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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Trigonometrische Gleichung
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Trigonometrische Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Fr 09.01.2009
Autor: ChopSuey

Aufgabe
$\ [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \cos [/mm] x = 1 $

Hallo,
ich wollte eigentlich bloß gerne wissen, ob meine Lösung stimmt. Würde mich über Hinweise freuen, wenn dem nicht so ist.

$\ [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \cos [/mm] x = 1 $

$\ [mm] \cos [/mm] x = [mm] \cos^2 \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \sin^2 \bruch{x}{2} [/mm] $

$\ [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] (\cos^2 \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \sin^2 \bruch{x}{2}) [/mm]  = 1 $

$\ [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \cos^2 \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \sin^2 \bruch{x}{2} [/mm]  = 1 $

$\ [mm] \sin^2 \bruch{x}{2} [/mm] =  1 - [mm] \cos^2 \bruch{x}{2} [/mm] $

$\ [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \cos^2 \bruch{x}{2} [/mm] + 1 - [mm] \cos^2 \bruch{x}{2} [/mm]  = 1 $

Substitution mit $\ y = [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] $


$\ [mm] y-y^2 [/mm] + 1 [mm] -y^2 [/mm] = 1 [mm] \gdw -2y^2+y [/mm] = 0$

$\ y(-2y+1) = 0 $

$\ [mm] \Rightarrow {\blue{y_{1}}} [/mm] = 0 $

$\ 2y = 1 $

$\ [mm] \Rightarrow {\blue{y_{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $

$\ [mm] y_{1} [/mm] = [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] 2(\bruch{\pi}{2}+k\pi) [/mm] $

$\ [mm] y_{2} [/mm] = [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] 2(\bruch{\pi}{3}+2k\pi) [/mm] $

Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Vielen Dank

Grüße
ChopSuey
        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: noch nicht alle Lösungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Fr 09.01.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\ \cos \bruch{x}{2} - \cos x = 1[/mm]

>  Hallo,
>  ich wollte eigentlich bloß gerne wissen, ob meine Lösung
> stimmt. Würde mich über Hinweise freuen, wenn dem nicht so
> ist.
>  
> [mm]\ \cos \bruch{x}{2} - \cos x = 1[/mm]
>
> [mm]\ \cos x = \cos^2 \bruch{x}{2} - \sin^2 \bruch{x}{2}[/mm]      [ok]
>  
> [mm]\ \cos \bruch{x}{2} - (\cos^2 \bruch{x}{2} - \sin^2 \bruch{x}{2}) = 1[/mm]      [ok]
>
> [mm]\ \cos \bruch{x}{2} - \cos^2 \bruch{x}{2} + \sin^2 \bruch{x}{2} = 1[/mm]      [ok]
>
> [mm]\ \sin^2 \bruch{x}{2} = 1 - \cos^2 \bruch{x}{2}[/mm]      [ok]

   zuerst habe ich zur letzten Gleichung ein [notok] gesetzt:
   du solltest jeweils deutlich machen, ob du die
   umzuformende Gleichung meinst oder eine
   Formel, die du zu deren Umformung verwendest !
  
> [mm]\ \cos \bruch{x}{2} - \cos^2 \bruch{x}{2} + 1 - \cos^2 \bruch{x}{2} = 1[/mm]      [ok]
>  
> Substitution mit [mm]\ y = \cos \bruch{x}{2}[/mm]
>  
>
> [mm]\ y-y^2 + 1 -y^2 = 1 \gdw -2y^2+y = 0[/mm]      [ok]
>
> [mm]\ y(-2y+1) = 0[/mm]      [ok]
>  
> [mm]\ \Rightarrow {\blue{y_{1}}} = 0[/mm]      [ok]
>  
> [mm]\ 2y = 1[/mm]      [ok]
>  
> [mm]\ \Rightarrow {\blue{y_{2}}} = \bruch{1}{2}[/mm]      [ok]
>  
> [mm]\ y_{1} = \cos \bruch{x}{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = 2(\bruch{\pi}{2}+k\pi)[/mm]      [ok]
>  
> [mm]\ y_{2} = \cos \bruch{x}{2} = \bruch{1}{2} \Rightarrow x_{2} = 2(\bruch{\pi}{3}+2k\pi)[/mm]

Diese Lösungen stimmen zwar, aber es sind noch nicht alle.
Beachte, dass  [mm] cos(\alpha)=\bruch{1}{2} [/mm] zwei "Haupt"-Lösungen besitzt !

>  
> Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
>  Vielen Dank
>  
> Grüße
>  ChopSuey


LG    Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Fr 09.01.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Al-Chwarizmi :-)

Danke für Deinen Hinweis! Du hast natürlich recht, das hab ich ganz vergessen.

Es fehlt noch die Lösung für $\ x = [mm] -x_{0}+2k\pi [/mm] $

Also:

$ \ [mm] y_{1} [/mm] = [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \overline{x_{1}} [/mm] = [mm] 2(-\bruch{\pi}{2}+k\pi) [/mm] $  

$ \ [mm] y_{2} [/mm] = [mm] \cos \bruch{x}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow \overline{x_{2}} [/mm] = [mm] 2(-\bruch{\pi}{3}+2k\pi) [/mm] $

Das sollte dann stimmen.
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Grüße
ChopSuey
Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 Fr 09.01.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi :-)
>  
> Danke für Deinen Hinweis! Du hast natürlich recht, das hab
> ich ganz vergessen.
>  
> Es fehlt noch die Lösung für [mm]\ x = -x_{0}+2k\pi[/mm]
>
> Also:
>  
> [mm]\ y_{1} = \cos \bruch{x}{2} = 0 \Rightarrow \overline{x_{1}} = 2(-\bruch{\pi}{2}+k\pi)[/mm]


diese Lösungen hattest du eigentlich schon, da du hier
die Periode [mm] \pi [/mm] genommen hast ...


> [mm]\ y_{2} = \cos \bruch{x}{2} = \bruch{1}{2} \Rightarrow \overline{x_{2}} = 2(-\bruch{\pi}{3}+2k\pi)[/mm]    [ok]
>  
> Das sollte dann stimmen.
>  Vielen Dank für Deine Hilfe!
>  Grüße
>  ChopSuey

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