung angegeben habe. Ich hab die beiden Graphen mal gezeichnet und da schneiden sie sich auch im negativen Bereich. Ich weiss nur nicht wie ich diese Werte berechnen soll...
Liebe Grüße,
Kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
ahhhh, jetzt hab ichs!!! wie gesagt,.... wald vor lauter bäumen.... 
x=1,924 + [mm] 2k\pi
[/mm]
x=0,456 + [mm] 2k\pi
[/mm]
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>
> Aber mein Problem ist, dass ich bei der Aufgabe kein
> Intervall als Begrenzung angegeben habe.
Achso.
> Ich hab die beiden
> Graphen mal gezeichnet und da schneiden sie sich auch im
> negativen Bereich. Ich weiss nur nicht wie ich diese Werte
> berechnen soll...
Das ist nur noch ein kleines Problem.
Du berechnest zunächst sämtliche (echte!) Lösungen im Intervall [0, [mm] 2\pi].
[/mm]
Alle Zahlen, die Du bekommst, wenn Du zu Deinen Lösungen beliebige ganzzahlige Vielfache von [mm] \2pi [/mm] addierst oder subtrahierst, lösen die Gleichung.
Wenn ich mich recht erinnere, waren Deine Lösungen 26° und 110°.
Alle x mit x= 26°+k*360°
und alle mit x=110°+k*360° , [mm] k\in \IZ [/mm]
lösen die Gleichung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Jetzt hast du mich wieder ein bisschen verunsichert
Warum betrachtest du zunächst nur das Intervall [mm] [0;\pi] [/mm] und nicht das Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] ?? Weil die Lösungen die ich berechnet hab nur in diesem Intervall liegen?
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> Jetzt hast du mich wieder ein bisschen verunsichert
>
> Warum betrachtest du zunächst nur das Intervall [mm][0;\pi][/mm] und
> nicht das Intervall [mm][0;2\pi][/mm] ??
Ich betrachte das Intervall [mm] [0;2\pi], [/mm] ganz genau wie Du.
Nur - ich hatte einen backslash vor der 2, deshalb wurde die nicht gezeigt...
Ist verbessert.
Nicht verwirren lassen!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Da siehst du mal wie leicht ich zu verunsichern bin.....
okay,dann werd ich jetzt mal die 6 Übungen von der Aufgabe zum 3.Mal durchrechnen und hoff das ich die anderen Fehler alle finde...
Kann also gut sein,dass ihr heut abend oder morgen früh nochmal was von mir hört
Danke für deine Hilfe!!!
Ganz liebe Grüße und einen schönen Abend wünscht dir,
Kati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Sa 17.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Guten Morgen Angela,
ich hab jetzt alle Aufgaben lösen können, hab ich zumindest gedacht,weil die Werte die ich rausbekommen haben, die jeweilige Gleichung erfüllt haben.
Erstmal hab ich eine Frage zu dem was du gestern geschrieben hast:
"Alle Zahlen, die Du bekommst, wenn Du zu Deinen Lösungen beliebige ganzzahlige Vielfache von [mm] 2\pi [/mm] addierst oder subtrahierst, lösen die Gleichung. "
Kann ich zB 0,5 nicht als Vielfaches nehmen????
Bsp: x= [mm] 2k\pi
[/mm]
k=0,5 [mm] \Rightarrow x=\pi [/mm] ??
Weil ansonsten stimmt es bei einer der Aufgaben nicht mit den Schnittstellen überein,die ich am Graph ablesen konnte....
Ähnliche Probleme hab ich bei zwei weiteren Aufgaben:
Das hier ist eine davon:
x=-0,477 + [mm] 2k\pi [/mm] und x=0,027 + [mm] 2k\pi
[/mm]
zeichnerische Schnittstellen: -4,7 ; -4,2 ; -2,05 ; -2,7 ;-0,447 ; 0,027 ;1,6 ; 2,2 ; 3,6 ; 4,2 ; 5,8 (von -6 bis 6)
richtige errechnen konnte ich aber nur: -2,05 ; -0,447; 0,027 ;1,6 ; und 5,8
dann tauchten bei meinen Berechnungen noch Schnittstellen auf, die gar keine sind: -3,6; -3,1; -1,5; 1,09; 2,7 ; 3,2
als Werte für k hab ich übrigens: -1 ; -0,5 ; -0,25 ; 0; 0,25 ; 0,5 ; 1 genommen
Ich hab die ursprüngliche Gleichung jetzt einfach mal weggelassen,weil ich denke,dass das Problem irgendwo beim Ausrechnen der weiteren Schnittstellen liegt. Immerhin erfüllen ja meine x-Werte, die ich beim lösen der Gleichung herausbekommen habe, die Gleichung.
Liebe Grüße,
Kati
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>
> Erstmal hab ich eine Frage zu dem was du gestern
> geschrieben hast:
>
> "Alle Zahlen, die Du bekommst, wenn Du zu Deinen Lösungen
> beliebige ganzzahlige Vielfache von [mm]2\pi[/mm] addierst oder
> subtrahierst, lösen die Gleichung. "
>
> Kann ich zB 0,5 nicht als Vielfaches nehmen????
>
> Bsp: x= [mm]2k\pi[/mm]
>
> k=0,5 [mm]\Rightarrow x=\pi[/mm] ??
>
> Weil ansonsten stimmt es bei einer der Aufgaben nicht mit
> den Schnittstellen überein,die ich am Graph ablesen
> konnte....
Hallo,
was ich schrieb über das Addieren der Vielfachen von [mm] 2\pi [/mm] bezog sich auf das Stadium, zu welchem Du bereits alle Lösungen im Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] bestimmt hast und nun wissen möchtest, welche Lösungen außerhalb dieses Intervalls es gibt.
Innerhalb des Intervalls muß man die weiteren Werte anhand von Symmetrieüberlegungen bestimmen.
Wenn ich z.B. dastehen habe sinx=-0.4
liefert mir mein Taschenrechner -24°.
Für die Werte innerhalb [0,360°] muß ich nun etwas nachdenken.
Da der sinus die Periode 360° hat, ist natürlich -24+360°=336° eine Lösung.
Anhand von Symmetrieüberlegungen bekomme ich eine weitere Lösung 180°+24°=204°.
Um die Lösungen außerhalb dieses Intervalls zu bekommen, addiere ich dann zu diesen Lösungen beliebige Vielfache von 360°.
Zu dem Rest, den Du schreibst, kann ich in den luftleeren Raum hinein nichts sagen. Die Gefahr von Mißverständnissen ist zu groß.
Gruß v. Angela
Da bräuchte man doch die Aufgabe zu den Lösungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 17.03.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, danke angela! In der Theorie hab ich es jetzt verstanden. Aber in der Praxis klappts leider trotzdem noch nicht. Ich zeig dir mal anhand von einer Aufgabe was ich mein.
3-cos(3x+2)=4sin(3x+2)
Ich kam auf die Werte:
x=-0,477 und x=0,027
dementsprechend was du über die Symmetrie gesagt hast dann auch x=3,62 und (x=3,14 wobei dieser die Gleichung nicht erfüllt und daher rausfällt)
So, theoretisch müsste ich jetzt ja alle Schnittpunkte innerhalb des Intervalls abgedeckt haben,oder?!
Aber wenn ichs zeichne, gibt es in diesem Intervall noch mehr Schnittpunkte.... Ich verzweifel bald.... :-(
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> okay, danke angela! In der Theorie hab ich es jetzt
> verstanden. Aber in der Praxis klappts leider trotzdem noch
> nicht. Ich zeig dir mal anhand von einer Aufgabe was ich
> mein.
>
> 3-cos(3x+2)=4sin(3x+2)
>
> Ich kam auf die Werte:
>
> x=-0,477 und x=0,027
>
> dementsprechend was du über die Symmetrie gesagt hast dann
> auch x=3,62 und (x=3,14 wobei dieser die Gleichung
> nicht erfüllt und daher rausfällt)
Hallo,
diese Aufgabe unterscheidet sich von den vorhergehenden dadurch, daß wir es nicht mit sinx und cosx zu tun haben, sondern mit cos(3x+2) und sin(3x+2). Diese beiden Funktionen sind gegenüber den "normalen" verschoben - das wäre nicht sooooooooo tragisch -, aber ihre Periode ist nicht [mm] 2\pi [/mm] !
Diese Funktionen wiederholen sich mit der Periode [mm] \bruch{2}{3}\pi.
[/mm]
(Über dieses Thema gab's kürzlich einen Thread - von Dir?).
Das hat zur Folge, daß Du zunächst die Nullstellen im Intervall [mm] [0,\bruch{2}{3}\pi] [/mm] suchst, und dann die Periodizität verwendest.
So müßt's klappen, ich hoffe, daß Du mit diesen Hinweisen schon ein Stück weiterkommst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Sa 17.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ach so, da hab ich jetzt überhaupt nicht drauf geachtet!
Ja,der Thread war auch von mir und ich hab das mit der Periode dann auch verstanden. Habs aber bei meiner Rechnung einfach nicht mehr bedacht und bin einfach von [mm] 2\pi [/mm] ausgegangen.
Jetzt stimmt es bei der Aufgabe!! ))
Werd das jetzt bei der anderen noch korrigieren und dann hab ich die Aufgabe (vor allem dank deiner Hilfe) endlich hinter mir!
Vielen lieben Dank! Du hast mir wirklich das Wochenende gerettet! Würd sonst morgen immer noch daran sitzen und hin und her grübeln und mich davon deprimieren lassen....
Ganz liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hi,
Du hast bei der Lösung deiner Gleichung wieder quadrierst. Kein Wunder, dass du die Lösungen kriegst, die nicht passen. Wir haben es gestern doch besprochen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Nee, darum ging es eigentlich gar. dann hab ich mich wohl in meiner vorhergehenden Frage falsch ausgedrückt.
Mir ist (seit gestern ) klar,dass nicht alle werte die Gleichung erfüllen. Meine Frage war hauptsächlich ob der Weg wie ich meine 2.Werte errechnet hab (mit [mm] 2\pi -x_1) [/mm] richtig war.
Liebe Grüße,
Kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Nee, darum ging es eigentlich gar. dann hab ich mich wohl
> in meiner vorhergehenden Frage falsch ausgedrückt.
> Mir ist (seit gestern ) klar,dass nicht alle werte die
> Gleichung erfüllen. Meine Frage war hauptsächlich ob der
> Weg wie ich meine 2.Werte errechnet hab (mit [mm]2\pi -x_1)[/mm]
> richtig war.
>
> Liebe Grüße,
> Kati
Ah, ja.
Sag mal wozu suchst du immer [mm] 2\pi [/mm] x ?
Deine Lösungen liegen doch schon im Intervall [mm] [0;2\pi]
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ja, schon. Aber so bekomm ich doch noch mehr mögliche x-Werte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Ja, schon. Aber so bekomm ich doch noch mehr mögliche
> x-Werte
Verstehe. Die Werte [mm] 2\pi [/mm] x passen manchmal wie z.B. in dieser Gleichung, nicht, weil du unterschiedlichen Funktionen hast. Die Lösungen von der ursprünglichen Gleichung kann man zeichnerisch als Schnittpunkte sin- und und cos-Funktionen darstellen. Diese Schnittpunkte werden nicht "symmetrisch" wie für eine alleinstehende sin- oder cos-Funktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ja,das ist mir auch schon aufgefallen. Bei denen die ich nicht weiterkomm zeichne ich mir auch erst die Graphen. Danke dir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
So, ich hab jetzt noch zwei weitere endlich lösen können, aber bei den anderen komm ich einfach nicht weiter. Ich weiss einfach nicht was ich da falsch mach,weils ja wie gesagt immer nach Schema F vonstatten gehen sollte...
Meine Rechnung (etwas verkürzt,einfache Zwischenschritte lass ich jetzt einfach mal weg):
2sin(x) = 5 - 2cos(x)
4 - 4cos²(x) = 25 - 10cos(x) + 4cos²(x)
8cos²(x) - 10cos(x) + 21= 0
cos²(x) - [mm] \bruch{5}{4}cos(x) [/mm] + [mm] \bruch{21}{8}= [/mm] 0
cos(x)=z
z² [mm] -\bruch{5}{4}z [/mm] + [mm] \bruch{21}{8}= [/mm] 0
Quadratische Ergänzung:
(z- [mm] \bruch{5}{8})² [/mm] + [mm] 2\bruch{15}{64}=0 [/mm]
Nun kann ich ja aus ner negativen Zahl keine Wurzel ziehen...
Habs auch mit pq-Formel versucht, kommt aufs gleiche Problem raus!
Also muss ich ja irgendwo auf dem Weg dahin einen Fehler gemacht haben! Ich habs wirklich schon mindestens 5mal durchgerechnet und ich find ihn einfach nicht!!!!!!!
Liebe Grüße,
Kati
PS: Das gleiche Problem (mit der negativen Zahl aus der ich keine Wurzel ziehen darf) hab ich übrigens auch noch bei ner anderen Aufgabe. Dh wenn ich den Fehler jetzt weiss, kann ich die andere Aufgabe hoffentlich alleine lösen
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>
> Meine Rechnung (etwas verkürzt,einfache Zwischenschritte
> lass ich jetzt einfach mal weg):
>
> 2sin(x) = 5 - 2cos(x)
>
> 4 - 4cos²(x) = 25 - 10cos(x) + 4cos²(x)
>
> 8cos²(x) - 10cos(x) + 21= 0
>
> cos²(x) - [mm]\bruch{5}{4}cos(x)[/mm] + [mm]\bruch{21}{8}=[/mm] 0
>
> cos(x)=z
>
> z² [mm]-\bruch{5}{4}z[/mm] + [mm]\bruch{21}{8}=[/mm] 0
>
> Quadratische Ergänzung:
>
> (z- [mm]\bruch{5}{8})²[/mm] + [mm]2\bruch{15}{64}=0[/mm]
>
> Nun kann ich ja aus ner negativen Zahl keine Wurzel
> ziehen...
>
> Habs auch mit pq-Formel versucht, kommt aufs gleiche
> Problem raus!
> Also muss ich ja irgendwo auf dem Weg dahin einen Fehler
> gemacht haben! Ich habs wirklich schon mindestens 5mal
> durchgerechnet und ich find ihn einfach nicht!!!!!!!
Hallo,
da wirst du wohl auch keinen Fehler finden.
Hast Du schon in Betracht gezogen, daß Deine Gleichung 2sin(x) = 5 - 2cos(x) schlicht und ergreifend keine Lösung hat?
Man kann das übrigens herausbekommen, indem man zeichnet:
es ist 2sin(x) = 5 - 2cos(x) <==> 5-2cosx-2sinx=0,
d.h. die Lösungen Deiner Gleichung sind die Nullstellen der Funktion f(x)= 5-2cosx-2sinx.
Oder Du zeichnest beide Funktionen und guckst ob sie sich schneiden.
(Ich nehme ![[]](/images/popup.gif) diesen Plotter - nur falls Du alles per Hand machst, wie ich bis vor kurzem...)
Aber auch ohne zu zeichnen kannst Du es in diesem Fall der Gleichung ansehen: [mm] \underbrace{2sin(x)}_{-2\le...\le 2} [/mm] = [mm] \underbrace{5 - 2cos(x)}_{3\le...\le7}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Fr 16.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Mensch, mensch, mensch, auf die idee hätt ich ja auch mal kommen können.... Hätt ichs nur mal vorher gezeichnet (mach das sonst immer erst wenn ich die Ergebnisse raus hab um zu kontrollieren ob sie stimmen - übrigens mittlerweile mit Matheass,bis vor ein paar Tagen hab ich sie noch per hand gemacht...).
Okay,dann werd ich jetzt gleich mal die anderen die ich bisher nicht lösen konnte durch den Potter jagen
Vielen lieben dank Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mo 19.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ich bins schon wieder, die letzte kann ich immer noch nicht vollständig lösen :-(
2cos(x+2)=sin(x+2)-0,5
quadr. Gleichung die ich dann erhalte:
z²-0,2z-0,75=0
Quadr. Ergänzung:
(z-0,1)²=0,76
[mm] z_1=0,9718 [/mm]
[mm] z_2=-0,7718
[/mm]
Rücksubstitution von [mm] z_1 [/mm] : x=-0,667 (geht) [mm] x=\pi+0,667=3,81 [/mm] (geht nicht)
[mm] z_2: [/mm] x=-2,8817 (geht nicht)
Somit käme ich theoretisch nur auf x=-0,667 + [mm] 2k\pi
[/mm]
Dh ja, dass ich im Intervall [0 ; [mm] 2\pi] [/mm] nur eine Schnittstelle hätte.
In der Zeichnung seh ich neben -0,667 aber auch noch 2 und 5,2
Irgendwas muss ich übersehen haben....
Liebe Grüße,
Kati
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> Ich bins schon wieder, die letzte kann ich immer noch nicht
> vollständig lösen :-(
>
> 2cos(x+2)=sin(x+2)-0,5
>
> quadr. Gleichung die ich dann erhalte:
>
> z²-0,2z-0,75=0
>
> Quadr. Ergänzung:
>
> (z-0,1)²=0,76
>
> [mm]z_1=0,9718[/mm]
> [mm]z_2=-0,7718[/mm]
Hallo,
hier hat man dann siny=0,9718 oder siny=-0,7718
==> [mm] (y=1.334+2k\pi [/mm] oder [mm] y=1.808+2k\pi) [/mm] oder [mm] (y=5.401+2k\pi [/mm] oder [mm] y=4.024+2k\pi) [/mm] Daß in den Klammern zwei Werte stehen, entspringt [mm] Symmetrieüberlegungen.+2k\pi
[/mm]
[mm] ==>x=-0.666+2k\pi [/mm] (!!!) oder [mm] x=-0.919+2k\pi [/mm] oder [mm] x=3.401+2k\pi [/mm] oder [mm] x=2.024+2k\pi [/mm] (!!!)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 19.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo Angela,
"==> $ [mm] (y=1.334+2k\pi [/mm] $ oder $ [mm] y=1.808+2k\pi) [/mm] $ oder $ [mm] (y=5.401+2k\pi [/mm] $ oder $ [mm] y=4.024+2k\pi) [/mm] $ Daß in den Klammern zwei Werte stehen, entspringt $ [mm] Symmetrieüberlegungen.+2k\pi [/mm] $"
Die ersten beiden Werte bei dir sind ja (x+2) von [mm] z_1 [/mm] .Wie du auf die Werte kommst vesteh ich, aber ich versteh nicht ganz wieso du hier mit dem (x+2) arbeitest und nicht nur mit x !?
Bei den anderen beiden Werten kann ich leider erst gar nicht nachvollziehen woher die stammen??
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Hallo,
wir betrachten
> 2cos(x+2)=sin(x+2)-0,5
ich setze: y:=x+2, das ergibt
2cos(y)=sin(y)-0,5
Mit Quadrieren und z:=siny und quadratischer Ergänzung
erhält man
> (z-0,1)²=0,76
>
> $ [mm] z_1=0,9718 [/mm] $
> $ [mm] z_2=-0,7718 [/mm] $,
also siny=0,9718 oder siny=-0,7718
Nun ermittele ich, für welche y siny=0.9718 ist.
Der Taschenrechner sagt: y=1.333
Ich weiß: also für [mm] y_1=1.333 [/mm] + [mm] 2k\pi
[/mm]
Ich weiß auch : wegen der Symmetrie auch für [mm] y_2=(\pi-1.333)+ 2k\pi=1.808+ 2k\pi
[/mm]
Jetzt brauche ich noch die y mit siny=-0,7718
Der Taschenrechner sagt: y=-0.882
Ich weiß: also für y=-0.882+ [mm] 2k\pi
[/mm]
Weil es mir besser gefällt und einen positiven Wert haben möchte, schreibe ich [mm] y_3=-0.882+2\pi [/mm] + [mm] 2k\pi=5.401+ 2k\pi.
[/mm]
Symmetrieüberlegungen sagen mir: Auch für [mm] y_4=\pi [/mm] + [mm] (2\pi-5.401)+2k\pi=4.024+2k\pi [/mm] gilt das .
Nun hatte ich oben gesetzt y=x+2, also x=y-2.
Die gesuchten Werte x bekomme ich also, indem ich von meine berechneten y zwei subtrahiere. (Ich berücksichtige jetzt die Verschiebung der trig. Funktionen um 2 in der Gleichung.)
[mm] x_1=y_1-2=1.333 [/mm] -2+ [mm] 2k\pi=-0.667+2k\pi=5.616+2k\pi
[/mm]
[mm] x_2=y_2-2=1.808-2+ 2k\pi=-0.192+ 2k\pi=6.091+ 2k\pi
[/mm]
[mm] x_3=y_3-2=5.401-2+ 2k\pi=3.401+ 2k\pi
[/mm]
[mm] x_4=y_4-2=4.024-2+2k\pi =2.024+2k\pi [/mm]
Falls es Dich etwas beruhigt: ich muß hierbei auch nachdenken...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 19.03.2007 | | Autor: | kati93 |
das beruhigt mich wirklich ein bisschen,angela
Danke!
Wie du das machst klingt das auch alles logisch!
Ich kam ja auch deine ersten Werte [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2, [/mm] nur hab ich gleich die Verschiebung miteinbezogen. Da kam ich dann ja auch auf -0,666. Du hast ja dann noch nen positiven Wert (1,333), dementsprechend fällt dein Wert , den du aus den Symmetrieüberlegungen hast, so aus: 1,808. Wie du auf den Wert kommst ist mir auch völlig klar! Mein Problem ist,dass ich, wenn ich mit meinem negativen Wert weiterrechne, kein gültiges Ergebnis bekomme. Ich erhalte ja [mm] x_2= \pi-(-0,666)=3,8076 [/mm] und dieser Wert erfüllt die Gleichung NICHT!
Genauso ist es mit y=-0,882. Da ich ja gleich die Verschiebung berücksichtigt habe,komme ich auf x=-2,882. Und auch dieser Wert erfüllt die Gleichung bei mir nicht. Und wenn ich die Symmetrieüberlegung durchführ komme ich auf 6,0236 und auch hier ist die Gleichung nicht erfüllt. Verstehst du mein Problem??? Dein Weg ist ja schon logisch, aber ich versteh einfach nicht,dass meine Ergebnisse nicht die Gleichung erfüllen, denn theoretisch müssten sie das doch,oder? Immerhin haben wir ja mit dem gleichen Anfangswert gearbeitet. Du eben mit y und ich gleich mit x!
Ich verzweifel wirklich bald....
Liebe Grüße,
Kati
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> das beruhigt mich wirklich ein bisschen,angela
> Danke!
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> Wie du das machst klingt das auch alles logisch!
> Ich kam ja auch deine ersten Werte [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2,[/mm] nur hab ich
> gleich die Verschiebung miteinbezogen. Da kam ich dann ja
> auch auf -0,666.
Ich habe die Zahlen jetzt nicht im Kopf und bin im Moment auch eigentlich mit der Verköstigung meiner Familie beschäftigt, deshalb nur ein kurzer Hinweis, ich hab's nicht gerechnet, aber ich denke, daß es daran liegt:
Wenn Du bereits mit der verschobenen Funktion herumwurschtelst, liegen die Symmetrieachsen an anderer Stelle!
Die Funktion sin(x+2) ist ja überhaupt nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, und die Spiegelachsen sind auch um 2 verschoben.
Gruß v. Angela
Du hast ja dann noch nen positiven Wert
> (1,333), dementsprechend fällt dein Wert , den du aus den
> Symmetrieüberlegungen hast, so aus: 1,808. Wie du auf den
> Wert kommst ist mir auch völlig klar! Mein Problem ist,dass
> ich, wenn ich mit meinem negativen Wert weiterrechne, kein
> gültiges Ergebnis bekomme. Ich erhalte ja [mm]x_2= \pi-(-0,666)=3,8076[/mm]
> und dieser Wert erfüllt die Gleichung NICHT!
> Genauso ist es mit y=-0,882. Da ich ja gleich die
> Verschiebung berücksichtigt habe,komme ich auf x=-2,882.
> Und auch dieser Wert erfüllt die Gleichung bei mir nicht.
> Und wenn ich die Symmetrieüberlegung durchführ komme ich
> auf 6,0236 und auch hier ist die Gleichung nicht erfüllt.
> Verstehst du mein Problem??? Dein Weg ist ja schon logisch,
> aber ich versteh einfach nicht,dass meine Ergebnisse nicht
> die Gleichung erfüllen, denn theoretisch müssten sie das
> doch,oder? Immerhin haben wir ja mit dem gleichen
> Anfangswert gearbeitet. Du eben mit y und ich gleich mit
> x!
> Ich verzweifel wirklich bald....
>
> Liebe Grüße,
> Kati
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Mo 19.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ahhhhhh, jetzt!!!!
Okay, vielen lieben dank. Ich werd mir das jetzt erstmal zeichnen um es mir besser vorstellen zu können und es dann nochmal in ruhe rechnen!
Guten Appetit dir und deiner Familie!
Liebe Grüße,
Kati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 21.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Es tut mir wirklich leid,dass ich hier schon wieder um Hilfe bitten muss!!! Mir wird das auch langsam richtig peinlich!Ich versuch das wirklich zu vermeiden und versuch mehrmals die Aufgaben zu lösen!Aber mir liegt das Thema einfach überhaupt nicht ! Ich hab hier ca.40 Aufgaben zu dem Thema Trigonometrische Gleichungen und einige davon krieg ich einfach nicht hin.
Hier geht es jetzt um den Gleichungstyp, bei dem ich tan(x) in Verbindung mit cos(x)/sin(x) hab. Allgemein löst man das ja so,dass man tan(x) durch [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)}ersetzt, [/mm] beides auf einen gemeinsamen Nenner bringt und den Zähler gleich Null setzt.
Es gibt welche, die ich gar nicht erst lösen konnte und welche bei denen ich nicht alle Schnittpunkte herausbekommen hab.
Ich beginne mal mit letzterem:
sin(x)-4tan(x)=0
ich kürz mal wieder ab.... und komme dann auf
sin(x)*cos(x)-4sin(x)=0
sin(x)*(cos(x)-4)=0
1)sin(x)=0
[mm] x_1=\pi
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
2) cos(x)=4 -->geht nicht!
somit komm ich nur auf 0 und [mm] \pi [/mm] , die Funktionen haben aber auch noch bei [mm] 0,5\pi [/mm] eine Schnittstelle. Ich weiss nicht wie ich diese berechnen kann. Mit cos(x)=4 komm ich ja überhaupt nicht weiter. Aber [mm] 0,5\pi [/mm] kann ja nur eine Lösung vom cos sein,weil [mm] 0,5\pi [/mm] entspricht ja 90° und cos(90°)=0. Aber wenn der cosinus null ist, bringt es mir ja eigentlich nichts wenn der sinus ungleich null ist. versteht ihr mein Problem??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Es tut mir wirklich leid,dass ich hier schon wieder um
> Hilfe bitten muss!!! Mir wird das auch langsam richtig
> peinlich!Ich versuch das wirklich zu vermeiden und versuch
> mehrmals die Aufgaben zu lösen!Aber mir liegt das Thema
> einfach überhaupt nicht ! Ich hab hier ca.40 Aufgaben zu
> dem Thema Trigonometrische Gleichungen und einige davon
> krieg ich einfach nicht hin.
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> Hier geht es jetzt um den Gleichungstyp, bei dem ich tan(x)
> in Verbindung mit cos(x)/sin(x) hab. Allgemein löst man das
> ja so,dass man tan(x) durch [mm]\bruch{sin(x)}{cos(x)}ersetzt,[/mm]
> beides auf einen gemeinsamen Nenner bringt und den Zähler
> gleich Null setzt.
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> Es gibt welche, die ich gar nicht erst lösen konnte und
> welche bei denen ich nicht alle Schnittpunkte
> herausbekommen hab.
>
> Ich beginne mal mit letzterem:
>
> sin(x)-4tan(x)=0
>
> ich kürz mal wieder ab.... und komme dann auf
>
> sin(x)*cos(x)-4sin(x)=0
>
> sin(x)*(cos(x)-4)=0
>
> 1)sin(x)=0
>
> [mm]x_1=\pi[/mm]
> [mm]x_2=0[/mm]
richtig!
>
> 2) cos(x)=4 -->geht nicht!
>
> somit komm ich nur auf 0 und [mm]\pi[/mm] , die Funktionen haben
> aber auch noch bei [mm]0,5\pi[/mm] eine Schnittstelle.
nein, haben sie nicht. tan [mm] 0,5\pi [/mm] existiert nicht.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mi 21.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke, Mary.Stimmt da hast du recht,es gibt ja gar keinen tan von 90°.
Aber wenn ich es in einen Funktionsplotter eingeb schneiden sie sich DEFINITIV bei [mm] 0,5*\pi! [/mm] Ich versteh das einfach nicht!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Danke, Mary.Stimmt da hast du recht,es gibt ja gar keinen
> tan von 90°.
> Aber wenn ich es in einen Funktionsplotter eingeb schneiden
> sie sich DEFINITIV bei [mm]0,5*\pi![/mm] Ich versteh das einfach
> nicht!!
>
ich habe leider keinen Funktionsplotter. :( Übeprüfe bitte noch mal die Graphen von Funktionen sinx und 4tanx.
tan hat an Stellen x = [mm] 0,5\pi [/mm] + [mm] k\pi [/mm] immer Assymptoten
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mi 21.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo Mary,
ich hab dir die beiden Graphen mal eingescannt. Ich weiss nicht wie gut man das erkennen kann,deshalb hab ich sie in dem Bereich mal farbig markiert! Da sieht man doch eindeutig, dass sie sich bei [mm] 0,5\pi [/mm] schneiden! Wie gesagt, tan für 90° gibt es nicht, aber der Graph irritiert mich einfach,weil ich ja SEHE,dass sie sich da trotzdem schneiden...
Ich versteh es einfach nicht!
Liebe Grüße,
Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hallo Mary,
>
> ich hab dir die beiden Graphen mal eingescannt. Ich weiss
> nicht wie gut man das erkennen kann,deshalb hab ich sie in
> dem Bereich mal farbig markiert! Da sieht man doch
> eindeutig, dass sie sich bei [mm]0,5\pi[/mm] schneiden! Wie gesagt,
> tan für 90° gibt es nicht, aber der Graph irritiert mich
> einfach,weil ich ja SEHE,dass sie sich da trotzdem
> schneiden...
> Ich versteh es einfach nicht!
>
> Liebe Grüße,
> Kati
>
Die Linien, die zu y-Asche parallel verlaufen (auch die, die du pink markiert hast) gehören nicht den Graphen von 4tanx. Das sind die Asymptoten. Man zeichnet sie, damit man besser sieht, das die einzelnen "Kurventeile" von tan keine gemeinsame Punkte haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Do 22.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ach so!!!!! Danke Mary, das hab ich nicht gewusst!
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